METODA ŚREDNIEJ SZEROKOŚCI GAUSSA

Metoda ta została stworzona przez F.G. Gaussa w 1846 roku. Bazuje ona na wykorzystaniu
szeregów Legendre’a ale dla połówek argumentu s. Dzięki temu zwiększa się zbieżność
szeregów potęgowych.
Na linii geodezyjnej wychodzącej w azymucie A

1

z punktu P

1

o znanych współrzędnych B

1

,

L

1

obieramy punkt pomocniczy P tak, aby jego szerokość geodezyjna była równa:

(

)

2

1

P

B

B

2

1

B

+

=

A

2

A

P

A

1

P

1

P

2

P

m

B

2

B

m

B

1

L

1

L

2

L

m

s

1

s

2

B

Punkt ten podzieli nam ortodromę na dwie
nierówne części s

1

i s

2,

również nie będą

spełnione zależności

(

)

2

1

P

L

L

2

1

L

+

≠

(

)

2

1

P

A

A

2

1

A

+

≠

Możemy wprowadzić ponadto dodatkowy
punkt P

s/2

w połowie długości s. Szerokość

geodezyjna tego punktu wynosi B

s/2

a jej

pochodne

2

s

2

2

2

s

ds

B

d

;

dS

dB

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

podobnie z długością geograficzną L

s/2

i jej pochodnymi

2

s

2

2

2

s

ds

L

d

;

dS

dL

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

A

2

A

m

A

1

P

1

P

2

P

m

B

2

B

m

B

1

L

1

L

2

L

m

1

/

2

s

1

/

2

s

B

oraz z azymutem

2

s

2

2

2

s

ds

A

d

;

dS

dA

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

W punkcie P

s/2

możemy napisać za pomocą szeregu Legendre’a (tylko dla współrzędnej B)

...

384

s

ds

B

d

48

s

ds

B

d

8

s

ds

B

d

2

s

ds

dB

B

B

4

2

/

s

4

4

3

2

/

s

3

3

2

2

/

s

2

2

2

/

s

2

/

s

1

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

...

384

s

ds

B

d

48

s

ds

B

d

8

s

ds

B

d

2

s

ds

dB

B

B

4

2

/

s

4

4

3

2

/

s

3

3

2

2

/

s

2

2

2

/

s

2

/

s

2

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

identycznie dla współrzędnej L i azymutu A.

1

Odejmując stronami szeregi górne od dolnych otrzymamy odpowiednio:

....

s

ds

B

d

1920

1

s

ds

B

d

24

1

s

ds

dB

B

B

5

2

/

s

5

5

3

2

/

s

3

3

2

/

s

1

2

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

podobnie dla długości i azymutu

Natomiast sumując i dzieląc przez 2 otrzymujemy różnicę między średnimi wartościami B,
L, A i wartościami tych parametrów w punkcie P

s/2

.

....

s

ds

B

d

384

1

s

ds

B

d

8

1

B

B

4

2

/

s

4

4

2

2

/

s

2

2

2

/

s

P

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

−

podobnie dla długości i azymutu

Za Gaussem do szeregu B

2

-B

1

wstawmy średnią szerokość geodezyjną B

P

a ponadto

przedstawmy pochodną (dB/ds)

s/2

w formie uwzględniającej jej zależność od B i od

azymutu A.
Zadanie proste - wzory
Ostateczne obliczenie współrzędnych w zadaniu prostym wykonujemy z następujących
wzorów:

[ ]

[ ]

[ ]

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

∆

µ

+

∆

µ

+

=

−

....

B

6

B

cos

L

5

1

A

cos

s

1

B

B

2

2

2

1

2

[ ]

[ ]

[ ]

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

∆

µ

+

∆

µ

+

=

−

....

B

4

B

sin

L

3

1

B

sec

A

sin

s

2

L

L

2

2

2

1

2

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

∆

µ

+

∆

µ

+

∆

µ

−

∆

µ

+

=

−

...

B

.

8

B

cos

L

7

B

4

B

sin

L

3

1

tgB

A

sin

s

2

A

A

2

2

2

2

2

2

1

2

gdzie

[ ]

M

1

1

=

[ ]

N

1

2

=

[ ]

24

3

µ

=

[ ]

(

)

2

2

2

4

t

9

1

V

1

24

4

η

−

η

+

µ

=

[ ]

(

)

2

2

2

t

3

2

24

5

η

+

+

µ

=

[ ]

(

)

2

2

2

2

4

2

t

4

1

t

V

8

6

η

−

η

−

−

η

µ

=

[ ]

2

V

12

7

µ

=

[ ]

(

)

4

2

4

5

8

3

V

1

24

8

η

+

η

+

µ

=

B

cos

e

1

V

2

2

2

′

+

=

tgB

t

=

B

cos

e

2

2

2

′

=

η

4819

294

434

,

0

e

log

=

=

µ

Obliczenie zadania prostego wymaga postępowania iteracyjnego ponieważ nie znamy
wartości

∆B, ∆L. Pierwsze przybliżenie można otrzymać z wzorów przybliżonych:

A

cos

M

s

B

=

∆

A

sin

B

cos

N

s

L

=

∆

następne wystarczające

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

∆

....

t

3

2

A

sin

N

s

24

1

1

A

cos

V

N

s

B

2

2

2

(

)

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⋅

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

∆

....

t

A

tg

1

A

cos

N

s

24

1

1

B

cos

A

sin

N

s

L

2

2

2

2

2

Zadanie odwrotne – wzory

Z powyższych wzorów łatwo możemy otrzymać wzory do zadania odwrotnego.

[ ]

[ ]

[ ]

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

∆

µ

+

∆

µ

−

∆

=

....

B

4

B

sin

L

3

1

B

cos

2

L

A

sin

s

2

2

2

[ ]

[ ]

[ ]

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

∆

µ

−

∆

µ

−

∆

=

....

B

6

B

cos

L

5

1

1

B

A

cos

s

2

2

2

[ ]

[ ]

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

∆

µ

+

∆

µ

+

∆

=

−

=

∆

...

B

8

B

cos

L

7

1

B

sin

L

A

A

A

2

2

2

1

2

gdzie

[ ]

M

1

1

=

[ ]

N

1

2

=

[ ]

24

3

µ

=

[ ]

(

)

2

2

2

4

t

9

1

V

1

24

4

η

−

η

+

µ

=

[ ]

(

)

2

2

2

t

3

2

24

5

η

+

+

µ

=

[ ]

(

)

2

*

2

1

24

5

η

−

µ

=

[ ]

(

)

2

2

2

2

4

2

t

4

1

t

V

8

6

η

−

η

−

−

η

µ

=

[ ]

2

V

12

7

µ

=

[ ]

(

)

4

2

4

5

8

3

V

1

24

8

η

+

η

+

µ

=

B

cos

e

1

V

2

2

2

′

+

=

tgB

t

=

B

cos

e

2

2

2

′

=

η

4819

294

434

,

0

e

log

=

=

µ

Z pierwszych dwóch wzorów otrzymamy s i tg A (azymut średni). Chcąc obliczyć azymuty
A

1

i A

2

stosujemy następujące wzory:

2

A

A

A

2

∆

+

=

2

A

A

A

1

∆

−

=

Wszystkie wartości związane z szerokością geodezyjną B liczymy dla punktu średniej
szerokości

(

)

2

1

B

B

2

1

B

+

=

3