Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
1
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
Ćwiczenie 7
OPŁYW CIAŁA STAŁEGO PŁYNEM RZECZYWISTYM
7.1. Siły występujące przy opływie ciała stałego przez płyn rzeczywisty
Przy opływie nieruchomych ciał stałych przez płyn rzeczywisty reakcja wywierana
przez to ciało na płyn zależy m.in. od: liczby Reynoldsa, kształtu ciała, gładkości powierzchni
ciała, rodzaju opływającego płynu, itp. Działanie płynu na ciało stałe jest wypadkową sił
stycznych (wywołanych lepkością), występujących na powierzchni ciała i sił
powierzchniowych (ciśnienia), skierowanych normalnie do jego powierzchni.
Składowa, reakcji, normalna do kierunku ruchu względnego ciała stałego i płynu,
nazywa się siłą nośną. Dla ciał stałych mających oś symetrii lub płaszczyznę symetrii
równoległą do kierunku ruchu względnego siła nośna jest równa zeru.
Składowa reakcji, równoległa do kierunku ruchu względnego nazywa się siłą oporu
czołowego.
Dla przypadku powolnego opływu kuli, zaniedbując w równaniach Naviera - Stokesa
wszystkie człony reprezentujące siły masowe, Stokes uzyskał układ równań liniowych
w uproszczonej postaci:
( )
( )
( )
( )
( )
2
x
2
2
y
2
z
p
v
x
p
grad p
v
v
y
p
v
z
ì¶
= h×Ñ
ï¶
ï
¶
ï
= h×Ñ
=
= h×Ñ
í¶
ï
ï¶
= h×Ñ
ï
¶
î
r
(7.1)
Uzupełniając układ równań (7.1) równaniem ciągłości w postaci:
v
g
v
d
v
0
2
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
y
x
z
v
v
v
0
x
y
z
¶
¶
¶
+
+
=
¶
¶
¶
(7.2)
oraz biorąc pod uwagę warunki brzegowe :
2
2
2
x
y
z
2
2
2
2
x
y
z
v
v ,
v
v
0,
p p dla x
y
z
v
v
v
0 dla x
y
z
R
¥
¥
=
=
=
=
+
+
= ¥
=
=
=
+
+
=
(7.3)
określił Stokes, po rozwiązaniu układu równań (7.1) i (7.2) przy warunkach brzegowych (7.3)
pole prędkości i ciśnienia w cieczy. Na podstawie uzyskanych wyników otrzymał następujący
wzór na siłę oporu czołowego, działającego na kulę [l, 2]:
P 6
v R
¥
= × p×h×
×
(7.4)
gdzie:
h - dynamiczny współczynnik lepkości cieczy,
v
∞
- prędkość płynu w obszarze niezakłóconym,
R - promień kuli.
Uwzględniając w równaniu definicyjnym współczynnik oporu:
x
2
2
P
c
v
R
2
¥
=
r×
× p×
(7.5)
wzór (7.4) otrzymujemy teoretyczną postać zależności na współczynnik oporu czołowego:
x
24
c
Re
=
(7.6)
gdzie:
v
2R
Re
¥
×r×
=
h
Rozważania Stokesa słuszne są tylko w obszarze bezpośrednio sąsiadującym
z opływanym ciałem. W dalszej odległości od ciała siły masowe (inercyjne) nie mogą być
pominięte, jako małe w porównaniu z siłami lepkości, ponieważ w rzeczywistości są one
większe od sił lepkości.
Wyniki doświadczeń wykazują słuszność wzoru Stokesa dla liczb Reynoldsa Re ≤ 0,1 [2].
Znacznie lepsze wyniki w zakresie powolnych przepływów, w sensie rozszerzenia
zakresu liczb Reynoldsa, uzyskać można zachowując w równaniach Naviera-Stokesa te
składniki całkowitej siły masowej, które w dalszej odległości od ciała są duże w porównaniu
z pozostałymi.
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
3
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
Przy tym założeniu oraz przy podobnych warunkach granicznych uzyskał Oseen po
rozwiązaniu równania wyjściowego:
( )
( )
2
dv
v
grad p
v
dx
¥
r×
×
= -
+ h×Ñ
r
r
(7.7)
odpowiadającą (7.6) zależność w postaci:
x
24
3
c
1
Re ...
Re
16
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
(7.8)
Zależność (7.8) zwana jest wzorem Oseena. Wyniki doświadczeń potwierdzają słuszność
wzoru Oseena dla wartości liczb Reynoldsa Re ≤ 1 [2].
Dla większych wartości liczby Reynoldsa Re ≤ 100 proponowana jest zależność
empiryczna w postaci [2]:
1
2
x
24
3
c
1
Re
Re
16
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
(7.9)
W przypadku dużych wartości liczb Reynoldsa, jak również skomplikowanych
kształtów opływanych ciał, zaleca się ogólną zależność opisującą opór ciała przy opływie płynem:
2
x
v
P c
S
2
¥
r×
=
×
(7.10)
gdzie:
S - powierzchnia odniesienia (pole powierzchni największego przekroju ciała w płaszczyźnie
prostopadłej do kierunku prędkości).
Rys. 7.1. Współczynnik oporu dla ciał dwuwymiarowych
4
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
Zależność (7.10) otrzymano za pomocą metody analizy wymiarowej. W ogólności
wartość współczynnika oporu c
x
zależy od wielu czynników, z których najważniejszymi są:
kształt ciała opływanego, liczba Reynoldsa, liczba Macha, itp.
Zależność c
x
= f(Re) dla ciał dwuwymiarowych podaje wykres przedstawiony na
rys. 7.1, natomiast ma rys. 7.2 przedstawiono zależność współczynnika oporu od liczby
Reynoldsa dla małych, osiowo-symetrycznych ciał, takich jak: kula, elipsoida, dysk kołowy.
Rys. 7.2. Współczynnik oporu dla małych osiowo-symetrycznych ciał
Asymetrię rozkładu ciśnienia na przedniej i tylnej części opływanego profilu łatwo
przedstawić na przykładzie walca kołowego o nieskończonej długości. Walec o średnicy d
jest usytuowany w ten sposób, aby jego oś była normalna do kierunku przepływu płynu. Dla
bardzo małych wartości liczby Reynoldsa Re < 0.5 siły bezwładności są pomijalnie małe,
szczególnie w bezpośrednim sąsiedztwie opływanego walca. Kształt linii prądu w takim
przypadku przedstawiony jest na rys. 7.3a. Jeżeli wartość liczby Reynoldsa zawiera się
w przedziale 2
¸30, wówczas obserwuje się oderwanie warstwy przyściennej w punktach S,
rys.7.3b. Powstają wówczas dwa symetryczne wiry posiadające orientację przeciwną do
kierunku przepływu [ 2], [3].
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
5
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
Rys. 7.3. Rozwój wirów za opływanym walcem
W miarę wzrostu wartości liczby Reynoldsa powstałe wiry powiększają swoje
rozmiary, rys. 7.3c. Dla wartości liczby Reynoldsa Re ≥ 40 powstawanie coraz to nowych
wirów za opływanym ciałem ma charakter nieustalony. Wiry tworzą się na przemian zarówno
w górnej części za opływanym ciałem, jak i w dolnej części (rys. 7.3d). Proces ten ma
charakter oscylacyjny [2], [3].
O wirach, które tworzą się za opływanym walcem przy wartościach liczby Reynoldsa:
100 < Re < 2·10
5
można ogólnie powiedzieć, że odrywają się one okresowo i na przemian to od
górnej, to od dolnej części powierzchni walca. Powstający w takich okolicznościach układ
wirów zwany jest ścieżką wirów Bernard-Karmana. Wiry te oddalają się od walca z prędkością
znacznie mniejszą od prędkości strumienia napływającego [2], [4]. Odległość między
tworzącymi się dwoma szeregami wirów szybko zdąża do pewnej stałej wartości h, rys.7.4.
Karman ustalił w drodze teoretycznej, że jedynym statecznym układem wirów jest taki
układ, dla którego:
( )
1
h
1
sin h
l 0.281
l
-
=
× =
p
(7.11)
Rys. 7.4. Ścieżka wirów
6
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
7.2. Warstwa przyścienna
W przypadku dużych wartości liczby Reynoldsa, a więc przepływów charakteryzujących
się dużymi prędkościami, założenia polegające na pominięciu członów konwekcyjnych
w równaniach Naviera-Stokesa są obarczone dużymi błędami. Wynika stąd, że uproszczenia,
które doprowadziły Stokesa do równania (7.1) a Oseena - do równania (7.7), tracą tutaj swoją
ważność. Pewną koncepcję dotyczącą opływu płynem ciał stałych przy założeniu dużych
wartości liczby Reynoldsa przedstawił Prandtl (7.1). W całkowitym obszarze przepływu
w otoczeniu ciała stałego Prandtl wyróżnił dwa podobszary (rys. 7.5). Pierwszy z nich (I)
znajduje się w bezpośrednim sąsiedztwie ścianek ciała, które stanowią jego ograniczenie.
Obszar ten nazwano warstwą przyścienną.
W warstwie przyściennej siły lepkości są co najmniej tego samego rzędu co siły
masowe, a więc mają istotny wpływ na ruch płynu.
Poza warstwą przyścienną leży obszar drugi (II), w którym siły lepkości są pomijalnie
małe w porównaniu z siłami masowymi. Ostatnia cecha pozwala traktować płyn rzeczywisty
w obszarze II jako płyn nielepki. Zjawisko powstawania warstwy przyściennej i kształtowania
się przepływu w tej warstwie można przedstawić w sposób uproszczony: na skutek zjawiska
adhezji elementy płynu bezpośrednio stykające się z powierzchnią ciała stałego przylegają do
tej powierzchni, tak że ich prędkość względna jest równa zeru. Innymi słowy elementy te
pozostają w spoczynku lub poruszają się z tą samą prędkością co opływane ciała stałe.
Przejście do zerowej wartości prędkości względnej na powierzchni opływanego ciała do
prędkości przepływu istniejącej w pewnej odległości od tej powierzchni (obszar II) odbywa
się w sposób ciągły (rys. 7.5).
Rys. 7.5. Obszar przepływu w otoczeniu ciała stałego
Gradient prędkości
v
n
¶
¶
w warstwie przyściennej maleje ze wzrostem odległości od
powierzchni ciała, tak że
2
2
v
0
n
¶
<
¶
. Odległość od powierzchni ciała, dla której
v
0
n
¶
»
¶
,
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
7
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
nazywa się grubością warstwy przyściennej. Określenie grubości warstwy przyściennej musi
pozostać jednak umowne, gdyż teoretycznie gradient prędkości osiąga wartość zerową dla
nieskończonej odległości w kierunku n. Często w praktyce zakłada się, że różnica pomiędzy
wartością prędkości na granicy warstwy przyściennej wynosi 1% w stosunku do wartości
prędkości przepływu nielepkiego. Zakładając stacjonarność przepływu oraz małą grubość
laminarnej warstwy przyściennej można dla obszaru warstwy przyściennej zapisać [1], [4]:
2
2
v
v
v
x
y
¶
¶
r× ×
» h
¶
¶
(7.12)
Dla płaskiej płytki o długości l (jak na rys.7.6) można założyć:
v
v
x
l
¥
¶
»
¶
(7.13)
Uwzględniając (7.13) w (7.12) siłę bezwładności nożna zapisać w postaci:
2
2
2
v
v
l
y
¥
¶
r×
» h
¶
(7.14)
Zakładając ponadto, że gradient prędkości w kierunku normalnym ma wielkość rzędu:
v
v
y
¥
¶
=
¶
d
(7.15)
wyrażenie (7.12) można ostatecznie zapisać:
2
2
v
v
l
¥
¥
r×
» h
d
(7.16)
Przekształcając (7.16) otrzymamy:
1
v l
Re
¥
n
d »
»
×
(7.17)
Z (7.17) wynika, że grubość warstwy przyściennej jest odwrotnie proporcjonalna do
pierwiastka kwadratowego z liczby Reynoldsa.
Rys. 7.6. Schemat przepływu w laminarnej warstwie przyściennej
8
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
7.3. Oderwanie warstwy przyściennej
Zjawisko oderwania warstwy przyściennej wiąże się ze zmianą rozkładu prędkości
wzdłuż powierzchni opływanego ciała [1], [2], [3]. Na element płynu w warstwie
przyściennej działają siły styczne wywołane lepkością (wypadkowa tych sił zwrócona jest
przeciwnie do prędkości) i siły ciśnieniowe, mające charakter przyspieszający lub
opóźniający w zależności od tego czy ciśnienie wzdłuż opływanej powierzchni maleje czy też
wzrasta.
W przypadku, jeśli ciśnienie wzrasta wzdłuż opływanej powierzchni czyli (p+dp) > p,
wówczas wypadkowa sił stycznych T Jest skierowana przeciwnie do prędkości elementu
płynu, a ruch w ogólności staje się opóźniony.
Zgodnie z powyższym, rozkład prędkości w warstwie przyściennej zmienia się
w sposób pokazany na rys. 7.8.
W wyniku takiego rozkładu prędkości powstaje zjawisko oderwania warstwy
przyściennej. Z rys. 7.8 wynika, że proces odrywania warstwy przyściennej zależy głównie od
gradientu ciśnienia wzdłuż opływanej powierzchni. W przypadku
p
0
x
¶
>
¶
następuje
przyspieszenie zjawiska oderwania, natomiast
p
0
x
¶
<
¶
- opóźnia zjawisko oderwania. Na
zjawisko oderwania warstwy przyściennej ma również wpływ szereg innych czynników,
takich jak: charakter ruchu płynu (laminarny, turbulentny) w warstwie przyściennej, gładkość
opływanej powierzchni, odsysanie warstwy przyściennej, miejscowe ochładzanie opływanej
powierzchni, dodatkowy ruch względny opływanego ciała (np. ruch wirowy walca wokół
własnej osi), wprowadzenie tzw. turbulizatorów, itp.
Rys. 7.7. Siły działające na element płynu w warstwie przyściennej
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
9
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
Rys.7.8. Zmiana prędkości w warstwie przyściennej oraz rozkładu ciśnienia na powierzchni opływanej
Rys. 7.9. Rozkład ciśnienia na powierzchni profilu kołowego: a) teoretyczny, b) rzeczywisty dla
małych wartości Re, c) rzeczywisty dla dużych wartości Be.
W przypadku niezakłóconego opływu kuli lub profilu kołowego można obserwować
dwojaki sposób oderwania warstwy przyściennej, uwarunkowany małymi lub dużymi
wartościami liczby Reynoldsa [5].
Opływ przedniej części kuli lub profilu kołowego odbywa się w warunkach nie
sprzyjających oderwaniu warstwy przyściennej. Od punktu O, zwanego punktem stagnacji
(maksymalne nadciśnienie), do punktu 1, zwanego punktem oderwania (maksymalne
podciśnienie), występuje ujemny gradient ciśnienia. Teoretycznie punkt 1 jest przesunięty
względem punktu O o kąt 90°. W rzeczywistości punkt oderwania 1 występuje wcześniej (np.
dla walca kołowego, kąt środkowy
( )
o
o
0,1
70 : 85
=
R
. Jeżeli w punkcie 1 ruch w warstwie
przyściennej zachował jeszcze charakter laminarny, to przy dodatnim gradiencie ciśnienia
nastąpi szybka zmiana energii kinetycznej na energię potencjalną ciśnienia i oderwanie
10
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
w pobliżu punktu 2, kąt środkowy wynosi
( )
o
0, 2
80
=
R
. Jeżeli w punkcie 1 ruch w warstwie
przyściennej jest już turbulentny, to mimo dodatniego gradientu ciśnienia w prawo od tego
punktu (rys. 7.9c) energia kinetyczna warstwy przyściennej wyczerpuje się na znacznie
dłuższej drodze i oderwanie ma miejsce w punkcie 2, położonym dalej na prawo, kąt
środkowy wynosi
( )
o
o
0, 2
110 : 120
=
R
.
7.4. Pomiar rozkładu ciśnienia na profilu opływanym /kula, walec osiowo
symetryczny/
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie rozkładu ciśnienia na powierzchni ciała opływanego.
Na pobocznicy walca znajduje się otwór stanowiący punkt odbioru ciśnienia. Otwór ten jest
połączony przewodem gumowym z mikromanometrem. Za pomocą mikromanometru można
zmierzyć ciśnienie w kolejnych położeniach kątowych opływanego ciała. Położenie otworu
odbioru ciśnienia zmienia się w zakresie od 0° do 100° co 10°, a następnie od 100° do 180°,
co 20°, przyjmując położenie 0° jako położenie poziomego otworu. Ze względu na symetrię
walca prowadzimy pomiar tylko w zakresie od 0° do 180°, zapisując odczytane wartości
ciśnień dla uprzednio nastawionych położeń kątowych.
Rys. 7.10. Schemat stanowiska pomiarowego: 1 - dmuchawa powietrzna, 2 - prostoosiowa rura
kołowa, 3 - stabilizator przepływu, 4 - walec opływany, 5 - mikroanemometr różnicowy
Rys. 7.11. Ustawienie kątowe otworu stanowiącego punkt odbioru ciśnienia
Opływ ciała stałego płynem rzeczywistym
11
download: http://www.mech.pk.edu.pl/~m52/pdf/[7_opis].pdf
7.5. Wyznaczanie siły oporu
W celu wyznaczenia wartości siły oporu elementu opływanego należy zmierzyć
prędkość v
∞
płynu opływającego, przy czym przez v
∞
rozumieć będziemy tzw. prędkość
w nieskończoności, a więc prędkość niezakłóconego obecnością przeszkody przepływu,
równoległego do osi rurociągu. W następnym etapie należy obliczyć wartość liczby
Reynoldsa i w zależności od wartości Re skorzystać z wzorów (7.6) lub (7.9) oraz (7.10).
W przypadku dużych wartości liczby Reynoldsa należy skorzystać z wykresów
zamieszczonych na rys.7.1 lub 7.2 i odczytać wartość współczynnika c
x
. Ostatecznie wartość
siły oporu wyznacza się w oparciu o wzór (7.10).]
0,8
0,85
0,9
0,95
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
100
1000
10000
100000
Re
c
x
Rys. 7.12. Zależność współczynnika oporu czołowego, dla walca kołowego o nieskończonej długości
w przedziale 10
2
< Re < 10
5
7.6. Literatura
[1] Prosnak W. J.: Mechanika płynów. T.I. PWN, Warszawa 1970, s. 526-535.
[2] Massey B. S.: Mechanics of Fluids Dynamics, vol. 1, D. Van Nostrand Company LTD,
1968, s. 245 - 273.
[3] Curie N., Davies H. J.: Modern Fluids Dynamics, vol. 1, D. Van Nostrand Company LTD,
1968.
[4] Troskolański A. T.: Hydromechanika. WNT, Warszawa 1959, s. 462 - 482.
[5] Bukowski J.: Mechanika płynów. WNT, Warszawa 1972, s. 258 - 288.