1

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Modelowanie i symulacja

dr inż. Piotr Piela

Zakład Metod Matematycznych

kontakt: pokój 28

[e-mail]

2

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

Tak

Tak

3

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Model dynamiczny –

model, w którym wyjście y zależy

od wartości wejścia u w całym nieskończonym

poprzedzającym przedziale czasowym.

y (u, t) = y {u(τ) : −∞ < τ ≤ t}

4

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Stanem systemu

nazywamy najmniejszą liczbę danych, których

znajomość w danej chwili, przy znajomości wielkości wejściowych,

począwszy od tej chwili – pozwala jednoznacznie określić stan i

wielkości wyjściowe systemu w przyszłości.

Y=[y

1

y

2

... y

m

]

T

Stanem systemu

nazywamy najmniejszą liczbę danych, których

znajomość w danej chwili, przy znajomości wielkości wejściowych,

począwszy od tej chwili – pozwala jednoznacznie określić stan i

wielkości wyjściowe systemu w przyszłości.

SYSTEM

WIELKOŚCI

WEJŚCIOWE

WIELKOŚCI

WYJŚCIOWE

u

1

u

2

u

n

y

1

y

2

y

m

U=[u

1

u

2

... u

n

]

T

Model dynamiczny

5

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Model dynamiczny

Wielkości charakteryzujące stan systemu reprezentowane są przez

zmienne stanu, których zbiór przedstawiany jest w postaci

wektora

stanu

.

Przestrzeń stanów

– n-wymiarowa przestrzeń, w której każdy stan

może być przedstawiony jako punkt w tej przestrzeni.

Zmienne stanu

to zestaw zmiennych, których znajomość w danej

chwili t zawiera całą informację o przeszłości systemu, przy czym

powinien to być zestaw o minimalnej liczbie zmiennych.

X=[x

1

x

2

... x

n

]

T

6

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Model dynamiczny

Ten sam system może być opisany przez różne zbiory zmiennych

stanu.
Oprócz zmiennych stanu rozpatruje się dodatkowo zewnętrzne

zaburzenia, które w znacznym stopniu wpływają na zachowanie

systemu.
Jakikolwiek szeroki zbiór zmiennych stanu i zewnętrznych zaburzeń

nie opisuje całkowicie wszystkich właściwości systemu.

Dzieje się tak, ponieważ zachowanie rzeczywistego systemu zależy

od wielu dodatkowych czynników, które opisują specyfikę działania

danego systemu. Różne czynniki takiego rodzaju nazywamy

parametrami systemu

.

7

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Zbiór parametrów opisujących właściwości systemu można podzielić

na dwie grupy:

parametry techniczne

– określają różnicę pomiędzy

poszczególnymi systemami działającymi w tych samych

warunkach,

parametry środowiska i warunków działania

– określają różnice

pomiędzy warunkami działania tego samego systemu.

Model dynamiczny

8

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Niech będzie dany ciągły system dynamiczny, w którym istnieją

następujące zależności:

Model dynamiczny

Tak zdefiniowany system dynamiczny można opisać za pomocą

równania stanu

– układu równań różniczkowych pierwszego rzędu:

Uzupełnieniem opisu są

równania wyjścia

określające związek

między wielkościami wyjściowymi a zamiennymi stanu i wejścia:

X

t = X t

0

 ,U t ,t

0



Y

t = X t

0

 ,U t , t

0



˙X t=F

1

 X t

0

 ,U t , t

0



Y

t=F

2

 X t

0

 ,U t , t

0



9

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Najczęściej stosowaną, a jednocześnie najbardziej ogólną metodą

formułowania modeli systemów dynamicznych opisanych przy

pomocy równań stanu i równań wyjście jest

metoda bilansowa

.

W systemach, w których mamy do czynienia z wielkościami

materialnymi, bilansowaniu najczęściej podlegają wielkości, które

podporządkowane są

zasadom zachowania: masy, energii,

ładunku, pędu i momentu pędu

.

W systemach ekonomiczno-społecznych odpowiednikiem energii czy

masy są takie wielkości jak zasoby finansowe lub siła robocza.

