1

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Modelowanie i symulacja

dr inż. Piotr Piela

Zakład Metod Matematycznych

kontakt: pokój 28 

ppiela@wi.ps.pl

2

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

 i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu 

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

 i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

 Tak

 Tak

Proces modelowania

3

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Sformułowanie problemu:

zrozumienie rozważanego problemu,
wstępne określenie celów modelowania,
współpraca modelującego z potencjalnym użytkownikiem.

Określenie  szczegółowych  celów  i  wymagań  dotyczących 

tworzenia i działania modelu:

zrozumienie i opracowanie planu działań,
organizacja pracy (czas, koszty, sprzęt, oprogramowanie, ludzie).

4

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Opracowania modelu konceptualnego:

zapisanie  działania  systemu  rzeczywistego  i  zachodzących  w  nim 

relacji  przy  pomocy  algorytmów,  grafów,  tabel,  opisów  słownych 

lub zależności matematycznych – sformalizowanie,
stopniowe uszczegóławianie modelu,
udział  użytkownika  końcowego  podczas  formułowania  modelu 

konceptualnego ma duże znaczenie dla jego dokładności. 

Zbieranie  i  analiza  danych  koniecznych  do  określenia  wartości 

parametrów modelu:

dostępność danych,
jakość danych (poprawność).

5

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Kodowanie:

wybór algorytmów obliczeniowych,
wybór oprogramowania.

Model  komputerowy  – 

model  konceptualny  z  ustalonymi 

wartościami  parametrów  i  zapisany  przy  pomocy  wybranego  języka 

programowania lub zrealizowany przy pomocy pakietu do symulacji. 

Model komputerowy powinien zapewniać:

zgodność z modelowanym system w zakresie interesujących nas 

zależności (podobieństwo geometryczne, kinematyczne i 

dynamiczne),
łatwość użytkowania, zgodnie z przeznaczeniem.

6

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Ocena modelu:

Weryfikacja  – 

analiza  kodu  programu  w  celu  wykrycia 

nieprawidłowości 

w 

zapisie. 

Często 

przeprowadzana 

automatycznie  podczas  kompilacji  programu.  Weryfikacja  daje 

odpowiedź na pytanie: czy poprawnie zbudowano model? 

Walidacja  – 

badanie    zachowania  opracowanego  modelu  i 

porównania  działania  tego  modelu  z  działaniem  (zachowaniem) 

obiektu rzeczywistego. Walidacja powinna być przeprowadzana z 

uwzględnieniem  celów  stawianych  na  początku  procesu 

modelowania i odpowiada na pytanie, czy zbudowano poprawny 

model.

7

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Opracowany  model  matematyczny  powinien  być  poprawny  i 

użyteczny. 

Model poprawny

 jest kompletny, logiczny i jednoznaczny. Warunek 

poprawności  modelu  jest  związany  z  postulatem  poprawnego 

sformułowania  zadania,  które  posiada  rozwiązania  w  określonych 

zbiorach,  te  rozwiązania  są  jednoznaczne  i  ciągłe  względem 

parametrów i zmiennych. 

Użyteczny model

  matematyczny powinien zapewniać:

istnienie i jednoznaczność rozwiązania równań, z których jest 

zbudowany,
możliwość uzyskania wyników ilościowych,
możliwość empirycznego porównania tych wyników z wielkościami 

wytwarzanymi przez modelowany system rzeczywisty.

Opracowanie stosownej dokumentacji i wdrożenie modelu.

8

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Proces modelowania

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

 i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu 

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

 i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

 Tak

 Tak

9

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Kategorie modeli matematycznych:

deterministyczne i stochastyczne,
statyczne i dynamiczne,
ciągłe i dyskretne,
stacjonarne i niestacjonarne,
liniowe i nieliniowe,
i inne.

10

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model deterministyczny – 

model, w którym każdemu elementowi u 

zbioru 

wielkości 

wejściowych

 U 

przyporządkowany 

jest 

jednoznacznie  określony  element  y zbioru  wielkości  wyjściowych  Y. 

Zależności między zmiennymi oraz same zmienne modelu są ściśle 

określone. Najczęściej stosowana klasa modeli.

Model  stochastyczny  – 

model,  w  którym  każdemu  elementowi  u

zbioru  wielkości  wejściowych  U  odpowiada  nie  jeden,  lecz  wiele 

elementów  zbioru  wielkości  wyjściowych  Y.  Zależności  między 

zmiennymi wejściowymi a zmiennymi wyjściowymi są opisane przez 

rozkłady prawdopodobieństwa.

11

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model stochastyczny – przykład
Badamy czy wzrost dziecka zależy od jego wieku.

