Energia kinetyczna i potencjalna członu sztywnego
- Energia kinetyczna
Dla sformułowania równań Lagrange a manipulatora jako układu wieloczłonowego, potrzebna jest prosta i
wygodna postać lagrangianu zawierającego opis energii kinetycznej i potencjalnej układu. Traktując człon
sztywny jako przestrzenny zbiór punktów posiadających masę i połączonych ze sobą nieodkształcalnymi
bezmasowymi prętami zawarty w przestrzeni ograniczonej geometrią członu o gęstości rozkładu masy r�
(masie jednostkowej odniesionej do jednostki objętości), w obrębie przestrzeni B zajmowanej przez człon o
objętości V można napisać:
r�(�x, y, z)�dxdydz =� m
��
B
gdzie m jest masą członu. Należy zaznaczyć, że B jest obszarem przestrzeni trójwymiarowej zajmowanej
przez człon i oznacza granice obszaru całkowania powyższego wyrażenia. W podobny sposób można
wyrazić energię kinetyczną członu:
1 1
K =� vT(�x, y, z)�v(�x, y,z)�r�(�x, y, z)�dxdydz =� vT(�x, y, z)�v(�x,y,z)�dm
�� ��
2 2
B B
gdzie dm opisuje elementarny element masowy w punkcie o współrzędnych (�x, y, z)�. Jeśli rozpatrywany
człon pozostaje w ruchu ogólnym w przestrzeni, to jego różne punkty z całego obszaru B zazwyczaj
poruszają się z różnymi prędkościami, jednak z zachowaniem wzajemnych relacji wynikających z faktu że
człon jest sztywny tzn. nieodkształcalny. Chwilowy ruch ogólny ciała sztywnego w przestrzeni
trójwymiarowej można rozpatrywać jako chwilowy ruch czystego obrotu względem pewnego chwilowego
środka obrotu albo równoważne mu złożenie chwilowego ruchu translacyjnego i chwilowego obrotu
względem środka masy członu. Opis matematyczny w tym drugim przypadku jest prostszy i łatwiejszy do
interpretacji, gdyż sposób wyprowadzenia równań jest łatwiejszy a uzyskane równania mają prostszą
postać i dają się łatwiej analizować.
Wyznaczmy środek masy członu
1 1 1
xc =� xdm yc =� ydm z =� zdm
c
�� �� ��
m m m
B B B
Co wobec r =� (�x,y,z)� można wyrazić w postaci:
1
r =�
c
��rdm
m
B
Albo
c
��(�r -� r)�dm =� 0
B
Załóżmy że rozpatrywany człon pozostaje w ruchu dowolnym. Układ współrzędnych zwiążmy ze środkiem
jego masy. W trakcie ruchu prędkość dowolnego punktu członu wyrażą się zależnością:
v =� vc +�v� �� r
Jest to zależność na prędkość punktu względem układu inercjalnego wyrażoną w układzie inercjalnym.
Układ współrzędnych związany ze środkiem masy członu porusza się wraz z członem, więc powyższy
wzór należy wyrazić w tym ruchomym układzie współrzędnych. Oznaczając macierz obrotu
przekształcenia wektora z tego układu ruchomego do inercjalnego przez R , prędkość punktu o
współrzędnych r względem układu ruchomego można wyrazić:
RT (�vc +�v� �� r)� =� RT vc +�(�RTv� )��(�RTr)�
Warto tu zauważyć, że przy wyznaczaniu energii kinetycznej nie ma znaczenia w jakim układzie został
wyrażony wektor prędkości, gdyż przy zmianie układu moduł (długość) wektora nie ulega zmianie.
Prędkość dowolnego punktu członu w obszarze B można wyrazić
v =� vc +� S(�v� )�r
gdzie
�� 0 -� w�z w�y ł�
ę�
S(�v� )� =� w�z 0 -� w�x ś�
ę� ś�
ę�-� w�y w�x 0 ś�
�� ��
jest skośniesymetryczną macierzą przekształcenia wektora prędkości kątowej między układami
współrzędnych.
Energię kinetyczną można więc zapisać w postaci:
1
T
K =�
c
��[�v +� S(�v� )�r]� [�vc +� S(�v� )�r]�dm
2
B
Rozwijając iloczyn wewnątrz całki dostaniemy cztery wyrażenia,
- pierwsze
1 1
vT vcdm =� mvT vc
c c
��
2 2
B
gdyż prędkość vc jest niezależna od zmiennej całkowania i może być wyłączona przed całkę. Wyrażenie
to przedstawia energię kinetyczną punktu materialnego o masie m umieszczonego w punkcie środka masy
C i poruszającego się z prędkością vc . Jest to część energii kinetycznej członu dotyczącej jego translacji w
ruchu z chwilową prędkością vc ,
- drugie
1 1
vT S(�v� )�rdm =� vTS(�v� )� =� 0
c c
�� ��rdm
2 2
B B
ponieważ =� 0 , gdyż początek układu współrzędnych przyjęto w środku ciężkości członu C.
��rdm
B
- trzecie
1
T
��r ST(�v� )�vcdm =� 0
2
B
- czwarte
1
T
��r ST(�v� )�S(�v� )�rdm :=� K4
2
B
Teraz wykorzystując związek, że dla dowolnych macierzy A i B zachodzi Tr(�AB)� =� Tr(�BA)�, gdzie Tr
oznacza ślad macierzy, oraz dla dowolnych wektorów a i b zachodzi aT b =� Tr(�abT )�. Wykorzystując te
zależności możemy przekształcić K4 :
1 1 1
T
K4 =�
��TrS(�v� )�rrT ST (�v� )�dm =� TrS(�v� )���rr dmST (�v� )� =� TrS(�v� )�JST (�v� )�,
2 2 2
B B
gdzie J jest macierzą o wymiarach 3�� 3 zdefiniowaną według zależności
T
J =� dm
��rr
B
Macierz J można przedstawić w postaci pełnej jako
��
x2dm xydm xzdmł�
�� �� ��
ę� ś�
J =� xydm y2dm yzdm
ę� ś�
�� �� ��
ę�
2
xzdm yzdm z dmś�
ę��� �� �� ś�
�� ��
Wstawiając S(�v� )� w postaci
�� 0 -� w�z w�y ł�
ę�
S(�v� )� =� w�z 0 -� w�x ś�
ę� ś�
ę�-� w�y w�x 0 ś�
�� ��
do zależności na K4 i wyznaczając ślad iloczynu trzech macierzy otrzymamy:
1
T
K4 =� v� Iv�
2
Wyrażenie to stanowi część energii kinetycznej członu dotyczącą jego obrotu w ruchu z chwilową
prędkością kątową v� ,
gdzie I jest macierzą wymiarach 3�� 3 zdefiniowaną następująco:
�� ł�
(�y2 +� z2)�dm -� xydm -� xzdm
�� �� ��
ę� ś�
I =� -� xydm (�x2 +� z2)�dm -� yzdm
ę� ś�
�� �� ��
ę�
-� xzdm -� yzdm (�x2 +� y2)�dmś�
ę� �� �� �� ś�
�� ��
Wobec tego całkowita energia kinetyczna członu wyraża się zależnością
1 1
T
K =� mvT vc +� v� Iv�
c
2 2
Pierwszy składnik wzoru stanowi część translacyjną energii kinetycznej członu i jest to energia kinetyczna
punktu materialnego o masie m umieszczonego w środku masy poruszającego się z chwilową prędkością
vc , natomiast drugi stanowi część obrotową energii kinetycznej członu obracającego się względem środka
T
ciężkości z prędkością kątową v� , przy czym ponieważ iloczyn potrójny v� Iv� jest taki sam w
dowolnym układzie, więc macierz bezwładności I najkorzystniej jest wyznaczać względem układu
współrzędnych związanych z członem (jest wtedy niezależna od stanu ruchu), wtedy prędkość kątową v�
należy wyznaczać również w tym samym układzie współrzędnych związanych z członem. Jeśli więc człon
ma w układzie inercjalnym prędkość kątową v� i R jest macierzą obrotu przekształcającą wektory z
0
układu współrzędnych członu do układu inercjalnego, to prędkość kątowa członu w układzie
współrzędnych członu wyrazimy zależnością
v� =� RTv�
0
Dla manipulatora o strukturze szeregowej (w tym przegubowego) składającego się z n członów prędkości
liniowe i kątowe dowolnego punktu na dowolnym członie można wyrazić z wykorzystaniem jakobianu i
pochodnych zmiennych przegubowych. Przyjmując jako współrzędne uogólnione zmienne przegubowe
manipulatora i oznaczając odpowiednio macierze jakobianowe dotyczące wektorów prędkości liniowych
środków ciężkości członów i ich prędkości kątowych przez Jvci i Jw�i możemy zapisać:
&� &�
vci =� Jvci(�q)�q , v� =� RT (�q)�Jw�i (�q)�q
i i
w ostatnim wyrażeniu macierz RT (�q)� zapewnia opis prędkości w odpowiednim układzie współrzędnych
i
związanych z członem. Znając masę mi i-tego członu manipulatora oraz macierz bezwładności Ii tego
członu wyznaczoną względem układu współrzędnych równoległego do układu i ale o początku w środku
masy członu Ci całkowitą energię kinetyczną manipulatora można określić z zależności
n
1 T T T
&� &�
K =� qT {�mi[�Jvci (�q)�]� J (�q)�+�[�Jw�i(�q)�]� Ri(�q)�Ii[�Ri (�q)�]� Jw�i(�q)�}��� q
�� vci
2
i=�1
A więc energię kinetyczną manipulatora można przedstawić w postaci
1
&� &�
K =� qT D(�q)�q
2
gdzie D(�q)� jest macierzą symetryczną dodatnio określoną, zależna od konfiguracji. Macierz tę nazywamy
macierzą bezwładności manipulatora.
