1

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

Tak

Tak

Proces modelowania

2

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Analiza danych

We wszystkich dziedzinach wiedzy doświadczalnej przy
przejściu od

jakościowego

opisu zjawisk do badań

ilościowych

mamy do czynienia z

pomiarami

.

Po zakończeniu doświadczenia najważniejszym zadaniem
jest dokładna

ocena

i pełne

wykorzystanie

wyników

pomiarów.

3

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Analiza danych

Po uzyskaniu pewnego wyniku doświadczalnego trzeba

zdecydować, czy jest on w zgodzie z wartością

przewidzianą przez teorię lub uzyskaną w poprzednich

doświadczeniach.

testowanie hipotez

4

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Zadanie identyfikacji

Zadanie identyfikacji

układów systemów polega na

określeniu

struktury

i

parametrów

modeli

matematycznych

tych

systemów

na

podstawie

doświadczalnych

obserwacji

procesów

w

nich

zachodzących.

5

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Zadanie identyfikacji

OBIEKT

MODEL

OBIEKTU

Algorytm

J(.) min

Określenie

wskaźnika jakości J

-

U t 

Y t 

Y

m



t 

F t 

6

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Zadanie identyfikacji

Klasyfikacja zadań identyfikacji ze względu na:

charakter opisu matematycznego procesów,
charakter analitycznego opisu sygnałów wejściowych i

wyjściowych,
ilość informacji danych a priori.

Dwa podstawowe rodzaje zadań identyfikacji:

w sensie szerokim,
w sensie ścisłym.

7

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Zadanie identyfikacji

Zadanie identyfikacji w

sensie szerokim

brakuje informacji a priori o obiekcie lub jest ona

nieznana,
obiekt przedstawiamy w postaci „czarnej skrzynki”,
przedmiot identyfikacji:

struktura i parametry

tego

obiektu

Zadanie identyfikacji w

sensie ścisłym

kategoria i struktura obiektu są znane,
informacja a priori o obiekcie jest wystarczająca,
przedmiot identyfikacji:

parametry

tego obiektu

8

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Prosty algorytm identyfikacji

Rozpatrujemy liniowy układ dynamiczny opisany modelem

matematycznym w przestrzeni stanów:

˙X =AX t

gdzie:

A – macierz niewiadomych parametrów, dim A = n x n

X – wektor stanu,

ζ

– wektor zakłóceń,

X ∈ R

n

∈

R

n

Wektory X(t) i

ζ

(t) w każdym momencie dają się zmierzyć.

Na podstawie wyników obserwacji należy określić

parametry macierzy A.

9

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Prosty algorytm identyfikacji

Oznaczymy pomiary w dyskretnych chwilach czasu:

X t

j

=

X

j



t

j

=

j

∀

j 1, s

X t

j

=

X

j

=



x

1j

x

2j

⋯

x

nj





t

j

=

j

=





1j



2j

⋯



nj



10

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Prosty algorytm identyfikacji

Tworzymy macierze pomiarów:

˙X

∗

=



˙X

1

∣

˙X

2

∣



∣

˙X

s





∗

=





1

∣



2

∣



∣



s



X

∗

=



X

1

∣

X

2

∣



∣

X

s



Jeżeli s=n to macierze są macierzami

kwadratowymi.

˙X

∗

,

∗

, X

∗

11

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Prosty algorytm identyfikacji

Dla wszystkich pomiarów mamy:

To samo w postaci jednego równania macierzowego:

{

˙

X

1

=

AX

1



1

˙

X

2

=

AX

2



2

⋮

˙

X

s

=

AX

s



s



˙X

1

∣

˙X

2

∣∣ ˙

X

s



=



AX

1

∣

AX

2

∣∣

AX

s









1

∣



2

∣∣

s



˙X

∗

=

AX

∗



∗

12

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Prosty algorytm identyfikacji

Jeżeli macierz jest nieosobliwa to:

˙X

∗

=

AX

∗



∗

X

∗

A=



˙X

∗

−

∗



X

∗

−

1

Stosowanie podanego algorytmu jest kłopotliwe bo:

błędy pomiarów, które istnieją zawsze, prowadzą do

tego, że układ jest zawsze sprzeczny,
jeżeli jest źle określona to wpływ błędów pomiarów

na ocenę parametrów wzrasta gwałtownie i algorytm

staje się nieprzydatny.

