1

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Modelowanie i symulacja

dr inż. Piotr Piela

Zakład Metod Matematycznych

kontakt: pokój 28

[e-mail]

2

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Równania Eulera-Lagrange'a

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

d

dt



∂ L

∂ ˙q

k



− ∂

L

∂ q

k

=Q

k

k=1, N 

N

- liczba

stopni swobody systemu

–

równa liczbie współrzędnych

uogólnionych (liczbie prędkości uogólnionych)

˙q

k

q

k

Q

k

-

współrzędne

uogólnione

,

opisujące

system

po

wyeliminowaniu zmiennych zależnych

-

prędkości uogólnione

.

-

siła uogólniona

związana ze współrzędną uogólnioną

q

k

-

funkcja Lagrange'a

L

=Lq , ˙q ,t

3

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Równania Eulera-Lagrange'a

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

d

dt



∂ L

∂ ˙q

k



− ∂

L

∂ q

k

=Q

k

k=1, N 

L

=T −U

Dla konserwatywnych systemów mechanicznych funkcja Lagrange'a

jest różnicą między energią kinetyczną

T

a energią potencjalną

U

systemu.

Ostatecznie równania Eulera-Lagrange'a przyjmie postać:

d

dt



∂T

∂ ˙q

k



− ∂

T

∂ q

k

 ∂

U

∂ q

k

=Q

k

NP

k=1, N 

4

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

Równania Eulera-Lagrange'a tworzą układ

N

równań różniczkowych

zwyczajnych rzędu drugiego. Równanie te uzupełnione o

2N

warunków początkowych jednoznacznie określają równania ruchu
konserwatywnego systemu mechanicznego. Wyrażają one drugie
prawo Newtona równowagi sił.

5

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Przykład: Model wahadła bez tłumienia

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

m

– masa,

l – długość,

φ

– kąt wychylenia wahadła,

g – przyspieszenie ziemskie,
v – prędkość

l

X

Y

x

y

l-y

φ

mg

v

v

y

v

x

x

=lsin

y

=lcos

Energia kinetyczna układu:

T

=

1
2

mv

2

6

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

l

X

Y

x

y

l-y

φ

mg

v

v

y

v

x

x

=lsin y=lcos

Energia kinetyczna układu:

T

=

1
2

mv

2

v

2

=v

x

2

v

y

2

v

x

=−

dx

dt

v

y

=

d

l− y

dt

v

x

=−lcos

d



dt

v

y

=lsin

d



dt

7

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

l

X

Y

x

y

l-y

φ

mg

v

v

y

v

x

Po podstawieniu energia kinetyczna
układu wynosi:

T

=

1
2

ml

2



d



dt



2

Energia potencjalna układu:

U

=mg l−l cos

8

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Równania Eulera-Lagrange'a – bez zewnętrznych sił niepotencjalnych

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

d

dt



∂T

∂ ˙q

k



− ∂

T

∂ q

k

 ∂

U

∂ q

k

=0 k=1, N 

Dla wahadła:

T

=

1
2

ml

2



d



dt



2

U

=mg l−l cos

- energia kinetyczna

- energia potencjalna

ostatecznie:

d

2



dt

2



g

l

sin

=0

q

=

- współrzędna uogólniona

9

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Równania Eulera-Lagrange'a dla wahadła – równanie II rzędu:

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

d

2



dt

2



g

l

sin

=0

Równania stanu – równania I rzędu:

{

d



1

dt

=

2

d



2

dt

=−

g

l

sin



1



10

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Przykład: Model wahadła bez tłumienia

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

l

X

Y

x

y

l-y

φ

mg

v

v

y

v

x

Równania stanu:

Równania wyjścia:

{

d



1

dt

=

2

d



2

dt

=−

g

l

sin



1



{

y

1

t=

1

t

y

2

t=

2

t 

11

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Przykład: Model wahadła z tłumieniem

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

l

X

Y

x

y

l-y

φ

mg

v

v

y

v

x

F

Siła tłumiąca:

F

=−b v

F

x

=−b v

x

=−b ˙x

F

y

=−b v

y

=−b ˙y



- współrzędna uogólniona

Q



=F

x

⋅∂

x

∂

F

y

⋅∂

y

∂

12

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Równania Eulera-Lagrange'a – z zewnętrznymi siłami niepotencjalnymi

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

d

dt



∂T

∂ ˙q

k



− ∂

T

∂ q

k

 ∂

U

∂ q

k

=Q

k

NP

k=1, N 

T

=

1
2

ml

2



d



dt



2

U

=mg l−l cos

- energia kinetyczna

- energia potencjalna

ostatecznie:

¨ b

m

˙ g

l

sin

=0

Q



=−b l

2

˙

13

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Przykład: Model wahadła z tłumieniem

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

Równania stanu:

Równania wyjścia:

{

d



1

dt

=

2

d



2

dt

=−

b

m



2

−

g

l

sin



1



{

y

1

t=

1

t

y

2

t=

2

t 

l

X

Y

x

y

l-y

φ

mg

v

v

y

v

x

F

14

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – zasada najmniejszego działania

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

φ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

φ

Model wahadła z tłumieniem

Model wahadła bez tłumienia

¨ b

m

˙ g

l

sin

=0

¨ g

l

sin

=0

15

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – normalna postać równań

W rezultacie wykorzystania metody najmniejszego działania

otrzymujemy równania systemu dynamicznego w postaci:

{

¨q

1

=

1

q

1,

, q

N

, ˙q

1,

 , ˙q

N

, u

1

t ,, u

m

t 

⋯

¨q

N

=

N

q

1,

 , q

N

, ˙q

1,

 , ˙q

N

,u

1

t , , u

m

t

W przestrzeni stanów system opisuje normalna postać równań

dynamicznych. Jest to układ równań różniczkowych pierwszego

rzędu.

{

˙x

1

= f

1

q

1,

 , q

P

, ˙q

1,

 , ˙q

P

, u

1

t  , ,u

m

t 

⋯

˙x

P

= f

P

q

1,

 , q

P

, ˙q

1,

, ˙q

P

, u

1

t , , u

m

t

16

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – normalna postać równań

Stosując podstawienie:

q

1

=x

1,

q

N

=x

N

,

˙q

1

= y

N

1

,

, ˙q

N

=x

P

gdzie P

=2N

możemy z równań Lagrange'a otrzymać normalną postać równań

dynamicznych systemu.

Przykład:

¨qaq=bu

podstawienie:

q

=x

1

˙q= ˙x

1

=x

2

¨q= ˙x

2

normalna postać równań:

{

˙x

1

=x

2

˙x

2

=bu−ax

1

17

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

Metody rozwiązywania równań różniczkowych:

metody analityczne,

rozwiązania ogólne

rozwiązania szczególne

metody numeryczne,

rozwiązania szczególne

metody eksperymentalne

rozwiązania szczególne

18

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

Rozwiązaniem równania różniczkowego

nazywamy każdą funkcję

y=y(x)

spełniającą to równanie w pewnym przedziale. Każde

rozwiązanie, które zawiera

n

dowolnych stałych c

1

, c

2

, ... , c

n

, tak że

możemy na nie nałożyć

n

dodatkowych warunków początkowych,

nazywamy

rozwiązaniem ogólnym

. Jeśli ustalimy wartości tych

stałych to otrzymamy

rozwiązanie szczególne

.

