Metody probabilistyczne i statystyka

17. WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

to drugi, obok

estymacji, podstawowy rodzaj wnioskowania statystycznego.

Hipoteza statystyczna

to każde przypuszczenie dotyczące

wielkości parametru rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej
lub próbnej, albo też postaci tego rozkładu, uzyskane na podstawie
próby losowej.

Dwie grupy hipotez statystycznych:

•

parametryczne

, związane z wartościami parametrów,

•

nieparametryczne

, związane z postacią rozkładów.

Wykład 5-6/ 1

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Testy parametryczne

Θ

- parametr populacji generalnej

T - przypuszczalna (hipotetyczna) wartość parametru populacji

generalnej

H

0

- hipoteza zerowa o postaci:

H

0

:

Θ

= T

co czyta się:

"Stawiamy hipotezę zerową głoszącą, że wartość parametru

Θ

jest równa T"

lub

"Stawiamy hipotezę zerową głoszącą, że różnica pomiędzy
parametrem

Θ

a jego oceną T jest statystycznie nieistotna (jest

na poziomie zerowym)" - stąd nazwa -

hipoteza zerowa

.

Wykład 5-6/ 2

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

H

1

- hipoteza alternatywna (dla każdej hipotezy zerowej określa się

hipotezę alternatywną) o postaciach:

H

1

:

Θ

≠ T

lub

H

1

:

Θ

> T

lub

H

1

:

Θ

< T

Dwie ostatnie postaci hipotezy alternatywnej określa się jako

hipotezy jednostronne.

Postawioną hipotezę zerową weryfikuje się za pomocą

odpowiedniego sprawdzianu zwanego też testem, który określa się jako
zmienną losową o postaci:

R

0

=

Θ

 T

wyznaczającą różnicę, dla której następnie buduje się

obszar

krytyczny

odrzuceń hipotezy zerowej na podstawie wartości krytycznej

R

α

dla danego

poziomu istotności

α

.

Wykład 5-6/ 3

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Każdą hipotezę zerową weryfikuje się z pewnym
prawdopodobieństwem pewności zwanym

poziomem ufności 1-

α

.

Odrzucenie hipotezy zerowej H

0

Jeżeli obliczona na podstawie próby wartość sprawdzianu (testu)

R

znajduje się w obszarze krytycznym odrzuceń, to hipotezę zerową

H

0

odrzuca się na korzyść hipotezy alternatywnej

H

1

. W przypadku

przeciwnym stwierdza się, że dla danego poziomu istotności

α

nie ma

podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

H

0

.

Wykład 5-6/ 4

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Procedura postępowania dla zweryfikowania parametrycznej
hipotezy zerowej H

0

1.

określić hipotezę zerową

H

0

oraz jej alternatywę

H

1

2.

przyjąć poziom istotności

α

oraz liczebność próby

3. określić rozkład zbiorowości generalnej

4.

określić test dla weryfikacji hipotezy zerowej

H

0

5. obliczyć wartość testu na podstawie próby

6.

odczytać z tablic rozkładu danego testu wartość krytyczną
wyznaczającą obszar odrzuceń i przyjąć (lub odrzucić) hipotezę
zerową

H

0

Wykład 5-6/ 5

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Testy dla wartości średniej populacji

Model I

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ

,

σ

),

przy czym

σ

jest znane. Na podstawie n-elementowej próby

zweryfikować hipotezę zerową:

H

0

:

µ

=

µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretną, hipotetyczną wartością średniej, wobec

hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

≠

µ

0

Wykład 5-6/ 6

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

1. na podstawie wyników z próby oblicza się:

1.1.

wartość średnią

x

1.2.

wartość zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

n

x

u

⋅

−

=

σ

µ

0

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla
założonego poziomu istotności

α

wyznacza się wartość krytyczną

u

α

/2

, taką by zachodziło:

P(|U|

≥

u

α

/2

) =

α

Wykład 5-6/ 7

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Obszar krytyczny testu określony jest zależnością:

|U|

≥

u

α

/2

tzn. że gdy z próby otrzymamy taką wartość u, że zachodzi:

|u|

≥

u

α

/2

to hipotezę zerową H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy

zachodzi:

|u|

<

u

α

/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Wykład 5-6/ 8

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

UWAGA:

Powyższy test jest testem z dwustronnym obszarem krytycznym i
stosuje się go tylko dla dwustronnej hipotezy alternatywnej:

H

1

:

µ

≠

µ

0

Przypadek 1

Hipoteza alternatywna H

1

ma postać:

H

1

:

µ

<

µ

0

W tym przypadku stosuje się test z lewostronnym obszarem
krytycznym, określonym nierównością:

U

≤

-u

α

Wykład 5-6/ 9

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

przy czym wartość u

α

wyznacz się z tablic rozkładu normalnego

standaryzowanego w taki sposób by była spełniona zależność:

P(U

≤

-u

α

) =

α

Hipotezę zerową odrzuca się, jeżeli wyznaczona z próby wartość
zmiennej u spełnia nierówność:

u

≤

-u

α

Przypadek 2

Hipoteza alternatywna H

1

ma postać:

H

1

:

µ

>

µ

0

Wykład 5-6/ 10

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

W tym przypadku stosuje się test z prawostronnym obszarem
krytycznym, określonym nierównością:

U

≥

u

α

przy czym wartość u

α

wyznacz się z tablic rozkładu normalnego

standaryzowanego w taki sposób by była spełniona zależność:

P(U

≥

u

α

) =

α

Hipotezę zerową odrzuca się, jeżeli wyznaczona z próby wartość
zmiennej u spełnia nierówność:

u

≥

u

α

Wykład 5-6/ 11

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Model II

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ

,

σ

),

przy czym odchylenie standardowe w populacji

σ

jest nieznane. W

oparciu o wyniki

małej

n-elementowej próby zweryfikować hipotezę

zerową:

H

0

:

µ

=

µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretną, hipotetyczną wartością średniej, wobec

hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

≠

µ

0

Wykład 5-6/ 12

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

1. na podstawie wyników z próby oblicza się:

1.1.

wartość średnią

x

1.2.

odchylenie standardowe s

1.3.

wartość statystyki - zmiennej t wg wzoru:

n

s

x

t

⋅

−

=

0

µ

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o
n-1 stopniach swobody

2.

z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotności

α

i dla

n-1 stopni swobody odczytuje się taką wartość t

α

, by zachodziło:

P(|T|

≥

t

α

) =

α

Wykład 5-6/ 13

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Obszar krytyczny testu określony jest zależnością:

|T|

≥

t

α

tzn. że gdy z próby otrzymamy taką wartość t, że zachodzi:

|t|

≥

t

α

to hipotezę zerową H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy

zachodzi:

|t|

<

t

α

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Wykład 5-6/ 14

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Model III

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ

,

σ

)

lub dowolny inny, o średniej

µ

i skończonej i nieznanej wariancji

σ

. Na

podstawie wyników z

dużej

n-elementowej próby zweryfikować

hipotezę zerową:

H

0

:

µ

=

µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretną, hipotetyczną wartością średniej, wobec

hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

≠

µ

0

Wykład 5-6/ 15

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

1. na podstawie wyników z próby oblicza się:

1.1.

wartość średnią

x

1.2.

odchylenie standardowe s

1.3.

wartość zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

n

s

x

u

⋅

−

=

0

µ

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla
założonego poziomu istotności

α

wyznacza się wartość krytyczną

u

α

/2

, taką by zachodziło:

P(|U|

≥

u

α

/2

) =

α

Wykład 5-6/ 16

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Obszar krytyczny testu określony jest zależnością:

|U|

≥

u

α

/2

tzn. że gdy z próby otrzymamy taką wartość u, że zachodzi:

|u|

≥

u

α

/2

to hipotezę zerową H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy

zachodzi:

|u|

<

u

α

/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Wykład 5-6/ 17

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Testy dla równości średnich dwóch populacji

Model I

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry

mają rozkłady normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym znane są

odchylenia standardowe w tych populacjach

σ

1

i

σ

2

. W oparciu o wyniki

dwu niezależnych prób o liczebnościach odpowiednio n

1

i n

2

należy

sprawdzić słuszność hipotezy zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

≠

µ

2

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

Wykład 5-6/ 18

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

1. na podstawie wyników z prób oblicza się:

1.1.

wartości średnie

1

x

i

2

x

1.2.

wartość zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

u

σ

σ

+

−

=

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład normalny
standaryzowany N(0,1)

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla
założonego poziomu istotności

α

wyznacza się wartość krytyczną

u

α

/2

, taką by zachodziło:

P(|U|

≥

u

α

/2

) =

α

Wykład 5-6/ 19

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Obszar krytyczny testu określony jest zależnością:

|U|

≥

u

α

/2

tzn. że gdy z próby otrzymamy taką wartość u, że zachodzi:

|u|

≥

u

α

/2

to hipotezę zerową H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy

zachodzi:

|u|

<

u

α

/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Wykład 5-6/ 20

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Model II

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry

mają rozkłady normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym odchylenia

standardowe w tych populacjach

σ

1

i

σ

2

nie są znane ale jednakowe tj.

