METODA ŚREDNIEJ SZEROKOŚCI GAUSSA
Metoda ta została stworzona przez F.G. Gaussa w 1846 roku. Bazuje ona na wykorzystaniu
szeregów Legendre’a ale dla połówek argumentu s. Dzięki temu zwiększa się zbieżność
szeregów potęgowych.
Na linii geodezyjnej wychodzącej w azymucie A
1
z punktu P
1
o znanych współrzędnych B
1
,
L
1
obieramy punkt pomocniczy P tak, aby jego szerokość geodezyjna była równa:
(
)
2
1
P
B
B
2
1
B
+
=
A
2
A
P
A
1
P
1
P
2
P
m
B
2
B
m
B
1
L
1
L
2
L
m
s
1
s
2
B
Punkt ten podzieli nam ortodromę na dwie
nierówne części s
1
i s
2,
również nie będą
spełnione zależności
(
)
2
1
P
L
L
2
1
L
+
≠
(
)
2
1
P
A
A
2
1
A
+
≠
Możemy wprowadzić ponadto dodatkowy
punkt P
s/2
w połowie długości s. Szerokość
geodezyjna tego punktu wynosi B
s/2
a jej
pochodne
2
s
2
2
2
s
ds
B
d
;
dS
dB
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
podobnie z długością geograficzną L
s/2
i jej pochodnymi
2
s
2
2
2
s
ds
L
d
;
dS
dL
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
A
2
A
m
A
1
P
1
P
2
P
m
B
2
B
m
B
1
L
1
L
2
L
m
1
/
2
s
1
/
2
s
B
oraz z azymutem
2
s
2
2
2
s
ds
A
d
;
dS
dA
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
W punkcie P
s/2
możemy napisać za pomocą szeregu Legendre’a (tylko dla współrzędnej B)
...
384
s
ds
B
d
48
s
ds
B
d
8
s
ds
B
d
2
s
ds
dB
B
B
4
2
/
s
4
4
3
2
/
s
3
3
2
2
/
s
2
2
2
/
s
2
/
s
1
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
...
384
s
ds
B
d
48
s
ds
B
d
8
s
ds
B
d
2
s
ds
dB
B
B
4
2
/
s
4
4
3
2
/
s
3
3
2
2
/
s
2
2
2
/
s
2
/
s
2
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
identycznie dla współrzędnej L i azymutu A.
1
Odejmując stronami szeregi górne od dolnych otrzymamy odpowiednio:
....
s
ds
B
d
1920
1
s
ds
B
d
24
1
s
ds
dB
B
B
5
2
/
s
5
5
3
2
/
s
3
3
2
/
s
1
2
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
podobnie dla długości i azymutu
Natomiast sumując i dzieląc przez 2 otrzymujemy różnicę między średnimi wartościami B,
L, A i wartościami tych parametrów w punkcie P
s/2
.
....
s
ds
B
d
384
1
s
ds
B
d
8
1
B
B
4
2
/
s
4
4
2
2
/
s
2
2
2
/
s
P
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
podobnie dla długości i azymutu
Za Gaussem do szeregu B
2
-B
1
wstawmy średnią szerokość geodezyjną B
P
a ponadto
przedstawmy pochodną (dB/ds)
s/2
w formie uwzględniającej jej zależność od B i od
azymutu A.
Zadanie proste - wzory
Ostateczne obliczenie współrzędnych w zadaniu prostym wykonujemy z następujących
wzorów:
[ ]
[ ]
[ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
∆
µ
+
∆
µ
+
=
−
....
B
6
B
cos
L
5
1
A
cos
s
1
B
B
2
2
2
1
2
[ ]
[ ]
[ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
∆
µ
+
∆
µ
+
=
−
....
B
4
B
sin
L
3
1
B
sec
A
sin
s
2
L
L
2
2
2
1
2
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
∆
µ
+
∆
µ
+
∆
µ
−
∆
µ
+
=
−
...
B
.
8
B
cos
L
7
B
4
B
sin
L
3
1
tgB
A
sin
s
2
A
A
2
2
2
2
2
2
1
2
gdzie
[ ]
M
1
1
=
[ ]
N
1
2
=
[ ]
24
3
µ
=
[ ]
(
)
2
2
2
4
t
9
1
V
1
24
4
η
−
η
+
µ
=
[ ]
(
)
2
2
2
t
3
2
24
5
η
+
+
µ
=
[ ]
(
)
2
2
2
2
4
2
t
4
1
t
V
8
6
η
−
η
−
−
η
µ
=
[ ]
2
V
12
7
µ
=
[ ]
(
)
4
2
4
5
8
3
V
1
24
8
η
+
η
+
µ
=
B
cos
e
1
V
2
2
2
′
+
=
tgB
t
=
B
cos
e
2
2
2
′
=
η
4819
294
434
,
0
e
log
=
=
µ
Obliczenie zadania prostego wymaga postępowania iteracyjnego ponieważ nie znamy
wartości
∆B, ∆L. Pierwsze przybliżenie można otrzymać z wzorów przybliżonych:
A
cos
M
s
B
=
∆
A
sin
B
cos
N
s
L
=
∆
następne wystarczające
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∆
....
t
3
2
A
sin
N
s
24
1
1
A
cos
V
N
s
B
2
2
2
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
∆
....
t
A
tg
1
A
cos
N
s
24
1
1
B
cos
A
sin
N
s
L
2
2
2
2
2
Zadanie odwrotne – wzory
Z powyższych wzorów łatwo możemy otrzymać wzory do zadania odwrotnego.
[ ]
[ ]
[ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
∆
µ
+
∆
µ
−
∆
=
....
B
4
B
sin
L
3
1
B
cos
2
L
A
sin
s
2
2
2
[ ]
[ ]
[ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
∆
µ
−
∆
µ
−
∆
=
....
B
6
B
cos
L
5
1
1
B
A
cos
s
2
2
2
[ ]
[ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
∆
µ
+
∆
µ
+
∆
=
−
=
∆
...
B
8
B
cos
L
7
1
B
sin
L
A
A
A
2
2
2
1
2
gdzie
[ ]
M
1
1
=
[ ]
N
1
2
=
[ ]
24
3
µ
=
[ ]
(
)
2
2
2
4
t
9
1
V
1
24
4
η
−
η
+
µ
=
[ ]
(
)
2
2
2
t
3
2
24
5
η
+
+
µ
=
[ ]
(
)
2
*
2
1
24
5
η
−
µ
=
[ ]
(
)
2
2
2
2
4
2
t
4
1
t
V
8
6
η
−
η
−
−
η
µ
=
[ ]
2
V
12
7
µ
=
[ ]
(
)
4
2
4
5
8
3
V
1
24
8
η
+
η
+
µ
=
B
cos
e
1
V
2
2
2
′
+
=
tgB
t
=
B
cos
e
2
2
2
′
=
η
4819
294
434
,
0
e
log
=
=
µ
Z pierwszych dwóch wzorów otrzymamy s i tg A (azymut średni). Chcąc obliczyć azymuty
A
1
i A
2
stosujemy następujące wzory:
2
A
A
A
2
∆
+
=
2
A
A
A
1
∆
−
=
Wszystkie wartości związane z szerokością geodezyjną B liczymy dla punktu średniej
szerokości
(
)
2
1
B
B
2
1
B
+
=
3