- Energia potencjalna
Jeżeli rozpatrywać będziemy dynamikę manipulatora z członami nieodkształcalnymi, tj. sztywnymi w polu
grawitacyjnym, to energia potencjalna jest zależna jedynie od siły ciężkości. Oznaczając przez g stałą
grawitacji (wektor przyśpieszenia w polu grawitacyjnym) energię potencjalną punktu materialnego o masie
elementarnej dm w punkcie opisanym wektorem r można opisać przez gT rdm . Człon o geometrii B
posiada więc energię potencjalną opisaną wzorem:
T
V =� rdm =� gT =�gT rcm
��g ��rdm
B B
Jak widzimy energia potencjalna członu o masie m jest zależna od masy i położenia środka ciężkości
członu i jest identyczna jak punktu materialnego o takiej samej masie skupionego w środku masy członu.
&�
Energia potencjalna zależy od q i nie zależy od q , nie zależy więc bezpośrednio od stanu ruchu członu.
Równania ruchu
Załóżmy, że
&�
- energia kinetyczna jest funkcją kwadratową wektora q o postaci:
n
1 1
&� &� &� &�
K =� (�q)�qiq :=� qT D(�q)�q
��dij j
2 2
i, j
gdzie macierz D(�q)� jest macierzą bezwładności, symetryczną i dodatnio określoną o wymiarach 3�� 3 dla
każdego q �� Rn , natomiast
&�
- energia potencjalna V =� V(�q)� jest niezależna od q .
Mechanizmy manipulatorów robotów spełniają powyższe warunki.
Przy wprowadzonych założeniach lagrangian ma postać:
n
1
&� &�
L =� K -�V =� (�q)�qiq -�V (�q)�
��di, j j
2
i, j
Wobec tego
ś�L
&�
=� (�q)�q
��dkj j
&�
ś�qk j
ś�dkj
d ś�L
&�&� &� &�&� &� &�
=� (�q)�q +� (�q)�q =� (�q)�q +� qiq
��dkj j ��dkj j ��dkj j ��
&�
dt ś�qk j ś�qi j
j j i, j
oraz
ś�dij
ś�L 1 ś�V
&� &�
=� qiq -�
��
ś�qk 2 ś�qk j ś�qk
i, j
Teraz równania Lagrange a można zapisać w postaci
ś�dkj ś�dij
ć� ��
ś�V
&�&�
(�q)�q +� -� =� t� , k =�1,...,n
��dkj j ���� -� 1 ��&� &� j
��
ś�qi 2 ś�qk ��qiq ś�qk k
j i, j
Ł� ł�
Zmieniając kolejność sumowania i wykorzystując symetrię zachodzi związek:
ć� ��
ś�dkj ś�dkj
ć� ��
1
���� �� &� &� j ���� +� ś�dki ��qiq j
�� ��qiq =� �� ś�qi ś�qj �� &� &�
ś�qi 2
i, j i, j
Ł� ł�
Ł� ł�
i stąd
ć� ��
ś�dkj ś�dij ś�dkj ś�dij
ć� ��
=� -� &� &�
���� -� 1 �� &� &� j ��1 �� +� ś�dki ��qiq j
��
��
ś�qi 2 ś�qk ��qiq 2 ś�qi ś�q ś�qk ��
i, j i, j
Ł� ł� j
Ł� ł�
W ostatniej zależności pod znakiem sumy po prawej stronie występują wyrażenia:
ć� ��
ś�dkj ś�dki ś�dij ��
1
��
cijk :=� +� -�
��
2 ś�qi ś�q ś�qk ��
j
Ł� ł�
które nazywamy symbolami Christoffela pierwszego rodzaju. Wartości tych symboli przy ustaleniu
wskaz
nika k spełniają zależność cijk =� cjik , co zmniejsza nakład pracy przy ich wyznaczaniu. Jeśli ponadto
zdefiniujemy funkcję:
ś�V
f�k =� ,
ś�qk
to równania Lagrange a można zapisać w postaci:
&�&� &� &�
(�q)�q +� (�q)�qiq +�f�k (�q)�=�t� , k =�1,...,n
��dkj j ��cijk j k
j i, j
Równanie to zawiera trzy rodzaje członów; pierwszy zawiera drugą pochodną współrzędnych
uogólnionych, drugi jest formą kwadratową pierwszych pochodnych współrzędnych uogólnionych q której
współczynniki mogą zależeć od wektora q, człony zawierające kwadraty współrzędnych uogólnionych są
&� &�
nazywane odśrodkowymi, a zawierające iloczyny różnych współrzędnych uogólnionych qiq dla i ą� j są
j
nazywane składowymi Coriolisa. Trzeci typ członów jest zależny od wektora współrzędnych uogólnionych
q ale nie od jego pochodnych. Powstają one przez różniczkowanie zależności na energię potencjalną.
Ostatnią postać równań Lagrange a zapisujemy zwykle w postaci macierzowej:
&�&� &� &�
D(�q)�q +� C(�q,q)�q +� g(�q)�=�t�
&�
w której elementy macierzy C(�q,q)� są opisane zależnościami:
n n
ć� ��
ś�dkj ś�dij
&�
ckj =� (�q)�qi =� -� &�
��cijk ��1 �� +� ś�dki ��qi
��
2 ś�qi ś�q ś�qk ��
i=�1 i=�1
j
Ł� ł