Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

1

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

Ćwiczenie 7

OPŁYW CIAŁA STAŁEGO PŁYNEM RZECZYWISTYM

7.1. Siły występujące przy opływie ciała stałego przez płyn rzeczywisty

Przy opływie nieruchomych ciał stałych przez płyn rzeczywisty reakcja wywierana

przez to ciało na płyn zależy m.in. od: liczby Reynoldsa, kształtu ciała, gładkości powierzchni

ciała, rodzaju opływającego płynu, itp. Działanie płynu na ciało stałe jest wypadkową sił

stycznych (wywołanych lepkością), występujących na powierzchni ciała i sił

powierzchniowych (ciśnienia), skierowanych normalnie do jego powierzchni.

Składowa, reakcji, normalna do kierunku ruchu względnego ciała stałego i płynu,

nazywa się siłą nośną. Dla ciał stałych mających oś symetrii lub płaszczyznę symetrii

równoległą do kierunku ruchu względnego siła nośna jest równa zeru.

Składowa reakcji, równoległa do kierunku ruchu względnego nazywa się siłą oporu

czołowego.

Dla przypadku powolnego opływu kuli, zaniedbując w równaniach Naviera - Stokesa

wszystkie człony reprezentujące siły masowe, Stokes uzyskał układ równań liniowych

w uproszczonej postaci:

( )

( )

( )

( )

( )

2

x

2

2

y

2

z

p

v

x
p

grad p

v

v

y
p

v

z

ì¶

= h×Ñ

ï¶

ï

¶

ï

= h×Ñ

=

= h×Ñ

í¶

ï

ï¶

= h×Ñ

ï

¶

î

r

(7.1)

Uzupełniając układ równań (7.1) równaniem ciągłości w postaci:

v

g

v

d

v

0

2

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

y

x

z

v

v

v

0

x

y

z

¶

¶

¶

+

+

=

¶

¶

¶

(7.2)

oraz biorąc pod uwagę warunki brzegowe :

2

2

2

x

y

z

2

2

2

2

x

y

z

v

v ,

v

v

0,

p p dla x

y

z

v

v

v

0 dla x

y

z

R

¥

¥

=

=

=

=

+

+

= ¥

=

=

=

+

+

=

(7.3)

określił Stokes, po rozwiązaniu układu równań (7.1) i (7.2) przy warunkach brzegowych (7.3)

pole prędkości i ciśnienia w cieczy. Na podstawie uzyskanych wyników otrzymał następujący

wzór na siłę oporu czołowego, działającego na kulę [l, 2]:

P 6

v R

¥

= × p×h×

×

(7.4)

gdzie:

h - dynamiczny współczynnik lepkości cieczy,

v

∞

- prędkość płynu w obszarze niezakłóconym,

R - promień kuli.

Uwzględniając w równaniu definicyjnym współczynnik oporu:

x

2

2

P

c

v

R

2

¥

=

r×

× p×

(7.5)

wzór (7.4) otrzymujemy teoretyczną postać zależności na współczynnik oporu czołowego:

x

24

c

Re

=

(7.6)

gdzie:

v

2R

Re

¥

×r×

=

h

Rozważania Stokesa słuszne są tylko w obszarze bezpośrednio sąsiadującym

z opływanym ciałem. W dalszej odległości od ciała siły masowe (inercyjne) nie mogą być

pominięte, jako małe w porównaniu z siłami lepkości, ponieważ w rzeczywistości są one

większe od sił lepkości.

Wyniki doświadczeń wykazują słuszność wzoru Stokesa dla liczb Reynoldsa Re ≤ 0,1 [2].

Znacznie lepsze wyniki w zakresie powolnych przepływów, w sensie rozszerzenia

zakresu liczb Reynoldsa, uzyskać można zachowując w równaniach Naviera-Stokesa te

składniki całkowitej siły masowej, które w dalszej odległości od ciała są duże w porównaniu

z pozostałymi.