19

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

Przykład: Chcemy rozwiązać równanie

˙0=0

0=1

Jest to przypadek równania różniczkowego liniowego o stałych

współczynnikach

¨y p ˙yqy=0,

którego równanie charakterystyczne ma postać:

r

2

 p rq=0

dla

¨40⋅=0

r

2

40=0

0

r

1

= j



40

r

2

=− j



40

y

=e

 x

C

1

sin

 xC

2

cos

 x

r

1

= j 

r

2

=− j 

=0
=



40

=C

1

sin



40t

C

2

cos



40 t



rozwiązanie ogólne

0

¨40⋅=0

20

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

¨40=0

Przykład: Chcemy rozwiązać równanie

˙0=0

0=1

Rozwiązanie ogólne:

Z warunków początkowych wyznaczamy C

1

i C

2

0=C

1

sin





40

⋅0C

2

cos





40

⋅0=1 C

2

=1

˙=



40

⋅C

1

cos





40t

−



40

⋅C

2

sin





40 t



˙0=



40

⋅C

1

cos





40

⋅0−



40

⋅C

2

sin





40

⋅0=0 C

1

=0

Rozwiązanie szczególne:

=cos



40 t

=C

1

sin



40t

C

2

cos



40 t



21

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

METODY NUMERYCZNE

jednokrokowe

wielokrokowe

ze stałym krokiem

ze zmiennym krokiem

I-go rzędu
II-go rzędu
...
n-tego rzędu

I-go rzędu
II-go rzędu
...
n-tego rzędu

22

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

Rozpatrujemy równanie różniczkowe w postaci:

˙y= f x , y

z warunkiem początkowym:

y

x

0

= y

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

1

2

3

4

5

6

7

x

y

x

0

y

0

23

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

Metoda Eulera

(często nazywana metodą siecznych ze względu na

interpretację geometryczną) jest najprostszą z metod rozwiązywania

równań różniczkowych zwyczajnych. Kolejne rozwiązania wyznacza

się na podstawie zależności:

Przybliżenie wartości ścisłej y(x

n

) ma błąd rzędu h

2

. Metoda ta

pomimo swej prostoty jest rzadko stosowana ze względu na bardzo

wolną zbieżność. Istnieją szybciej zbieżne modyfikacje metody

Eulera (ulepszona metoda Eulera i zmodyfikowana metoda Eulera),

ale obliczenie jednego kroku to ponad dwukrotnie większy koszt w

porównaniu z wersją podstawową.

y

n

1

= y

n

 f  x

n

, y

n

⋅h , n1

24

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

Metoda Eulera

y

n

1

= y

n

 f  x

n

, y

n

⋅h

x

y

y

0

rozwiązanie dokładne

y=f

(x

1

,y

1

)

h=

∆

x

1

∆

y

1

y

1

= y

0

 y

1

 y

1

 x

1

= f  x

0,

y

0



y

1

= y

0

 f  x

0,

y

0

 x

1

y

1

x

0

h=

∆

x

2

x

1

y

2

x

2

∆

y

2

y=f(x

0

,y

0

)

 x

1

=h

y

1

= y

0

 f  x

0,

y

0

h

25

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

Metody Rungego-Kutty –

mogą osiągać różne rzędy dokładności.

Najczęściej stosuje się metodę IV rzędu dokładności:

y

n

1

= y

n



1

6

K

1

2K

2

2K

3

K

4



K

1

= f  x

n

, y

n

⋅h

K

2

= f x

n

h/2, y

n

1/ 2⋅K

1

⋅h

K

3

= f  x

n

h/ 2, y

n

1/2⋅K

2

⋅h

K

4

= f x

n

h , y

n

K

3

⋅h

26

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

Metoda

Adams’a-Bashfort’a

należy

do

grupy

metod

wielokrokowych, w których wykorzystuje się informacje o
poprzednio obliczonych wartościach funkcji. W sytuacji gdy
korzystamy z informacji w dwóch punktach otrzymamy metodę
dwukrokową:

y

n

1

= y

n



h
2

3f  x

n

, y

n

− f  x

n

−1

, y

n

−1



27

MODELOWANIE I SYMULACJA

Szczecin - 2006-12-08

Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

t

φ

rozwiazanie dokladne

metoda Eulera
metoda Adamsa

metoda RK

¨40⋅=0, h=0.05 , ˙0=0, 0=1

Równanie: