1

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja

Równania otrzymane w procesie modelowania są
najczęściej równaniami

nieliniowymi

.

Ze względu na łatwość analizy dąży się do

zastąpienia

równań nieliniowych równaniami liniowymi.

Linearyzacja

jest procesem tworzenia modelu liniowego,

który aproksymuje model nieliniowy.

2

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja

Liniowość i nieliniowość to właściwości systemu, które są

związane ze strukturą równań opisujących ten system.

Metody linearyzacji:

uproszczenia,
rozkład w szereg Taylora,
małych odchyleń od ruchu bazowego,
z zastosowaniem identyfikacji.

3

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja

Założenia

to te warunki, które określają zakres ważności

modelu, a więc

zmniejszają zakres ogólności modelu

,

np.:

zwoje sprężyny nigdy nie są zblokowane (nigdy nie

stykają się),
kąt wychylenia wahadła w rozpatrywanym ośrodku nie

jest większy niż 7

o

.

4

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja

Uproszczenia

to

te

warunki,

które

pogarszają

dokładność modelu

, przez to że zezwalają na pominięcie

w modelu fizycznym określonych zjawisk, o których

sądzimy że w danych konkretnych warunkach mało

wpływają na dokładność odwzorowania oryginału przez

jego model, np.:

do obliczeń przyjmuje się, że w sprężynie śrubowej

dominujące są naprężenia skręcające, zatem pomija

się naprężenia zginające, ścinające i ściskające i

pomija się w związku z tym odkształcenia wywołane

tymi naprężeniami,
pomijamy wydłużanie linki na której zawieszona jest

masa, pomijamy tarcie linki o uchwyt mocujący.

5

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja

Uproszczenia wynikają z przyjętych założeń, a o ich

dopuszczalności decyduje żądana dokładność modelu.

W konkretnym przypadku założenia są spełnione

(prawdziwe) lub nie są, tymczasem uproszczenia są

prawomocne tylko w pewnym stopniu, i ich uchylenie

zawsze spowoduje poprawę wierności modelu. Natomiast

nie spełnienie założeń powoduje iż model w ogóle

przestaje być ważny.

6

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – uproszczenia

Metody linearyzacji: uproszczenia

d

2



dt

2



g

l

sin=0

Model nieliniowy:

Założenie:



7

o

Uproszczenie:

sin=

d

2



dt

2



g

l

⋅=

0

Model liniowy:

7

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – uproszczenia

¨ k

m

˙ g

l

sin=0

Model nieliniowy:

Model liniowy:

¨ k

m

˙ g

l

=

0

8

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

Metody linearyzacji: rozkład w szereg Taylora

Dany jest pewien nieliniowy model systemu w postaci równań stanu i

równania wyjścia:

˙X =F  X ,U 

Dany jest pewien ustalony punkt pracy systemu:

F  X

0,

U

0

=

0

Przyjmujemy, że: , oraz

X = X

0



X U =U

0



U

Wobec tego dla pierwszego równania możemy zapisać:

˙X =F  X

0



X ,U

0



U 

Y =G  X ,U 

G  X

0,

U

0

=

G

0

Y =Y

0



Y

9

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

 ˙

X =F  X

0,

U

0





∂

F

∂

X



∣

X

0,

U

0

⋅

X 



∂

F

∂

U



∣

X

0,

U

0

⋅

U R.

X = X

0



X

Różniczkujemy obustronnie równanie

otrzymamy:

˙X = ˙X

0

 ˙

X

Ponieważ:

˙X

0

=

F  X

0,

U

0

=

0

to

˙X = ˙X

 ˙

X =



∂

F

∂

X



∣

X

0,

U

0

⋅

X 



∂

F

∂

U



∣

X

0,

U

0

⋅

U

Rozkład w szereg Taylora:

10

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

Ostatecznie:

 ˙

X =



∂

F

∂

X



∣

X

0,

U

0

⋅

X 



∂

F

∂

U



∣

X

0,

U

0

⋅

U

 ˙

X =A⋅ X B⋅U

gdzie:

A=



∂

f

1

∂

x

1



∂

f

1

∂

x

n

∂

f

n

∂

x

1



∂

f

n

∂

x

n



∣

X

0,

U

0

B=



∂

f

1

∂

u

1



∂

f

1

∂

u

m

∂

f

n

∂

u

1



∂

f

n

∂

u

m



∣

X

0,

U

0

11

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Y

0



Y =G  X

0,

U

0





∂

G

∂

X



∣

X

0,

U

0

⋅

X 



∂

G

∂

U



∣

X

0,

U

0

⋅

U R.



Y =



∂

G

∂

X



∣

X

0,

U

0

⋅

X 



∂

G

∂

U



∣

X

0,

U

0

⋅

U

Dla drugiego równania możemy zapisać:

Y

0

=

G  X

0,

U

0

=

G

0

Y =Y

0



Y

Y =G  X

0



X ,U

0



U 

Rozkład w szereg Taylora:

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

Y =G  X

0



X ,U

0



U 

12

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009



Y =



∂

G

∂

X



∣

X

0,

U

0

⋅

X 



∂

G

∂

U



∣

X

0,

U

0

⋅

U

Ostatecznie:



Y =C⋅ X D⋅U

gdzie:

C=



∂

g

1

∂

x

1



∂

g

1

∂

x

n

∂

g

p

∂

x

1



∂

g

p

∂

x

n



∣

X

0,

U

0

D=



∂

g

1

∂

u

1



∂

g

1

∂

u

m

∂

g

p

∂

u

1



∂

g

p

∂

u

m



∣

X

0,

U

0

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

13

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Ostatecznie uzyskaliśmy liniowy model przyrostowy, który

odpowiada modelowi nieliniowemu tylko w bliskim

otoczeniu ustalonego punktu pracy.



Y =C⋅ X D⋅U

 ˙

X =A⋅ X B⋅U

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

14

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Przykład.

{

˙x

1

=

x

2

˙x

2

=−

2 x

1

−

3 x

3

2



u

1

˙x

3

=−

4 x

1

x

2

−

x

3



2 u

2

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

Dany jest pewien ustalony punkt pracy systemu:

˙x

10

= ˙x

20

= ˙x

30

=

0, u

10

=

3, u

20

=

0.5

Pozostałe parametry punktu pracy znajdziemy wstawiając podane
warunki do równań, otrzymamy

x

10

=

0, x

20

=

0, x

30

=

1

{

˙x

1

=

f

1



x

1,

x

2,

x

3,

u

1,

u

2



˙x

2

=

f

2



x

1,

x

2,

x

3,

u

1,

u

2



˙x

3

=

f

3



x

1,

x

2,

x

3,

u

1,

u

2



15

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

A=



0

1

0

−

2

0 −6 x

3

−

4 x

2

−

4 x

1

−

1



∣

X

0,

U

0

=



0 1

0

−

2 0 −6
0 0 −1



B=



0 0
1 0
0 2



 ˙

X =A⋅ X B⋅U

A=



∂

f

1

∂

x

1

∂

f

1

∂

x

2

∂

f

1

∂

x

3

∂

f

2

∂

x

1

∂

f

2

∂

x

2

∂

f

2

∂

x

3

∂

f

3

∂

x

1

∂

f

3

∂

x

2

∂

f

3

∂

x

3



∣

X

0,

U

0

B=



∂

f

1

∂

u

1

∂

f

1

∂

u

2

∂

f

2

∂

u

1

∂

f

2

∂

u

2

∂

f

3

∂

u

1

∂

f

3

∂

u

2



∣

X

0,

U

0

16

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

{

˙x

1

=

x

2

˙x

2

=−

2 x

1

−

3 x

3

2



u

1

˙x

3

=−

4 x

1

x

2

−

x

3



2 u

2

Model nieliniowy:

17

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – rozkład w szereg Taylora

Model liniowy:

 ˙

X =A⋅ X B⋅U

A=



0 1

0

−

2 0 −6
0 0 −1



B=



0 0
1 0
0 2



18

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Metody linearyzacji: zastosowanie identyfikacji

Rozpatrujemy liniowy układ dynamiczny opisany

równaniem:

Zmienne i w każdym momencie można zmierzyć.
Na podstawie wyników obserwacji należy określić

niewiadome parametry macierzy A oraz macierzy B

X

U

U

X

˙X =A⋅X B⋅U

X ∈ R

n

U ∈ R

m

A



nxn

B



nxm

19

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Dokonujemy S pomiarów.
Dla każdego pomiaru o numerze j otrzymamy:

˙

X

j

=

AX

j



BU

j

∀

j 1, s

X

j

=

X t

j



U

j

=

U t

j



˙

X

j

=



˙x

1j

˙x

2j

⋮

˙x

nj



X

j

=



x

1j

x

2j

⋮

x

nj



U

j

=



u

1j

u

2j

⋮

u

mj



20

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Zbierając razem wszystkie pomiary możemy zapisać:

Ze względu na niedoskonałość pomiarów oraz inne

czynniki układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązania.