σ

1

=

σ

2

. W oparciu o wyniki dwu niezależnych

małych

prób o

liczebnościach odpowiednio n

1

i n

2

należy sprawdzić słuszność hipotezy

zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

≠

µ

2

Wykład 5-6/ 21

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

1. na podstawie wyników z prób oblicza się:

1.1.

wartości średnie

1

x

i

2

x

1.2.

wariancje

2

1

s

i

2

2

s

1.3.

wartość statystyki - zmiennej t wg wzoru:









+

⋅

−

+

+

−

=

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

s

n

s

n

x

x

t

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o
(n

1

+n

2

-2) stopniach swobody

Wykład 5-6/ 22

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

2.

z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotności

α

i dla

n-1 stopni swobody odczytuje się taką wartość t

α

, by zachodziło:

P(|T|

≥

t

α

) =

α

Obszar krytyczny testu określony jest zależnością:

|T|

≥

t

α

tzn. że gdy z próby otrzymamy taką wartość t, że zachodzi:

|t|

≥

t

α

to hipotezę zerową H

0

odrzucamy.

W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|t|

<

t

α

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Wykład 5-6/ 23

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Model III

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry

mają rozkłady normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

) lub inne o skończonych

wariancjach

2

1

σ

i

2

2

σ

, które są nieznane. W oparciu o wyniki dwu

niezależnych

dużych

prób o liczebnościach odpowiednio n

1

i n

2

należy

sprawdzić słuszność hipotezy zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

≠

µ

2

Wykład 5-6/ 24

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

1. na podstawie wyników z prób oblicza się:

1.1.

wartości średnie

1

x

i

2

x

1.2.

wariancje

2

1

s

i

2

2

s

1.3.

wartość zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

s

n

s

x

x

u

+

−

=

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład normalny
standaryzowany N(0,1)

Wykład 5-6/ 25

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla
założonego poziomu istotności

α

wyznacza się wartość krytyczną

u

α

/2

, taką by zachodziło:

P(|U|

≥

u

α

/2

) =

α

Obszar krytyczny testu określony jest zależnością:

|U|

≥

u

α

/2

tzn. że gdy z próby otrzymamy taką wartość u, że zachodzi:

|u|

≥

u

α

/2

to hipotezę zerową H

0

odrzucamy.

W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

<

u

α

/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Wykład 5-6/ 26

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Test dla wariancji populacji

W praktyce duża wariancja jest niekorzystna, gdyż oznacza dużą

niejednorodność analizowanej cechy, dlatego też przy weryfikacji
hipotez dotyczących wariancji przyjmuje się hipotezę alternatywną z
obszarem krytycznym prawostronnym.

Model

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ

,

σ

),

przy czym parametry

σ

i

µ

są nieznane. Na podstawie n-elementowej

próby zweryfikować hipotezę zerową:

H

0

:

2

σ

=

2
0

σ

gdzie

2
0

σ

jest konkretną, hipotetyczną wartością wariancji

Wykład 5-6/ 27

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

wobec hipotezy alternatywnej (prawostronnej):

H

1

:

2

σ

>

2
0

σ

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

1. na podstawie wyników z próby oblicza się:

1.1.

wariancję z próby s

2

1.2.

wartość zmiennej (statystyki)

χ

2

wg wzoru:

∑

=

−

⋅

=

⋅

−

=

n

i

i

x

x

s

n

1

2

2

0

2

0

2

2

)

(

1

)

1

(

σ

σ

χ

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład

χ

2

(chi-

kwadrat) o (n-1) stopniach swobody

Wykład 5-6/ 28

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

2.

z tablic rozkładu

χ

2

(chi-kwadrat) dla założonego poziomu istotności

α

i (n-1) stopni swobody wyznacza się wartość krytyczną

2

α

χ

, taką

by zachodziło:

(

)

α

=

χ

≥

χ

α

2

2

P

Nierówność:

2

2

α

χ

≥

χ

określa prawostronny obszar krytyczny odrzuceń, tzn. gdy jest
spełniona to należy odrzucić hipotezę zerową H

0

na rzecz hipotezy

alternatywnej H

1

.

Wykład 5-6/ 29

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Test dla równości wariancji dwóch populacji

W praktyce sytuacja taka pojawia się, gdy zachodzi potrzeba

sprawdzania hipotezy o jednakowym stopniu rozproszenia badanej
cechy w dwu populacjach. Zakład się, że badane populacje mają
normalny rozkład analizowanej cechy.

