8941510979

Konspekt wykładów „AFiW"

(wydruk 27 października 2009 roku)

18

Definicja 1.12 (Ortogonalność wektorów) Niech (V, (• | •)) będzie przestrzenią euklidesową. Będziemy mówić, że wektory v, w € V są ortogonalne, jeśli (u | w) = 0. Jeśli F jest podzbiorem przestrzeni V, to zbiór F¹- określony równością

i^?J- = {tł€V|(t»|ti>) = 0, w€F}    (1.57)

będziemy nazywać ortogonalnym dopełnieniem do F. Jeśli F¹- = {0}, tj. ortogonalne dopełnienie do F zawiera tylko wektor zerowy, to będziemy mówić, że zbiór F jest kompletny w V.

Tak jak w przypadku przestrzeni kartezjańskich relacja ortogonalności wektorów, oznaczana jak poprzednio symbolem „ -L ”, jest symetryczna, a wektor zerowy jako jedyny jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni V. Następujący wynik jest bezpośrednim przeniesieniem do obecnego kontekstu znanego z elementarnej geometrii wzoru Pitagorasa dla kwadratu długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym..

Lemat 1.2 (Wzór Pitagorasa) Jeśli v ±w, to

11“ + “II² = H² + INI².    (1.58)

Dla dowodu wystarcza zauważyć, że wobec (v \ w) — 0 mamy

||v + io||² = (v + w | v + w) = (v | v) + 2(v | w) + (w | w) = ||v||² + ||H|².

W zastosowaniach, np. w fizyce lub statystyce, ortogonalność wektorów jest zwykle interpretowana jako brak korelacji między wielkościami opisywanymi przez te wektory. W ogólności jako miarę korelacji przyjmuje się w takim kontekście znormalizowany iloczyn skalarny wektorów, tj. wielkość nazywaną w statystyce współczynnikiem korelacji liniowej lub współczynnikiem Pearsona korelacji wektorów v i w.

Rozważmy teraz ogólniejszą sytuację ciągu fi, f2, ■■■, fk takich wektorów przestrzeni V, że dla każdej pary wskaźników i, j mamy

(fi I fj) = 0, gdy i ^ j.

W takim przypadku będziemy mówić, że f\, f2, •■■■> fk jest układem ortogonalnym, lub że wektory {fi} są parami ortogonalne. Mogłoby się zdarzyć, że któryś z tych wektorów jest wektorem zerowym, ale jeśli wykluczyć tę sytuację, to można się łatwo przekonać, że współczynniki każdej kombinacji liniowej wektorów takiego układu są jednoznacznie wyznaczone. Istotnie, dla x = Y ^jfj ¹ dowolnego p £ {1, ..., k} mamy

0» I A) = (E hU I A) = E *j(A I A) = -MIAU²-    (i-w)

j=¹    i=i

Współczynnik przy wektorze f_p w tej kombinacji liniowej jest zatem dany wzorem

(1.60)

~ 111 M2 I fp)