Można jednak mówić o istnieniu pseudorozwiązania i .

A

{

˙

X

1

=

AX

1



BU

1

˙

X

2

=

AX

2



BU

2

⋮

˙

X

S

=

AX

S



BU

S

B

21

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Podstawienie pseudorozwiąznia daje odpowiednie

odchyłki:

Obierzmy funkcję celu w postaci:

J =

∑

j=1

S

∥∥

2

{



1

= ˙

X

1

− 

A X

1

− 

B U

1



2

= ˙

X

2

− 

A X

2

− 

B U

2

⋮



S

= ˙

X

S

− 

A X

S

− 

B U

S

J =

∑

j=1

S



˙

X

j

− 

A X

j

− 

B U

j



T

⋅



˙

X

j

− 

A X

j

− 

B U

j



22

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Poszukiwane rozwiązanie zadania identyfikacji parametrów

musi spełniać warunek:

J =∥∥

2



min

Warunek optimum:

∂

J

∂ 

A

=

0 ;

∂

J

∂ 

B

=

0

23

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Pochodna skalara J po macierzowym argumencie jest

macierzą:

∂

J

∂ 

A

=



∂

J

∂

a

11

⋯

∂

J

∂

a

1n

⋮

⋮

⋮

∂

J

∂

a

n1

⋯

∂

J

∂

a

nn



;

∂

J

∂ 

B

=



∂

J

∂

b

11

⋯

∂

J

∂

b

1m

⋮

⋮

⋮

∂

J

∂

b

n1

⋯

∂

J

∂

b

nm



24

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Normalne równanie metody najmniejszych kwadratów

przyjmie postać:

{

∑

j=1

S



˙

X

j

− 

A X

j

− 

B U

j



⋅

X

j

T

=

0 

∂

J

∂ 

A

=

0

∑

j=1

S



˙

X

j

− 

A X

j

− 

B U

j



⋅

U

j

T

=

0 

∂

J

∂ 

B

=

0

25

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Podstawiając:

{

∑

j=1

S



˙

X

j

−



A∣ B



⋅

Z

j



⋅

X

j

T

=

0

∑

j=1

S



˙

X

j

−



A∣ B



⋅

Z

j



⋅

U

j

T

=

0

otrzymamy:

Z

j

=



X

j

U

j



co w postaci jednego równania przyjmie postać:

∑

j=1

S



˙

X

j

−



A∣ B



⋅

Z

j



⋅

Z

j

T

=

0

26

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Po przekształceniach otrzymamy:

podstawiając:

otrzymamy:

∑

j=1

S



˙

X

j

⋅

Z

j

T



−



A∣ B



∑

j=1

S



Z

j

⋅

Z

j

T



=

0

R

S

=

∑

j=1

S



˙

X

j

⋅

Z

j

T



P

S

=

∑

j=1

S



Z

j

⋅

Z

j

T



C =



A∣ B



R

S

=

C⋅P

S

C =R

S

⋅

P

S

−

1

dim R

S

=

n×nm

dim P

S

=

nm×nm

dim C=n×nm

Z

j

=



X

j

U

j



27

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

otrzymamy:

R

S

= ˙

X

∗

⋅

Z

∗

T

C =



A∣ B



R

S

=

C⋅P

S

C =R

S

⋅

P

S

−

1

Z

j

=



X

j

U

j



˙

X

∗

=



˙

X

1

˙

X

2



˙

X

s



oznaczając:

Z

∗

=



Z

1

Z

2



Z

s



P

S

=

Z

∗

⋅

Z

∗

T

28

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Model nieliniowy

lub

Obiekt rzeczywisty

Identyfikacja

Model liniowy

Zebranie danych

pomiarowych

˙X =A⋅X B⋅U

˙X =F  X ,U 

Y =G  X ,U 

X ∈ R

n

U ∈ R

m

A



nxn

B



nxm

29

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

Model nieliniowy

lub

Obiekt rzeczywisty

Identyfikacja

Model liniowy

Zebranie danych

pomiarowych

˙X =A⋅X

X ∈ R

2

A



2x2

¨ k

m

˙ g

l

sin=0

30

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

x

10

=

0 x

20

=

2

tp=0.001
S =15000

A=



0.004

1.001

−

4.004 −0.997



31

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

x

10

=

0 x

20

=

2

tp=0.01
S =1500

A=



0.0402

1.0097

−

4.0394 −0.9702



32

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – linearyzacja – zastosowanie identyfikacji

x

10

=

0 x

20

=

2

tp=0.1
S =150

A=



0.4235

1.0675

−

4.3424 −0.7180