X

∗

13

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Prosty algorytm identyfikacji

Przykład. Załóżmy, że macierz w rzeczywistości ma

mieć postać:

X

∗

0

=



1 0
0 0



X

∗

Macierz jest osobliwa.
Uwzględniamy błędy pomiarów:

X

∗

1

=



1

0

0 10

−

4



X

∗

X

∗

1

−

1

=



1

0

0 10

4



Wykonujemy jeszcze jeden pomiar:

X

∗

2

=



1

0

0 10

−

6



X

∗

2

−

1

=



1

0

0 10

6



14

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

Rozpatrujemy liniowy układ statyczny o jednym wyjściu

opisany równaniem liniowym:

y=a

1

x

1



a

2

x

2



a

m

x

m

x

1

x

m

⋮

y

Zmienne i w każdym momencie można

zmierzyć.

Na podstawie wyników obserwacji należy określić

niewiadome parametry

x

j

y

j



j=1, , m



a

1,



, a

m

15

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

A

X

j

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

Dokonujemy s pomiarów.
Dla każdego pomiaru o numerze j otrzymamy:

y

j

=



a

1

a

2



a

m





x

1j

x

2j



x

mj



y

j

=

AX

j

∀

j 1, s

Do wygładzenia szumu należy zapewnić s>m. Przy s=m

szum pomiarów nie będzie wygładzony.

16

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

Zbierając wszystkie równania możemy zapisać:



y

1

y

2



y

s



=

A



X

1

∣

X

2

∣∣

X

s



Y

∗

=

AX

∗

Ostatecznie:

Ze względu na niedoskonałość pomiarów oraz inne

czynniki układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązania.

Można jednak mówić o istnieniu pseudorozwiązania .

A

17

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

Podstawienie pseudorozwiąznia do równania:

Y

∗

=

AX

∗

daje odchyłkę:

= 

A X

∗

−

Y

∗

Wprowadźmy euklidesową normę wektora odchyłki:

∥∥=





1

2



2

2



s

2

=



⋅

T

Obierzmy funkcję celu w postaci:

J =∥∥

2

18

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

Poszukiwane rozwiązanie zadania identyfikacji parametrów

A musi spełniać warunek:

Jest to

zadanie metody najmniejszych kwadratów

i

zalicza się do regresywnych metod identyfikacji.

J =∥∥

2



min

Regresją y względem x będziemy nazywać jakąkolwiek funkcję g(x),
w przybliżeniu przedstawiającą zależność statystyczną y od x.

19

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

Uwzględniając, że

Warunek optimum:

J =∥∥

2

=



A X

∗

−

Y

∗



A X

∗

−

Y

∗



T



min

= 

A X

∗

−

Y

∗

możemy zapisać:

dJ

d A

=

0

dJ

d A

=

0

dJ

d A

=

X

∗



A X

∗

−

Y

∗



T





A X

∗

−

Y

∗



X

∗

T

=

0

20

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

dJ

d A

=

X

∗



A X

∗

−

Y

∗



T





A X

∗

−

Y

∗



X

∗

T

=

0

2



A X

∗

−

Y

∗



X

∗

T

=

0



A X

∗

−

Y

∗



X

∗

T

=

0

A



X

∗

X

∗

T



=

Y

∗

X

∗

T

A=Y

∗

X

∗

T

⋅



X

∗

X

∗

T



−

1

Normalne równanie metody najmniejszych kwadratów:

Ostatecznie normalne pseudorozwiązanie przyjmie postać:

21

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

Przykład. Przeprowadzić identyfikację liniowego układu

skalarnego metodą najmniejszych kwadratów.

x

1

x

2

y

y=a

1

x

1



a

2

x

2

Zbiór pomiarów

N

x1

x2

y

1

0

-1

-4

2

1

0

3

3

2

-1

0

4

1

2

9

{

0⋅a

1

−

1⋅a

2

=−

4

1⋅a

1



0⋅a

2

=

3

2⋅a

1

−

1⋅a

2

=

0

1⋅a

1



2⋅a

2

=

9

Układ równań:

- sprzeczny!

