Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Wykład 8

- Optymalna struktura podatków pośrednich -

dr Maciej Bukowski

Katedra Ekonomii I SGH

3 grudnia 2008

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

O czym mówiliśmy ostatnio?

1

Podatki mogą

zniekształcać

lub

niezniekształcać

alokacji zasobów w

gospodarce,

2

Jedynie

podatki ryczałtowe

, płacone w tej samej wysokości

niezależnie od podejmowanych działań rynkowych, a więc
niemanipulowalne, nie prowadzą do zniekształceń i spadku wielkości
produktu,

3

Wszystkie inne podatki nie mają tej własności - dotyczy to m.in.
CIT, PIT, VAT i jest

niezależne od tego czy podatek jest liniowy czy

progresywny

- wszystkie te podatki

zniekształcają

,

4

Zarówno

podatki konsumpcyjne jak i dochodowe są sobie, co do

zasady, równoważne

. Ostatecznie przedmiotem opodatkowania jest

bowiem

produkt

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

O czym mówiliśmy ostatnio?

1

Podatki mogą

zniekształcać

lub

niezniekształcać

alokacji zasobów w

gospodarce,

2

Jedynie

podatki ryczałtowe

, płacone w tej samej wysokości

niezależnie od podejmowanych działań rynkowych, a więc
niemanipulowalne, nie prowadzą do zniekształceń i spadku wielkości
produktu,

3

Wszystkie inne podatki nie mają tej własności - dotyczy to m.in.
CIT, PIT, VAT i jest

niezależne od tego czy podatek jest liniowy czy

progresywny

- wszystkie te podatki

zniekształcają

,

4

Zarówno

podatki konsumpcyjne jak i dochodowe są sobie, co do

zasady, równoważne

. Ostatecznie przedmiotem opodatkowania jest

bowiem

produkt

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

O czym mówiliśmy ostatnio?

1

Podatki mogą

zniekształcać

lub

niezniekształcać

alokacji zasobów w

gospodarce,

2

Jedynie

podatki ryczałtowe

, płacone w tej samej wysokości

niezależnie od podejmowanych działań rynkowych, a więc
niemanipulowalne, nie prowadzą do zniekształceń i spadku wielkości
produktu,

3

Wszystkie inne podatki nie mają tej własności - dotyczy to m.in.
CIT, PIT, VAT i jest

niezależne od tego czy podatek jest liniowy czy

progresywny

- wszystkie te podatki

zniekształcają

,

4

Zarówno

podatki konsumpcyjne jak i dochodowe są sobie, co do

zasady, równoważne

. Ostatecznie przedmiotem opodatkowania jest

bowiem

produkt

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

O czym mówiliśmy ostatnio?

1

Podatki mogą

zniekształcać

lub

niezniekształcać

alokacji zasobów w

gospodarce,

2

Jedynie

podatki ryczałtowe

, płacone w tej samej wysokości

niezależnie od podejmowanych działań rynkowych, a więc
niemanipulowalne, nie prowadzą do zniekształceń i spadku wielkości
produktu,

3

Wszystkie inne podatki nie mają tej własności - dotyczy to m.in.
CIT, PIT, VAT i jest

niezależne od tego czy podatek jest liniowy czy

progresywny

- wszystkie te podatki

zniekształcają

,

4

Zarówno

podatki konsumpcyjne jak i dochodowe są sobie, co do

zasady, równoważne

. Ostatecznie przedmiotem opodatkowania jest

bowiem

produkt

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Czy podatki mogą być optymalne?

1

Wiemy, że tylko

podatek ryczałtowy

nie wpływa na

wielkość

produktu

, ale jednocześnie wiemy też, że jest on

fiskalnie

nieosiągalny

przy dzisiejszych rozmiarach rządu, a jednocześnie

niepopularny

,

2

W praktyce

rządy stosują więc inne podatki

- nałożone np. na

konsumpcję czy dochód z pracy,

3

Możemy spytać o to w jaki sposób

rozłożyć opodatkowanie

by w jak

najmniejszym stopniu spadła

użyteczność

gospodarstwa domowego,

4

Jest to tzw.

problem Ramseya

optymalnego opodatkowania.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Czy podatki mogą być optymalne?

1

Wiemy, że tylko

podatek ryczałtowy

nie wpływa na

wielkość

produktu

, ale jednocześnie wiemy też, że jest on

fiskalnie

nieosiągalny

przy dzisiejszych rozmiarach rządu, a jednocześnie

niepopularny

,

2

W praktyce

rządy stosują więc inne podatki

- nałożone np. na

konsumpcję czy dochód z pracy,

3

Możemy spytać o to w jaki sposób

rozłożyć opodatkowanie

by w jak

najmniejszym stopniu spadła

użyteczność

gospodarstwa domowego,

4

Jest to tzw.

problem Ramseya

optymalnego opodatkowania.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Czy podatki mogą być optymalne?