Dzieci  w  tym  samym  wieku  mogą  być  różnego  wzrostu.  Na  wzrost 

wpływa  wiele  czynników:  uwarunkowanie  genetyczne,  odżywanie, 

stan zdrowia i inne. Wpływ tych czynników nie jest dokładnie znany. 
Wobec  tego  zależność  wzrostu  dzieci  od  ich  wieku  ma  charakter 

losowy – jest zależnością stochastyczną.

Inne przykłady modeli stochastycznych:

zadania rozładowania kolejek,
działanie węzła usługowego (okienko bankowe, kasa, CPN),
zadania układania harmonogramów produkcyjnych

12

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model dynamiczny – 

model, w którym wyjście y zależy od wartości 

wejścia  u  w  całym  nieskończonym  poprzedzającym  przedziale 

czasowym.

y (u, t) = y {u(τ) : −∞ < τ ≤ t}

Model  statyczny  – 

zaniedbuje  właściwości  akumulacyjne  systemu, 

zakładając  bądź  rozpatrywanie  obiektu  w  stanie  ustalonym,  bądź 

przemijalność 

składowych 

przejściowych 

w 

przebiegach 

poszczególnych  zmiennych.  Określa  jedynie  zależności  funkcyjne 

między zmiennymi wejściowymi a zamiennymi wyjściowymi.  

13

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Przykłady zastosowań modeli statycznych:

badania operacyjne,
badanie zależności między wartościami uśrednionymi,
badanie systemów o wejściach wolnozmiennych

Badania  operacyjne  zajmują  się  zagadnieniami  podejmowania 

decyzji  w  systemach  sieciowych,  systemach  obsługi  sieciowej, 

przechowywania  i  podziału  ograniczonych  zasobów,  wyznaczania 

ścieżek krytycznych.

14

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Przykład  modelu  statycznego  w  badaniach  operacyjnych:  zadanie 

komiwojażera.

Wybierz  trasę  objazdu  wszystkich  węzłów  danej  sieci,  tak  aby 

zminimalizować łączne koszty lub czas trwania przejazdu.
Czas jest parametrem charakteryzującym poszczególne odcinki sieci 

– nie mówi nic o własnościach dynamicznych systemu. 

15

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model  ciągły  – 

wartości  zmiennych  modelu  określone  są  w  każdej 

dowolnej chwili t. Czas zmienia się w sposób ciągły, a więc zbiór τ  

wszystkich wartości zmiennych czasu jest zbiorem nieprzeliczalnym. 

Modele  ciągłe  opisujemy  przy  pomocy  równań  różniczkowych 

zwyczajnych lub cząstkowych.

Model  dyskretny  – 

 wartości  zmiennych  modelu  określone  są  w 

danych  dyskretnych  chwilach  czasu.  Czas  przyjmuje  tylko 

wyróżnione  wartości  dyskretne,  a  tym  samym  zbiór  τ    wszystkich 

wartości  zmiennych  czasu  jest  zbiorem  przeliczalnym.  Modele 

dyskretne  opisujemy  przy  pomocy  równań  różnicowych.  Modele 

dyskretne  stosujemy  również  w  przypadku  procesu  ciągłego,  jeżeli 

model  ten  ma  służyć  do  symulacji  tego  procesu  za  pomocą 

komputera.

16

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

t

x(t)

t

1

x(t

1

)

t

x(t)

k

x(k)

k+1

k-1

model ciągły

model dyskretny (impulsowy)

17

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

model  kwantowy

 -  zmienne  modelu  przyjmują  tylko  określone 

wartości,

model  skończony

 -  zmienne  modelu  przyjmują  tylko  skończoną 

liczbę wartości,

t

x(t)

model kwantowy

t

x(t)

model skończony

18

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Model stacjonarny – 

model, którego parametry nie zmieniają się w 

czasie.

Model niestacjonarny – 

 parametry modelu zmieniają się w czasie.

Przykład: 
Budujemy  model  wymiennika  ciepła  (bojler),  w  którym  następuje 

wymiana  ciepła  między  wodą  przepływającą  przez  wężownicę  a 

wodą przepływającą przez zbiornik.
Jeśli  przyjmiemy  stały  współczynnik  wymiany  ciepła  oraz  stały 

przekrój poprzeczny wężownicy to otrzymamy model stacjonarny.
Jeśli  w  powyższym  modelu  uwzględnimy  zmianę  przekroju 

poprzecznego wężownicy w wyniku odkładania się kamienia (nastąpi 

zmiana  parametrów  modelu  w  czasie)  to  otrzymamy  model 

niestacjonarny.

19

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-06-01

Kategorie modeli

Modele  matematyczne  większości  systemów  rzeczywistych 
sformułowane  są  w  postaci  nieliniowych  równań  różniczkowych  lub 
różnicowych, są 

modelami nieliniowymi

.

Pewne  uproszczenia  tych  modeli  prowadzą  do  stworzenia 

modeli 

liniowych

.