1

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

System dyskretny

to system, w którym zbiór

rozpatrywanych wartości argumentu t jest dyskretny i

chociażby część współrzędnych, albo też oddziaływań, jest

ciągiem impulsów.

Systemy dyskretne

Systemy ciągło-dyskretne

Systemy dyskretne

tylko urządzenia dyskretne

np. komputery, filtry cyfrowe

elementy ciągłe i dyskretne

np. układ ciągły z regulatorem

cyfrowym

2

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

t

x(t)

t

1

x(t

1

)

t

x(t)

k

x(k)

k+1

k-1

T

model ciągły

model dyskretny (impulsowy)

T – czas próbkowania

Proces przekształcenia sygnału ciągłego w dyskretny nazywamy

kwantowaniem

.

3

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

model kwantowy

- zmienne modelu przyjmują tylko określone

wartości,

model skończony

- zmienne modelu przyjmują tylko skończoną

liczbę wartości,

t

x(t)

model kwantowy

t

x(t)

model skończony

4

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

Przykład: Sterowanie prędkością obrotową silnika elektrycznego –
układ ciągły

WZMACNIACZ

TACHOMETR

+

-

SILNIK

prędkość

napięcie

napięcie
zadające

Z

y*(t)

prędkość wału

pomierzona
prędkość wału

e(t)

y

0

(t)

y*

t

y

t

y(t)

e

t

y

0

t

z

t

Tachometr – prądnica, której wał połączony jest z wałem silnika,

napięcie tej prądnicy jest proporcjonalne do prędkości obrotowej

5

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

Przykład: Sterowanie prędkością obrotową silnika elektrycznego –
układ ciągły-dyskretny

TACHOMETR

+

-

prędkość

napięcie

napięcie

Z

y*(t)

prędkość wału

pomierzona
prędkość wału

e(t)

y

0

(t)

y*

t

y

t

y(t)

e

t

y

0

t

z

t

A / D

Komputer

D / A

Wzmacniacz

SILNIK

f(t)

p(t)

r(t)

f

t

p

t

r

t

6

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

Konwersja sygnałów

e(t)

●

Opóźnienie konwersji

●

Błąd kwantyzacji

f(t)

●

Czas obliczeń

●

Błąd kwantyzacji

p(t)

●

Opóźnienie konwersji

●

Błąd aproksymacji

r(t)

A/D

KOMPUTER

D/A

Czas próbkowania nie może być krótszy od sumy czasu konwersji

przetwornika A/D i czasu obliczeń komputera.

7

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Dobór czasu próbkowania

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

f(

t)

t

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

f(

t)

t

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

f(

t)

t

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

f

*

(t

)

t

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

f

*

(t

)

t

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

f

*

(t

)

t

T=1

T=0.5

T=0.5

8

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

Twierdzenie Shannona-Kotielnikowa

t

f(t)

sygnał ciągły

ω

|F(jω)|

-ω

c

ω

c

Przekształcenie Fouriera

F  j =

∫

−∞

∞

xt ⋅e

−

j  t

dt

9

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

Twierdzenie Shannona-Kotielnikowa

Do tego, aby sygnał ciągły o widmie ograniczonym
maksymalną częstotliwością

ω

c

można było odtworzyć

dokładnie, według jego wartości dyskretnych, konieczne
jest aby częstotliwość kwantowania

ω

0

spełniała warunek:



0



2⋅

c

Okres kwantowania T

0

powinien spełniać warunek:

T

0







c

10

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

{

x[k1]= f  x [k ] , u[k ] , k 

y[ k ]=g  x[k ] , u[k ] , k 

Opis dyskretnego równania nieliniowego w przestrzeni

stanów

{

X [k1]= A[ k ] X [ k ]B [k ]U [k ]

Y [k ]=C [k ] X [k ]D[ k ]U [ k ]

Opis dyskretnego równania liniowego w przestrzeni stanów

Równania różnicowe

określają stan systemu w chwili

[k+1] w zależności od stanu z chwili poprzedniej [k] i

wartości wymuszenia u[k].

11

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny systemu dyskretnego

Metody przekształcania równań różniczkowych (ciągłych)

na równania różnicowe (dyskretne)

dx t 

dt

=

x[ kT T ]−x[kT ]

T

metoda

różnicowa

Eulera

w

przód

(algorytm

ekstrapolacyjny)

dx t 

dt

=

x[ kT ]−x[kT −T ]

T

metoda

różnicowa

Eulera

wstecz

(algorytm

interpolacyjny)

12

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

B

A

Model dynamiczny systemu dyskretnego

Przykład. Dyskretyzacja modelu ciągłego.

˙X t =



0

1

−

2 −2



⋅

X t 



0
2



⋅

U t 

˙X t =A⋅X tB⋅U t 

X [ kT T ]= I  A⋅T ⋅X [ kT ]B⋅T⋅U [kT ]

X [ k 1]=



1

T

−

2T 1−2T



⋅

X [ k ]



0

2T



⋅

U [ k ]

13

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Przekształcenie Laplace'a

Istnieje również przekształcenie odwrotne:

F  z =Z

{

f [ k ]

}

=

∑

k =0

∞

F k  z

−

k

Przekształcenie Laurenta

(przekształcenie Z) przyporządkowuje

danej dyskretnej funkcji czasu f[k] funkcję zmiennej zespolonej z,

F(z), którą nazywamy transformatą Z (Laurenta)

f [k ]=Z

−

1

{

F  z 

}

14

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Przekształcenie Laplace'a

Przekształcenie Laurenta

umożliwia sprowadzenie układu równań

różnicowych reprezentujących model dyskretny liniowy i

stacjonarny do układu równań algebraicznych.

{

X [k1]= A[ k ] X [ k ]B [k ]U [k ]

Y [k ]=C [k ] X [k ]D[ k ]U [ k ]

{

z⋅X  z−zX 0= AX  zBU  z

Y  z=CX  zDU  z

{

X  z= zI −A

−

1

zX 0 zI −A

−

1

BU  z

Y  z=CX  zDU  z

15

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Model dynamiczny – transmitancja operatorowa

G  z=

Y  z 

U  z 

=

C  zI −A

−

1

BD

Transmitancja operatorowa G(z)

jest zdefiniowana jako

stosunek transformaty Z sygnału wyjściowego Y(z) do

transformaty Z sygnału wejściowego U(z), przy założeniu,
że wszystkie warunki początkowe są zerowe.

16

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 5.01.2009

Sformułowanie problemu

Ustalenie celów

i planu działania

Zbieranie danych

Tworzenie modelu

konceptualnego

Kodowanie modelu

Testowanie

Nie

Wdrożenie

Tworzenie dokumentacji

i raportów

Weryfikacja

Walidacja

Nie

Nie

Tak

Tak

Proces modelowania