22

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

A



X

∗

X

∗

T



=

Y

∗

X

∗

T

A=Y

∗

X

∗

T

⋅



X

∗

X

∗

T



−

1

Układ w postaci macierzowej:

Równanie normalne MNK:

Y

∗

=

AX

∗

Y

∗

=



−

4 3 0 9



X

∗

=



0

1

2

1

−

1 0 −1 2



23

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009



X

∗

X

∗

T



=



0

1

2

1

−

1 0 −1 2





0 −1
1

0

2 −1
1

2



=



6 0
0 6



Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów

A=



−

4 3 0 9





0 −1
1

0

2 −1

1

2





1

6

0

0

1
6



=



2 3,66



Otrzymane współczynniki są najlepszym (według MNK)

przybliżonym rozwiązaniem postawionego zadania.

24

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Rekurencyjny algorytm identyfikacji

Algorytmy identyfikacji oparte na MNK wymagają

rozwiązania

całego

zadnia

w

każdym

kroku

identyfikacji.

Prowadzi

to

do

nieekonomicznego

wykorzystania możliwości komputera. Taka organizacja
algorytmu powoduje

zbyt wolne rozwiązanie zadania

identyfikacji

.

Rekurencyjna metoda identyfikacji

– ocena parametrów

w danym momencie pomiarów kształtuje się jako

ocena w

poprzednim

momencie

pomiarów

plus

pewna

poprawka

.

25

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Rekurencyjny algorytm identyfikacji

Rozważamy liniowy układ statyczny o jednym wyjściu.

Wykonaliśmy k pomiarów. Macierze pomiarowe wynoszą odpowiednio:

X

∗

=

Z

k

=



X

1

X

2



X

k



Y

∗

=

Y

k

=



y

1

y

2



y

k



Wykonanie k+1 pomiaru powoduje dodanie do macierzy Z

k

kolumny X

k+1

oraz

elementu y

k+1

do wektora Y

k

.

Z

k1

=



Z

k

X

k 1



Y

k1

=



Y

k

y

k1



26

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Rekurencyjny algorytm identyfikacji

Podstawiając podane zależności do wzoru:

ostatecznie, po wykonaniu odpowiednich operacji, otrzymamy:

A

k1

=





Y

k

y

k 1





Z

k

T

X

k1

T





⋅





Z

k

X

k1



⋅



Z

k

T

X

k 1

T





−

1

A=Y

∗

X

∗

T

⋅



X

∗

X

∗

T



−

1

Wprowadzamy oznaczenia:

P

k

=

Z

k

Z

k

T

otrzymamy:

P

k 1

=

P

k



X

k 1

X

k1

T

A

k1

=



Y

k

Z

k

T



y

k 1

X

k 1

T



⋅

P

k1

−

1

27

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Rekurencyjny algorytm identyfikacji

Ostatecznie poszukiwane wzory rekurencyjne przyjmują

postać:

P

k 1

−

1

=

P

k

−

1

−

P

k

−

1

X

k1

X

k1

T

P

k1

−

1

1 X

k 1

T

P

k

−

1

X

k1

A

k1

= 

A

k





y

k 1

− 

A

k

X

k1



X

k1

T

P

k1

−

1

Korzystanie z tych wzorów wymaga założenia wartości
początkowych dla oraz , które wynoszą
zazwyczaj o odpowiedniej
wymiarowości.

A

0

P

0

−

1

A

0

=

0, P

0

−

1

=

diag 100÷10

6



28

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Rekurencyjny algorytm identyfikacji

Zad.3 Przeprowadzić identyfikację układu skalarnego

metodą rekurencyjną.

Zbiór pomiarów

x

1

x

2

S

1

1

0

2

0

1

3

1

1

x

1

x

2

y

y=a

1

x

1



a

2

x

2

y

1
2

-1

P

k 1

−

1

=

P

k

−

1

−

P

k

−

1

X

k1

X

k 1

T

P

k

−

1

1 X

k 1

T

P

k

−

1

X

k 1

A

k 1

= 

A

k





y

k 1

− 

A

k

X

k 1



X

k 1

T

P

k 1

−

1

29

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Rekurencyjny algorytm identyfikacji

Warunki początkowe:



A

0

=



0 0



P

0

−

1

=



100

0

0

100



Krok pierwszy:



A

1

=



0 0







1−



0 0



⋅



1
0





⋅



1 0



⋅



1

0

0 100



=



1 0



P

1

−

1

=



100

0

0

100



−



100

0

0

100



⋅



1
0



⋅



1 0



⋅



100

0

0

100



1



1 0



⋅



100

0

0

100



⋅



1
0



P

1

−

1

=



100

0

0

100



−



100

0



⋅



100 0



1



1 0



⋅



100

0



=



100

0

0

100



−



10000

0

0

100



1100

=



1

0

0 100



30

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Rekurencyjny algorytm identyfikacji

Krok drugi:



A

2

=



1 0







2−



1 0



⋅



0
1





⋅



0 1



⋅



1 0
0 1



=



1 2



P

2

−

1

=



1

0

0 100



−



1

0

0 100



⋅



0
1



⋅



0 1



⋅



1

0

0 100



1



0 1



⋅



1

0

0 100



⋅



0

1



P

2

−

1

=



1

0

0 100



−



0

100



⋅



0 100



1



0 1



⋅



0

100



=



1

0

0 100



−



0

0

0 10000



1100

=



1 0
0 1



31

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Rekurencyjny algorytm identyfikacji

Krok trzeci:



A

3

=



1 2







−

1−



1 2



⋅



1
1





⋅



1 1



⋅



2/3

−

1/3

−

1/3

2/3



=



−

1/3 2/3



P

3

−

1

=



1 0
0 1



−



1 0
0 1



⋅



1
1



⋅



1 1



⋅



1 0
0 1



1



1 1



⋅



1 0
0 1



⋅



1
1



P

3

−

1

=



1 0
0 1



−



1
1



⋅



1 1



1



1 1



⋅



1
1



=



1 0
0 1



−



1 1
1 1



12

=



2/3

−

1/3

−

1/3

2/3



32

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

Tak

Tak

Proces modelowania

33

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb

Zapis stałoprzecinkowy:

●

zakres

liczb

stałoprzecinkowych

z

zadanymi

parametrami wynosi

0∣a∣2

t

−

1

liczba w układzie dwójkowym (t bitów)

znak liczby stałoprzecinkowej

34

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb

Zapis zmiennoprzecinkowy:

●

znormalizowana postać półlogarytmiczna

●

znaki wykładnika (cechy) E i mantysy M liczby a

koduje się osobno

●

cechę E wybiera się w ten sposób aby mantysa

spełniała warunek:

a=±MB

±

E

cecha (p bitów)

znak cechy

1

B



M 1

znak mantysy

mantysa(t bitów)

35

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb

Zapis zmiennoprzecinkowy:

●

standard IEEE (1985)

●

normy dla arytmetyki implementowanej na komputerach,

zawiera ustalenia dotyczące formatów, procedur
zaokrąglania, operatorów arytmetycznych, konwersji

liczb, postępowania w sytuacjach wyjątkowych, np. przy
przekroczeniu zakresu liczbowego

●

dwa formaty podstawowe: z pojedynczą precyzją, z

podwójną precyzją; formaty rozszerzone.

Parametr

Pojedyncza precyzja

Podwójna precyzja

długość słowa w bitach

32

64

wykładnik maksymalny

+127

+1023

wykładnik minimalny

-126

-1022

stała K

+127

+1023

liczba bitów wykładnika

8

11

liczba bitów mantysy

24

53

36

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb

●

charakterystykę C wyznacza się na podstawie cechy E przez

dodanie odpowiedniej stałej K. Wybieramy ją w ten sposób aby
charakterystyka przyjmowała wyłącznie wartości dodatnie.

charakterystyka

znak liczby zmiennoprzecinkowej

mantysa

a=−1



⋅

2

E

⋅

1.b

1

b

2



b

t−1

E=C−K

C

min

=

1, C

max

=

254, C=0, C=255−zarezerwowane

37

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Dokładność w obliczeniach numerycznych

błąd całkowity

błąd wejścia

błąd metody

błąd zaokrąglenia

błąd urwania procedury iteracyjnej

błąd dyskretyzacji

●

kontrola liczby kroków iteracji, urwanie po określonej liczbie cykli
iteracji, również wtedy gdy nie została jeszcze osiągnięta żądana
dokładność,

●

śledzenie przebiegu rozwiązania na ekranie,

●

wykorzystanie znanych właściwości rozwiązania problemu,

●

zbadanie możliwości skalowania zmiennych lub funkcji,

●

przeprowadzanie większej liczby testów, zmieniając długość kroku,
warunek stopu, wartości startowe, itd.