Odpowiednikiem mocy są zdolności przerobowe lub zatrudnienie.

Model dynamiczny – formułowanie równań stanu

10

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Model dynamiczny – analogie między zjawiskami

Wielkość fizyczna

Elektrotechnika

DZIEDZINA

Termodynamika

Hydrodynamika

zbiornik

kondensator

ciało o jednolitej

temperaturze

zbiornik cieczy

kanał

przewodnik łączący dwa

kondensatory

powierzchnia styku dwóch

ciał

rurociąg między dwoma

zbiornikami

wielkość bilansowana q

ładunek elektryczny q

energia cieplna Q

masa m

natężenie przepływu

i = dq/dt

natężenie prądu

elektrycznego i = dq/dt

strumień ciepła i = dQ/dt

strumień masy i = dm/dt

potencjał

φ

potencjał elektryczny

φ

temperatura T

wysokość słupa cieczy h

11

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Etapy budowy modelu:

wybór wielkości bilansowych,

ułożenie równań bilansowych,

wybór wielkości stanu,

ułożenie równań stanu,

określenie wielkości wyjściowych.

Model dynamiczny – metoda bilansowa

12

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Przykład: Model zbiornika z cieczą

Model dynamiczny – metoda bilansowa

Q

we

Q

wy

h

S

wy

S

Q

we

(t)

– chwilowy dopływ,

Q

wy

(t)– chwilowy odpływ,

S – przekrój poprzeczny zbiornika,
S

wy

– przekrój poprzeczny odpływu,

h(t) – wysokość słupa cieczy,
w(t) – zapełnienie zbiornika (ilość cieczy)

w

13

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Przykład: Model zbiornika z cieczą

Model dynamiczny – metoda bilansowa

Q

we

Q

wy

h

S

wy

S

w

Równanie bilansowe:

Wielkość bilansowa:

w(t)

dw

t 

dt

=Q

we

t−Q

wy

t 

w

t=S⋅ht

Zmienna stanu:

h(t)

Równanie stanu:

dh

t

dt

=

Q

we

t

S

−

Q

wy

t

S

14

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Model dynamiczny – metoda bilansowa

Prędkość wypływu

v

wy

cieczy doskonałej ze zbiornika przez mały otwór

jest opisana równaniem:

v

wy

=



2gh

t 

h(t)

– wysokość słupa cieczy,

g

– przyśpieszenie ziemskie,

Równanie na prędkość wypływu

v

wy

można wyprowadzić posługując się

równaniem Bernoulliego dla przekrojów

S

i

S

wy

:

v

we

2

2g



p

we

 g

h=

v

wy

2

2g



p

wy

 g

p

we

– ciśnienie wejściowe,

p

wy

– ciśnienie wyjściowe,

ρ

– gęstość cieczy,

Z prawa ciągłości strugi wynika:

v

we

S

=v

wy

S

wy

15

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Model dynamiczny – metoda bilansowa

Po przekształceniach otrzymamy równanie na prędkość wypływu

v

wy

w

postaci:

v

wy

=



2

[ gh− p

wy

− p

we

]



[

1

−



S

wy

S



2

]

Jeśli otwór wypływowy

S

wy

jest bardzo mały to:

1

−



S

wy

S



2

≃1

oraz

p

we

=

p

wy

=

p

otoczenia

v

wy

=



2gh

t 

to otrzymamy:

16

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Model dynamiczny – metoda bilansowa

Ostatecznie wypływ określa zależność:

Q

wy

=S

wy

⋅v

wy

=S

wy

⋅



2gh

t 

Prędkość wypływu cieczy rzeczywistej jest zawsze mniejsza niż cieczy

doskonałej. Spowodowane jest to siłami tarcia (lepkością), a także

zwężeniem strumienia cieczy w pewnej odległości od otworu. Dla cieczy

rzeczywistej można zatem zapisać:

v

wy

=



2gh

t 

Współczynnik

ϕ

nosi nazwę współczynnika wypływu. Jego wartość

zależy od kształtu otworu wypływowego i jego usytuowania względem
ścian zbiornika. Przybiera wartość 0 <

ϕ

< 1.