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

3

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

Przy tym założeniu oraz przy podobnych warunkach granicznych uzyskał Oseen po

rozwiązaniu równania wyjściowego:

( )

( )

2

dv

v

grad p

v

dx

¥

r×

×

= -

+ h×Ñ

r

r

(7.7)

odpowiadającą (7.6) zależność w postaci:

x

24

3

c

1

Re ...

Re

16

æ

ö

=

+

+

ç

÷

è

ø

(7.8)

Zależność (7.8) zwana jest wzorem Oseena. Wyniki doświadczeń potwierdzają słuszność

wzoru Oseena dla wartości liczb Reynoldsa Re ≤ 1 [2].

Dla większych wartości liczby Reynoldsa Re ≤ 100 proponowana jest zależność

empiryczna w postaci [2]:

1
2

x

24

3

c

1

Re

Re

16

æ

ö

=

+

ç

÷

è

ø

(7.9)

W przypadku dużych wartości liczb Reynoldsa, jak również skomplikowanych

kształtów opływanych ciał, zaleca się ogólną zależność opisującą opór ciała przy opływie płynem:

2

x

v

P c

S

2

¥

r×

=

×

(7.10)

gdzie:

S - powierzchnia odniesienia (pole powierzchni największego przekroju ciała w płaszczyźnie

prostopadłej do kierunku prędkości).

Rys. 7.1. Współczynnik oporu dla ciał dwuwymiarowych

4

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

Zależność (7.10) otrzymano za pomocą metody analizy wymiarowej. W ogólności

wartość współczynnika oporu c

x

zależy od wielu czynników, z których najważniejszymi są:

kształt ciała opływanego, liczba Reynoldsa, liczba Macha, itp.

Zależność c

x

= f(Re) dla ciał dwuwymiarowych podaje wykres przedstawiony na

rys. 7.1, natomiast ma rys. 7.2 przedstawiono zależność współczynnika oporu od liczby

Reynoldsa dla małych, osiowo-symetrycznych ciał, takich jak: kula, elipsoida, dysk kołowy.

Rys. 7.2. Współczynnik oporu dla małych osiowo-symetrycznych ciał

Asymetrię rozkładu ciśnienia na przedniej i tylnej części opływanego profilu łatwo

przedstawić na przykładzie walca kołowego o nieskończonej długości. Walec o średnicy d

jest usytuowany w ten sposób, aby jego oś była normalna do kierunku przepływu płynu. Dla

bardzo małych wartości liczby Reynoldsa Re < 0.5 siły bezwładności są pomijalnie małe,

szczególnie w bezpośrednim sąsiedztwie opływanego walca. Kształt linii prądu w takim

przypadku przedstawiony jest na rys. 7.3a. Jeżeli wartość liczby Reynoldsa zawiera się

w przedziale 2

¸30, wówczas obserwuje się oderwanie warstwy przyściennej w punktach S,

rys.7.3b. Powstają wówczas dwa symetryczne wiry posiadające orientację przeciwną do

kierunku przepływu [ 2], [3].

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

5

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

Rys. 7.3. Rozwój wirów za opływanym walcem

W miarę wzrostu wartości liczby Reynoldsa powstałe wiry powiększają swoje

rozmiary, rys. 7.3c. Dla wartości liczby Reynoldsa Re ≥ 40 powstawanie coraz to nowych

wirów za opływanym ciałem ma charakter nieustalony. Wiry tworzą się na przemian zarówno

w górnej części za opływanym ciałem, jak i w dolnej części (rys. 7.3d). Proces ten ma

charakter oscylacyjny [2], [3].

O wirach, które tworzą się za opływanym walcem przy wartościach liczby Reynoldsa:

100 < Re < 2·10

5

można ogólnie powiedzieć, że odrywają się one okresowo i na przemian to od

górnej, to od dolnej części powierzchni walca. Powstający w takich okolicznościach układ

wirów zwany jest ścieżką wirów Bernard-Karmana. Wiry te oddalają się od walca z prędkością

znacznie mniejszą od prędkości strumienia napływającego [2], [4]. Odległość między

tworzącymi się dwoma szeregami wirów szybko zdąża do pewnej stałej wartości h, rys.7.4.

Karman ustalił w drodze teoretycznej, że jedynym statecznym układem wirów jest taki

układ, dla którego:

( )

1

h

1

sin h

l 0.281

l

-

=

× =

p

(7.11)

Rys. 7.4. Ścieżka wirów

6

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

7.2. Warstwa przyścienna

W przypadku dużych wartości liczby Reynoldsa, a więc przepływów charakteryzujących

się dużymi prędkościami, założenia polegające na pominięciu członów konwekcyjnych

w równaniach Naviera-Stokesa są obarczone dużymi błędami. Wynika stąd, że uproszczenia,

które doprowadziły Stokesa do równania (7.1) a Oseena - do równania (7.7), tracą tutaj swoją

ważność. Pewną koncepcję dotyczącą opływu płynem ciał stałych przy założeniu dużych

wartości liczby Reynoldsa przedstawił Prandtl (7.1). W całkowitym obszarze przepływu

w otoczeniu ciała stałego Prandtl wyróżnił dwa podobszary (rys. 7.5). Pierwszy z nich (I)

znajduje się w bezpośrednim sąsiedztwie ścianek ciała, które stanowią jego ograniczenie.

Obszar ten nazwano warstwą przyścienną.

W warstwie przyściennej siły lepkości są co najmniej tego samego rzędu co siły

masowe, a więc mają istotny wpływ na ruch płynu.

Poza warstwą przyścienną leży obszar drugi (II), w którym siły lepkości są pomijalnie

małe w porównaniu z siłami masowymi. Ostatnia cecha pozwala traktować płyn rzeczywisty

w obszarze II jako płyn nielepki. Zjawisko powstawania warstwy przyściennej i kształtowania

się przepływu w tej warstwie można przedstawić w sposób uproszczony: na skutek zjawiska

adhezji elementy płynu bezpośrednio stykające się z powierzchnią ciała stałego przylegają do

tej powierzchni, tak że ich prędkość względna jest równa zeru. Innymi słowy elementy te

pozostają w spoczynku lub poruszają się z tą samą prędkością co opływane ciała stałe.

Przejście do zerowej wartości prędkości względnej na powierzchni opływanego ciała do

prędkości przepływu istniejącej w pewnej odległości od tej powierzchni (obszar II) odbywa

się w sposób ciągły (rys. 7.5).

Rys. 7.5. Obszar przepływu w otoczeniu ciała stałego

Gradient prędkości

v
n

¶
¶

w warstwie przyściennej maleje ze wzrostem odległości od

powierzchni ciała, tak że

2

2

v

0

n

¶

<

¶

. Odległość od powierzchni ciała, dla której

v

0

n

¶

»

¶

,

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

7

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

nazywa się grubością warstwy przyściennej. Określenie grubości warstwy przyściennej musi

pozostać jednak umowne, gdyż teoretycznie gradient prędkości osiąga wartość zerową dla

nieskończonej odległości w kierunku n. Często w praktyce zakłada się, że różnica pomiędzy

wartością prędkości na granicy warstwy przyściennej wynosi 1% w stosunku do wartości

prędkości przepływu nielepkiego. Zakładając stacjonarność przepływu oraz małą grubość

laminarnej warstwy przyściennej można dla obszaru warstwy przyściennej zapisać [1], [4]:

2

2

v

v

v

x

y

¶

¶

r× ×

» h

¶

¶

(7.12)

Dla płaskiej płytki o długości l (jak na rys.7.6) można założyć:

v

v
x

l

¥

¶

»

¶

(7.13)

Uwzględniając (7.13) w (7.12) siłę bezwładności nożna zapisać w postaci:

2

2

2

v

v

l

y

¥

¶

r×

» h

¶

(7.14)

Zakładając ponadto, że gradient prędkości w kierunku normalnym ma wielkość rzędu:

v

v
y

¥

¶

=

¶

d

(7.15)

wyrażenie (7.12) można ostatecznie zapisać:

2

2

v

v

l

¥

¥

r×

» h

d

(7.16)

Przekształcając (7.16) otrzymamy:

1

v l

Re

¥

n

d »

»

×

(7.17)

Z (7.17) wynika, że grubość warstwy przyściennej jest odwrotnie proporcjonalna do

pierwiastka kwadratowego z liczby Reynoldsa.

Rys. 7.6. Schemat przepływu w laminarnej warstwie przyściennej

8

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

7.3. Oderwanie warstwy przyściennej

Zjawisko oderwania warstwy przyściennej wiąże się ze zmianą rozkładu prędkości

wzdłuż powierzchni opływanego ciała [1], [2], [3]. Na element płynu w warstwie

przyściennej działają siły styczne wywołane lepkością (wypadkowa tych sił zwrócona jest

przeciwnie do prędkości) i siły ciśnieniowe, mające charakter przyspieszający lub

opóźniający w zależności od tego czy ciśnienie wzdłuż opływanej powierzchni maleje czy też

wzrasta.

W przypadku, jeśli ciśnienie wzrasta wzdłuż opływanej powierzchni czyli (p+dp) > p,

wówczas wypadkowa sił stycznych T Jest skierowana przeciwnie do prędkości elementu

płynu, a ruch w ogólności staje się opóźniony.

Zgodnie z powyższym, rozkład prędkości w warstwie przyściennej zmienia się

w sposób pokazany na rys. 7.8.

W wyniku takiego rozkładu prędkości powstaje zjawisko oderwania warstwy

przyściennej. Z rys. 7.8 wynika, że proces odrywania warstwy przyściennej zależy głównie od

gradientu ciśnienia wzdłuż opływanej powierzchni. W przypadku

p

0

x

¶

>

¶

następuje

przyspieszenie zjawiska oderwania, natomiast

p

0

x

¶

<

¶

- opóźnia zjawisko oderwania. Na

zjawisko oderwania warstwy przyściennej ma również wpływ szereg innych czynników,

takich jak: charakter ruchu płynu (laminarny, turbulentny) w warstwie przyściennej, gładkość

opływanej powierzchni, odsysanie warstwy przyściennej, miejscowe ochładzanie opływanej

powierzchni, dodatkowy ruch względny opływanego ciała (np. ruch wirowy walca wokół

własnej osi), wprowadzenie tzw. turbulizatorów, itp.

Rys. 7.7. Siły działające na element płynu w warstwie przyściennej

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

9

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

Rys.7.8. Zmiana prędkości w warstwie przyściennej oraz rozkładu ciśnienia na powierzchni opływanej

Rys. 7.9. Rozkład ciśnienia na powierzchni profilu kołowego: a) teoretyczny, b) rzeczywisty dla

małych wartości Re, c) rzeczywisty dla dużych wartości Be.

W przypadku niezakłóconego opływu kuli lub profilu kołowego można obserwować

dwojaki sposób oderwania warstwy przyściennej, uwarunkowany małymi lub dużymi

wartościami liczby Reynoldsa [5].

Opływ przedniej części kuli lub profilu kołowego odbywa się w warunkach nie

sprzyjających oderwaniu warstwy przyściennej. Od punktu O, zwanego punktem stagnacji

(maksymalne nadciśnienie), do punktu 1, zwanego punktem oderwania (maksymalne

podciśnienie), występuje ujemny gradient ciśnienia. Teoretycznie punkt 1 jest przesunięty

względem punktu O o kąt 90°. W rzeczywistości punkt oderwania 1 występuje wcześniej (np.

dla walca kołowego, kąt środkowy

( )

o

o

0,1

70 : 85

=

R

. Jeżeli w punkcie 1 ruch w warstwie

przyściennej zachował jeszcze charakter laminarny, to przy dodatnim gradiencie ciśnienia

nastąpi szybka zmiana energii kinetycznej na energię potencjalną ciśnienia i oderwanie

10

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

w pobliżu punktu 2, kąt środkowy wynosi

( )

o

0, 2

80

=

R

. Jeżeli w punkcie 1 ruch w warstwie

przyściennej jest już turbulentny, to mimo dodatniego gradientu ciśnienia w prawo od tego

punktu (rys. 7.9c) energia kinetyczna warstwy przyściennej wyczerpuje się na znacznie

dłuższej drodze i oderwanie ma miejsce w punkcie 2, położonym dalej na prawo, kąt

środkowy wynosi

( )

o

o

0, 2

110 : 120

=

R

.

7.4. Pomiar rozkładu ciśnienia na profilu opływanym /kula, walec osiowo

symetryczny/

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie rozkładu ciśnienia na powierzchni ciała opływanego.

Na pobocznicy walca znajduje się otwór stanowiący punkt odbioru ciśnienia. Otwór ten jest

połączony przewodem gumowym z mikromanometrem. Za pomocą mikromanometru można

zmierzyć ciśnienie w kolejnych położeniach kątowych opływanego ciała. Położenie otworu

odbioru ciśnienia zmienia się w zakresie od 0° do 100° co 10°, a następnie od 100° do 180°,

co 20°, przyjmując położenie 0° jako położenie poziomego otworu. Ze względu na symetrię

walca prowadzimy pomiar tylko w zakresie od 0° do 180°, zapisując odczytane wartości

ciśnień dla uprzednio nastawionych położeń kątowych.

Rys. 7.10. Schemat stanowiska pomiarowego: 1 - dmuchawa powietrzna, 2 - prostoosiowa rura

kołowa, 3 - stabilizator przepływu, 4 - walec opływany, 5 - mikroanemometr różnicowy

Rys. 7.11. Ustawienie kątowe otworu stanowiącego punkt odbioru ciśnienia

Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym

11

download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf

7.5. Wyznaczanie siły oporu

W celu wyznaczenia wartości siły oporu elementu opływanego należy zmierzyć

prędkość v

∞

płynu opływającego, przy czym przez v

∞

rozumieć będziemy tzw. prędkość

w nieskończoności, a więc prędkość niezakłóconego obecnością przeszkody przepływu,

równoległego do osi rurociągu. W następnym etapie należy obliczyć wartość liczby

Reynoldsa i w zależności od wartości Re skorzystać z wzorów (7.6) lub (7.9) oraz (7.10).

W przypadku dużych wartości liczby Reynoldsa należy skorzystać z wykresów

zamieszczonych na rys.7.1 lub 7.2 i odczytać wartość współczynnika c

x

. Ostatecznie wartość

siły oporu wyznacza się w oparciu o wzór (7.10).]

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

1,35

1,4

100

1000

10000

100000

Re

c

x

Rys. 7.12. Zależność współczynnika oporu czołowego, dla walca kołowego o nieskończonej długości

w przedziale 10

2

< Re < 10

5

7.6. Literatura

[1] Prosnak W. J.: Mechanika płynów. T.I. PWN, Warszawa 1970, s. 526-535.

[2] Massey B. S.: Mechanics of Fluids Dynamics, vol. 1, D. Van Nostrand Company LTD,

1968, s. 245 - 273.

[3] Curie N., Davies H. J.: Modern Fluids Dynamics, vol. 1, D. Van Nostrand Company LTD,

1968.

[4] Troskolański A. T.: Hydromechanika. WNT, Warszawa 1959, s. 462 - 482.

[5] Bukowski J.: Mechanika płynów. WNT, Warszawa 1972, s. 258 - 288.