1

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Modelowanie i symulacja

dr inż. Piotr Piela

Zakład Metod Matematycznych

kontakt: pokój 28

[e-mail]

2

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

Tak

Tak

Proces modelowania

3

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Sformułowanie problemu:

zrozumienie rozważanego problemu,
wstępne określenie celów modelowania,
współpraca modelującego z potencjalnym użytkownikiem.

Określenie szczegółowych celów i wymagań dotyczących

tworzenia i działania modelu:

zrozumienie i opracowanie planu działań,
organizacja pracy (czas, koszty, sprzęt, oprogramowanie, ludzie).

4

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Opracowania modelu konceptualnego:

zapisanie działania systemu rzeczywistego i zachodzących w nim

relacji przy pomocy algorytmów, grafów, tabel, opisów słownych

lub zależności matematycznych – sformalizowanie,
stopniowe uszczegóławianie modelu,
udział użytkownika końcowego podczas formułowania modelu

konceptualnego ma duże znaczenie dla jego dokładności.

Zbieranie i analiza danych koniecznych do określenia wartości

parametrów modelu:

dostępność danych,
jakość danych (poprawność).

5

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Kodowanie:

wybór algorytmów obliczeniowych,
wybór oprogramowania.

Model komputerowy –

model konceptualny z ustalonymi

wartościami parametrów i zapisany przy pomocy wybranego języka

programowania lub zrealizowany przy pomocy pakietu do symulacji.

Model komputerowy powinien zapewniać:

zgodność z modelowanym system w zakresie interesujących nas

zależności (podobieństwo geometryczne, kinematyczne i

dynamiczne),
łatwość użytkowania, zgodnie z przeznaczeniem.

6

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Ocena modelu:

Weryfikacja –

analiza kodu programu w celu wykrycia

nieprawidłowości

w

zapisie.

Często

przeprowadzana

automatycznie podczas kompilacji programu. Weryfikacja daje

odpowiedź na pytanie: czy poprawnie zbudowano model?

Walidacja –

badanie zachowania opracowanego modelu i

porównania działania tego modelu z działaniem (zachowaniem)

obiektu rzeczywistego. Walidacja powinna być przeprowadzana z

uwzględnieniem celów stawianych na początku procesu

modelowania i odpowiada na pytanie, czy zbudowano poprawny

model.

7

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Opracowany model matematyczny powinien być poprawny i

użyteczny.

Model poprawny

jest kompletny, logiczny i jednoznaczny. Warunek

poprawności modelu jest związany z postulatem poprawnego

sformułowania zadania, które posiada rozwiązania w określonych

zbiorach, te rozwiązania są jednoznaczne i ciągłe względem

parametrów i zmiennych.

Użyteczny model

matematyczny powinien zapewniać:

istnienie i jednoznaczność rozwiązania równań, z których jest

zbudowany,
możliwość uzyskania wyników ilościowych,
możliwość empirycznego porównania tych wyników z wielkościami

wytwarzanymi przez modelowany system rzeczywisty.

Opracowanie stosownej dokumentacji i wdrożenie modelu.

8

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

Tak

Tak

9

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Kategorie modeli matematycznych:

deterministyczne i stochastyczne,
statyczne i dynamiczne,
ciągłe i dyskretne,
stacjonarne i niestacjonarne,
liniowe i nieliniowe,
i inne.

10

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model deterministyczny –

model, w którym każdemu elementowi u

zbioru

wielkości

wejściowych

U

przyporządkowany

jest

jednoznacznie określony element y zbioru wielkości wyjściowych Y.

Zależności między zmiennymi oraz same zmienne modelu są ściśle

określone. Najczęściej stosowana klasa modeli.

Model stochastyczny –

model, w którym każdemu elementowi u

zbioru wielkości wejściowych U odpowiada nie jeden, lecz wiele

elementów zbioru wielkości wyjściowych Y. Zależności między

zmiennymi wejściowymi a zmiennymi wyjściowymi są opisane przez

rozkłady prawdopodobieństwa.

11

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model stochastyczny – przykład
Badamy czy wzrost dziecka zależy od jego wieku.

Dzieci w tym samym wieku mogą być różnego wzrostu. Na wzrost

wpływa wiele czynników: uwarunkowanie genetyczne, odżywanie,

stan zdrowia i inne. Wpływ tych czynników nie jest dokładnie znany.
Wobec tego zależność wzrostu dzieci od ich wieku ma charakter

losowy – jest zależnością stochastyczną.

Inne przykłady modeli stochastycznych:

zadania rozładowania kolejek,
działanie węzła usługowego (okienko bankowe, kasa, CPN),
zadania układania harmonogramów produkcyjnych

12

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model dynamiczny –

model, w którym wyjście y zależy od wartości

wejścia u w całym nieskończonym poprzedzającym przedziale

czasowym.

y (u, t) = y {u(τ) : −∞ < τ ≤ t}

Model statyczny –

zaniedbuje właściwości akumulacyjne systemu,

zakładając bądź rozpatrywanie obiektu w stanie ustalonym, bądź

przemijalność

składowych

przejściowych

w

przebiegach

poszczególnych zmiennych. Określa jedynie zależności funkcyjne

między zmiennymi wejściowymi a zamiennymi wyjściowymi.

13

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Przykłady zastosowań modeli statycznych:

badania operacyjne,
badanie zależności między wartościami uśrednionymi,
badanie systemów o wejściach wolnozmiennych

Badania operacyjne zajmują się zagadnieniami podejmowania

decyzji w systemach sieciowych, systemach obsługi sieciowej,

przechowywania i podziału ograniczonych zasobów, wyznaczania

ścieżek krytycznych.

14

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Przykład modelu statycznego w badaniach operacyjnych: zadanie

komiwojażera.

Wybierz trasę objazdu wszystkich węzłów danej sieci, tak aby

zminimalizować łączne koszty lub czas trwania przejazdu.
Czas jest parametrem charakteryzującym poszczególne odcinki sieci

– nie mówi nic o własnościach dynamicznych systemu.

15

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model ciągły –

wartości zmiennych modelu określone są w każdej

dowolnej chwili t. Czas zmienia się w sposób ciągły, a więc zbiór τ

wszystkich wartości zmiennych czasu jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Modele ciągłe opisujemy przy pomocy równań różniczkowych

zwyczajnych lub cząstkowych.

Model dyskretny –

wartości zmiennych modelu określone są w

danych dyskretnych chwilach czasu. Czas przyjmuje tylko

wyróżnione wartości dyskretne, a tym samym zbiór τ wszystkich

wartości zmiennych czasu jest zbiorem przeliczalnym. Modele

dyskretne opisujemy przy pomocy równań różnicowych. Modele

dyskretne stosujemy również w przypadku procesu ciągłego, jeżeli

model ten ma służyć do symulacji tego procesu za pomocą

komputera.

16

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

t

x(t)

t

1

x(t

1

)

t

x(t)

k

x(k)

k+1

k-1

model ciągły

model dyskretny (impulsowy)

17

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

model kwantowy

- zmienne modelu przyjmują tylko określone

wartości,

model skończony

- zmienne modelu przyjmują tylko skończoną

liczbę wartości,

t

x(t)

model kwantowy

t

x(t)

model skończony

18

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model stacjonarny –

model, którego parametry nie zmieniają się w

czasie.

Model niestacjonarny –

parametry modelu zmieniają się w czasie.

Przykład:
Budujemy model wymiennika ciepła (bojler), w którym następuje

wymiana ciepła między wodą przepływającą przez wężownicę a

wodą przepływającą przez zbiornik.
Jeśli przyjmiemy stały współczynnik wymiany ciepła oraz stały

przekrój poprzeczny wężownicy to otrzymamy model stacjonarny.
Jeśli w powyższym modelu uwzględnimy zmianę przekroju

poprzecznego wężownicy w wyniku odkładania się kamienia (nastąpi

zmiana parametrów modelu w czasie) to otrzymamy model

niestacjonarny.

19

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Modele matematyczne większości systemów rzeczywistych
sformułowane są w postaci nieliniowych równań różniczkowych lub
różnicowych, są

modelami nieliniowymi

.

Pewne uproszczenia tych modeli prowadzą do stworzenia

modeli

liniowych

.