17

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Przykład: Model zbiornika z cieczą

Model dynamiczny – metoda bilansowa

Q

we

Q

wy

h

S

wy

S

w

Równanie stanu:

dh

t 

dt

=

Q

we

t

S

−

 S

wy

S



2gh

t 

Równanie wyjścia:

y

t=ht

18

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Innymi metodami formułowania modeli systemów dynamicznych

opisanych przy pomocy równań stanu są

metody wariacyjne

. Ich

podstawą są zasady wariacyjne mówiące, że ruch układu

dynamicznego przebiega tak, aby charakteryzujący ten układ

funkcjonał czasowy, zwany działaniem, osiągnął wartość stacjonarną

(zwykle minimalną). Najczęściej wykorzystywana jest

zasada

wariacyjna Hamiltona

(

zasada najmniejszego działania

).

Zasada najmniejszego działania jest najbardziej ogólnym

sformułowaniem praw ruchu systemów mechanicznych. Dzięki

zastosowaniu odpowiednich analogii zasada ta pozwala budować

modele innych systemów (elektromechanicznych, elektrycznych)

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

19

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Według zasady najmniejszego działania dla każdego systemu
mechanicznego, w którym nie zachodzi rozpraszanie energii (system
konserwatywny) można sformułować funkcję stanu zwaną funkcją

Lagrange'a,

spełniającą warunek: przebieg

q

(t)

od

punktu o współrzędnych

q

1

do punktu o współrzędnych

q

2

odbywa

się w ten sposób, że całka określona w przedziale

z funkcji

:

przyjmuje wartość minimalną. Wielkość

S

nazywa się działaniem.

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

L

q , ˙q ,t

t

∈t

1

,t

2



L

q , ˙q ,t

S

=

∫

t

1

t

2

L

q , ˙q ,tdt

20

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Wyznaczenie funkcji

q

(t),

dla

(t

1

, t

2

)

, która minimalizuje funkcjonał

S

jest zadaniem rachunku wariacyjnego.

Po dokonaniu odpowiednich przekształceń matematycznych, z
zasady najmniejszego działania uzyskujemy model dynamicznego
systemu konserwatywnego w postaci równań Eulera-Lagrange'a

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

d

dt



∂ L

∂ ˙q

k



− ∂

L

∂ q

k

=Q

k

k=1, N 

21

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Równania Eulera-Lagrange'a

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

d

dt



∂ L

∂ ˙q

k



− ∂

L

∂ q

k

=Q

k

k=1, N 

N

- liczba

stopni swobody systemu

–

równa liczbie współrzędnych

uogólnionych (liczbie prędkości uogólnionych)

˙q

k

q

k

Q

k

-

współrzędne

uogólnione

,

opisujące

system

po

wyeliminowaniu zmiennych zależnych

-

prędkości uogólnione

.

-

siła uogólniona

związana ze współrzędną uogólnioną

q

k

-

funkcja Lagrange'a

L

=Lq , ˙q ,t

22

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Równania Eulera-Lagrange'a

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

d

dt



∂ L

∂ ˙q

k



− ∂

L

∂ q

k

=Q

k

k=1, N 

L

=T −U

Dla konserwatywnych systemów mechanicznych funkcja Lagrange'a

jest różnicą między energią kinetyczną

T

a energią potencjalną

U

systemu.

Ostatecznie równania Eulera-Lagrange'a przyjmie postać:

d

dt



∂T

∂ ˙q

k



− ∂

T

∂ q

k

 ∂

U

∂ q

k

=Q

k

NP

k=1, N 

23

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

Równania Eulera-Lagrange'a tworzą układ

N

równań różniczkowych

zwyczajnych rzędu drugiego. Równanie te uzupełnione o

2N

warunków początkowych jednoznacznie określają równania ruchu
konserwatywnego systemu mechanicznego. Wyrażają one drugie
prawo Newtona równowagi sił.