Model

Rozpatrujemy dwie populacje, w których badana cecha ma

odpowiednio rozkład normalny N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym parametry

tych rozkładów są nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób
o liczebnościach odpowiednio n

1

i n

2

należy sprawdzić słuszność

hipotezy zerowej:

H

0

:

2

1

σ

=

2
2

σ

Wykład 5-6/ 30

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

2

1

σ

≠

2
2

σ

Test dla hipotezy zerowej jest następujący:

1. na podstawie wyników z próby oblicza się:

1.1.

wariancje z prób

2

1

s

i

2

2

s

, przy czym musi zachodzić

2

1

s

>

2

2

s

,

1.2.

wartość zmiennej (statystyki) F wg wzoru:

2

2

2

1

s

s

F

=

która ma rozkład F-Snedecora z (n

1

-1, n

2

-1) stopniami swobody.

Wykład 5-6/ 31

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

2.

z tablic rozkładu F-Snedecora dla założonego poziomu istotności

α

odczytuje się wartość krytyczną F

α

, taką by zachodziło:

P(F

≥

F

α

) =

α

Nierówność:

F

≥

F

α

określa prawostronny obszar krytyczny w teście, tzn.

dla

F

≥

F

α

→

odrzucamy hipotezę zerową H

0

na rzecz hipotezy

alternatywnej H

1

a dla

F

<

F

α

→

przyjmujemy hipotezę zerową H

0

Wykład 5-6/ 32

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Testy nieparametryczne

Dotyczą postaci rozkładów - tzn. weryfikuje się hipotezę o postaci

funkcyjnej rozkładu populacji generalnej.

Warunki przeprowadzenia testów nieparametrycznych
-

liczebność próby jest duża

-

próba jest losowa

-

poziom istotności nie mniejszy niż 0,01

W celu zweryfikowania hipotezy o postaci rozkładu bada się

zgodność rozkładu empirycznego uzyskanego z próby z rozkładem
teoretycznym (hipotetycznym).

Wykład 5-6/ 33

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Model

Populacja generalna ma dowolny rozkład o dystrybuancie należącej

do pewnego zbioru

Ω

rozkładów o określonym typie postaci funkcyjnej

dystrybuanty. Z populacji tej wylosowano dużą próbę (

n>30

), której

wyniki podzielono na

r

rozłącznych klas o liczebnościach

m

i

w każdej

klasie, przy czym:

∑

=

=

r

1

i

i

n

n

Otrzymano w ten sposób

szereg rozdzielczy

.

Wykład 5-6/ 34

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Na podstawie wyników z tej próby należy sprawdzić hipotezę

H

0

, że

populacja generalna ma rozkład typu

Ω

, tzn:

H

0

: F(x)

∈

Ω

Gdzie F(x) jest dystrybuantą rozkładu populacji.

Wykład 5-6/ 35

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Test zgodności

Wprowadza się charakterystykę, będącą miarą odległości między

dystrybuantą rozkładu empirycznego a dystrybuantą rozkładu
hipotetycznego:

∑

=

⋅

⋅

−

=

χ

r

1

i

i

2

i

i

2

p

n

)

p

n

(n

gdzie:

n

i

- liczebność empiryczna i-tego przedziału klasowego (nie
powinna być mniejsza niż 10)

r

- liczba przedziałów klasowych

p

i

- prawdopodobieństwo (częstość teoretyczna) odpowiadające
wartość badanej cechy w i-tej klasie:

Wykład 5-6/ 36

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

∑

=

=

r

1

i

i

1

p

n

⋅

p

i

- liczebność teoretyczna (oczekiwana) w i-tym przedziale:

∑

=

=

r

1

i

i

n

n

Statystyka

χ

2

ma przy założeniu prawdziwości

H

0

i przy

n

→

∞

rozkład

χ

2

o

r

stopniach swobody lub o (

r-k-1

) stopniach swobody, gdy

na podstawie próby oszacowano

k

parametrów.

Utworzony szereg rozdzielczy jest rozkładem empirycznym.

Wykład 5-6/ 37

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Jako rozkład teoretyczny najczęściej przyjmuje się:

•

rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

•

rozkład Poissona

•

rozkład normalny

Obliczoną statystykę

χ

2

należy porównać z wartością krytyczną

χ

α

2

odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat , przy ustalonym poziomie
istotności

α

i określonej liczbie stopni swobody.

Obszar krytyczny w tym teście buduje się prawostronnie, tzn. tak

aby była spełniona relacja:

α

χ

χ

α

=

≥

)

(

2

2

P

Wykład 5-6/ 38

StatGraph.lnk

Metody probabilistyczne i statystyka

Jeżeli zachodzi:

2

2

α

χ

≥

χ

to

H

0

należy odrzucić (gdyż różnica między rozkładem empirycznym

a hipotetycznym jest statystycznie istotna)

Wykład 5-6/ 39

StatGraph.lnk