38

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

Tak

Tak

Proces modelowania

39

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Każdy

model matematyczny

, nawet ten najdokładniejszy,

jest tylko pewnym przybliżeniem obiektu rzeczywistego,

ale np. w sztuce model może być doskonalszy od swojego

obrazu.

Ocena modelu

MODEL(KA)

OBRAZ

40

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Ocena modelu

Weryfikacja

– proces ustalania czy sposób zakodowania modelu

odpowiada konceptualnemu opisowi modelu i jego

rozwiązań opracowanego przez projektanta.
Czy poprawnie zbudowaliśmy model?

Walidacja

– proces ustalania stopnia odwzorowania rzeczywistości

z perspektywy postawionych celów.
Czy zbudowaliśmy poprawny model?

Kalibracja

– proces poprawiania wartości liczbowych parametrów

modelu, w celu osiągnięcia możliwie najlepszej
zgodności

miedzy

danymi

obserwacyjnymi

i wygenerowanymi przez model.

Co zmieniać? Jak zmieniać? O ile zmieniać?

41

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Walidacja

danych

Określenie

problemu

Model

konceptualny

Model

komputerowy

Walidacja

modelu

konceptualnego

Walidacja

modelu

komputerowego

Weryfikacja

modelu

komputerowego

D

O

Ś

W

IA

D

C

ZE

N

IA

A

N

A

LIZ

A

I M

O

D

E

LO

W

A

N

IE

PROGRAMOWANIE

Ocena modelu

42

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Wymienia się ponad 75 technik weryfikacji, walidacji i

testowania modeli symulacyjnych.

Całość sklasyfikowana została w czterech grupach:

techniki nieformalne,
statyczne,
dynamiczne
formalne.

Ocena modelu

43

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Techniki nieformalne

polegają głównie na ocenie

działania modelu na podstawie

subiektywnych ocen

ekspertów. Używa się ich do określania czy zależności

logiczne zawarte w modelu konceptualnym są poprawne

oraz do badania relacji wejście-wyjście. Ocena

podejmowana jest tylko na podstawie obserwacji działania

modelu i nie przeprowadza się żadnych dodatkowych

badań.

Ocena modelu

test Turinga

- ekspert ocenia czy przedstawione wyniki

pochodzą z systemu rzeczywistego czy modelu,

face validation

- porównanie zachowania modelu i

systemu rzeczywistego dla jednakowych warunków

początkowych.

44

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Techniki statyczne

dotyczą przede wszystkim procesu

weryfikacji modelu komputerowego i nie wymagają

uruchamiania tego modelu. Ocenia się poprawność kodu

programu

komputerowego,

przeprowadza

analizę

semantyczną i składniową. Bada się strukturę i działanie

interfejsu

użytkownika,

zarówno

pod

względem

przewidywania występowania błędów wynikających z

działań użytkownika, jak również sposobu połączenia z

modelem symulacyjnym.

Ocena modelu

45

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Techniki dynamiczne

badają zachowanie modelu na

podstawie jego działania. Ocena działania może polegać

na porównaniu kilku różnych modeli symulacyjnych tego

samego systemu rzeczywistego z takimi samymi danymi

początkowymi.

Ocena modelu

techniki statystyczne (analiza wariancji, analiza regresji,

testy statystyczne i inne),

analiza wrażliwości, która pozwala badać jak zmienia

się zachowanie modelu pod wpływem zmian zmiennych

wejściowych,

wizualizacja i animacja zachowania modelu.

46

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Techniki

formalne

bazują

na

matematycznym

dowodzeniu poprawności modelu. Pomimo, że dzisiejszy

stan wiedzy nie pozwala zastosować ich dla systemów

złożonych, stanowią podstawę dla innych technik walidacji

i weryfikacji modeli.

Ocena modelu

indukcja,

wnioskowanie i dedukcja logiczna,

rachunek predykatów.

47

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

KONIEC