1

Wiemy, że tylko

podatek ryczałtowy

nie wpływa na

wielkość

produktu

, ale jednocześnie wiemy też, że jest on

fiskalnie

nieosiągalny

przy dzisiejszych rozmiarach rządu, a jednocześnie

niepopularny

,

2

W praktyce

rządy stosują więc inne podatki

- nałożone np. na

konsumpcję czy dochód z pracy,

3

Możemy spytać o to w jaki sposób

rozłożyć opodatkowanie

by w jak

najmniejszym stopniu spadła

użyteczność

gospodarstwa domowego,

4

Jest to tzw.

problem Ramseya

optymalnego opodatkowania.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Czy podatki mogą być optymalne?

1

Wiemy, że tylko

podatek ryczałtowy

nie wpływa na

wielkość

produktu

, ale jednocześnie wiemy też, że jest on

fiskalnie

nieosiągalny

przy dzisiejszych rozmiarach rządu, a jednocześnie

niepopularny

,

2

W praktyce

rządy stosują więc inne podatki

- nałożone np. na

konsumpcję czy dochód z pracy,

3

Możemy spytać o to w jaki sposób

rozłożyć opodatkowanie

by w jak

najmniejszym stopniu spadła

użyteczność

gospodarstwa domowego,

4

Jest to tzw.

problem Ramseya

optymalnego opodatkowania.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Podstawowe oznaczenia

1

Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych

dóbr

konsumpcyjnych

, x

i

dla i ∈ {1, ..., n},

2

Dobra te są wytwarzane przy użyciu

technologii

F (...),

o stałych

przychodach skali

, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik

produkcji:

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

3

gdzie x

i

= c

i

+ g

i

jest dzielone między

konsumpcję prywatną

c

i

i

publiczną

g

i

,

4

Dodatkowo niech p

i

oznacza

cenę netto

dobra i , zaś w = 1 jest

znormalizowaną płacą osoby pracującej,

5

Rząd

nakłada podatki na dobra konsumpcyjne

w wysokości τ

i

, a na

pracę, τ

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Podstawowe oznaczenia

1

Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych

dóbr

konsumpcyjnych

, x

i

dla i ∈ {1, ..., n},

2

Dobra te są wytwarzane przy użyciu

technologii

F (...),

o stałych

przychodach skali

, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik

produkcji:

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

3

gdzie x

i

= c

i

+ g

i

jest dzielone między

konsumpcję prywatną

c

i

i

publiczną

g

i

,

4

Dodatkowo niech p

i

oznacza

cenę netto

dobra i , zaś w = 1 jest

znormalizowaną płacą osoby pracującej,

5

Rząd

nakłada podatki na dobra konsumpcyjne

w wysokości τ

i

, a na

pracę, τ

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Podstawowe oznaczenia

1

Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych

dóbr

konsumpcyjnych

, x

i

dla i ∈ {1, ..., n},

2

Dobra te są wytwarzane przy użyciu

technologii

F (...),

o stałych

przychodach skali

, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik

produkcji:

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

3

gdzie x

i

= c

i

+ g

i

jest dzielone między

konsumpcję prywatną

c

i

i

publiczną

g

i

,

4

Dodatkowo niech p

i

oznacza

cenę netto

dobra i , zaś w = 1 jest

znormalizowaną płacą osoby pracującej,

5

Rząd

nakłada podatki na dobra konsumpcyjne

w wysokości τ

i

, a na

pracę, τ

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Podstawowe oznaczenia

1

Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych

dóbr

konsumpcyjnych

, x

i

dla i ∈ {1, ..., n},

2

Dobra te są wytwarzane przy użyciu

technologii

F (...),

o stałych

przychodach skali

, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik

produkcji:

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

3

gdzie x

i

= c

i

+ g

i

jest dzielone między

konsumpcję prywatną

c

i

i

publiczną

g

i

,

4

Dodatkowo niech p

i

oznacza

cenę netto

dobra i , zaś w = 1 jest

znormalizowaną płacą osoby pracującej,

5

Rząd

nakłada podatki na dobra konsumpcyjne

w wysokości τ

i

, a na

pracę, τ

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Podstawowe oznaczenia

1

Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych

dóbr

konsumpcyjnych

, x

i

dla i ∈ {1, ..., n},

2

Dobra te są wytwarzane przy użyciu

technologii

F (...),

o stałych

przychodach skali

, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik

produkcji:

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

3

gdzie x

i

= c

i

+ g

i

jest dzielone między

konsumpcję prywatną

c

i

i

publiczną

g

i

,

4

Dodatkowo niech p

i

oznacza

cenę netto

dobra i , zaś w = 1 jest

znormalizowaną płacą osoby pracującej,

5

Rząd

nakłada podatki na dobra konsumpcyjne

w wysokości τ

i

, a na

pracę, τ

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem gospodarstwa domowego

1

Gospodarstwo domowe

maksymalizuje użyteczność

z konsumpcji i

pracy, pod warunkiem ograniczenia budżetowego zrównującego
wydatki z dochodami:

max

c

1

,..,c

n

,l

U(c

1

, ..., c

n

, l )

p.w.

n

X

i =1

p

i

(1 + τ

i

)c

i

= l

2

gdzie założyliśmy, bez straty ogólności, że

płaca netto jest

znormalizowana

do jedynki,

3

Dodatkowo ograniczeniu budżetowym mogliśmy bez straty ogólności
założyć, że τ

l

= 0 (zawsze można stronami podzielić przez 1 + τ

l

i

zmienić definicję τ

i

).

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem gospodarstwa domowego

1

Gospodarstwo domowe

maksymalizuje użyteczność

z konsumpcji i

pracy, pod warunkiem ograniczenia budżetowego zrównującego
wydatki z dochodami:

max

c

1

,..,c

n

,l

U(c

1

, ..., c

n

, l )

p.w.

n

X

i =1

p

i

(1 + τ

i

)c

i

= l

2

gdzie założyliśmy, bez straty ogólności, że

płaca netto jest

znormalizowana

do jedynki,

3

Dodatkowo ograniczeniu budżetowym mogliśmy bez straty ogólności
założyć, że τ

l

= 0 (zawsze można stronami podzielić przez 1 + τ

l

i

zmienić definicję τ

i

).

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem gospodarstwa domowego

1

Gospodarstwo domowe

maksymalizuje użyteczność

z konsumpcji i

pracy, pod warunkiem ograniczenia budżetowego zrównującego
wydatki z dochodami:

max

c

1

,..,c

n

,l

U(c

1

, ..., c

n

, l )

p.w.

n

X

i =1

p

i

(1 + τ

i

)c

i

= l

2

gdzie założyliśmy, bez straty ogólności, że

płaca netto jest

znormalizowana

do jedynki,

3

Dodatkowo ograniczeniu budżetowym mogliśmy bez straty ogólności
założyć, że τ

l

= 0 (zawsze można stronami podzielić przez 1 + τ

l

i

zmienić definicję τ

i

).

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem gospodarstwa domowego

1

Gospodarstwo domowe

maksymalizuje użyteczność

z konsumpcji i

pracy, pod warunkiem ograniczenia budżetowego zrównującego
wydatki z dochodami:

max

c

1

,..,c

n

,l

U(c

1

, ..., c

n

, l )

p.w.

n

X

i =1

p

i

(1 + τ

i

)c

i

= l

2

gdzie założyliśmy, bez straty ogólności, że

płaca netto jest

znormalizowana

do jedynki,

3

Dodatkowo ograniczeniu budżetowym mogliśmy bez straty ogólności
założyć, że τ

l

= 0 (zawsze można stronami podzielić przez 1 + τ

l

i

zmienić definicję τ

i

).

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem firmy i rządu

1

Firma

stara się

zmaksymalizować zysk

biorąc pod uwagę posiadaną

technologię produkcji

max

x

1

,..,x

n

,l

n

X

i =1

p

i

x

i

− l

p.w.

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

2

Z kolei

rząd prowadzi zrównoważony budżet

, wydając na konsumpcję

to co zgromadził w podatkach:

n

X

i =1

p

i

g

i

=

n

X

i =1

τ

i

c

i

3

Zauważmy, że podatki konsumpcyjne nie występują w problemie
optymalizacyjnym firmy - płacą je gospodarstwa domowe.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem firmy i rządu

1

Firma

stara się

zmaksymalizować zysk

biorąc pod uwagę posiadaną

technologię produkcji

max

x

1

,..,x

n

,l

n

X

i =1

p

i

x

i

− l

p.w.

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

2

Z kolei

rząd prowadzi zrównoważony budżet

, wydając na konsumpcję

to co zgromadził w podatkach:

n

X

i =1

p

i

g

i

=

n

X

i =1

τ

i

c

i

3

Zauważmy, że podatki konsumpcyjne nie występują w problemie
optymalizacyjnym firmy - płacą je gospodarstwa domowe.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem firmy i rządu

1

Firma

stara się

zmaksymalizować zysk

biorąc pod uwagę posiadaną

technologię produkcji

max

x

1

,..,x

n

,l

n

X

i =1

p

i

x

i

− l

p.w.

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

2

Z kolei

rząd prowadzi zrównoważony budżet

, wydając na konsumpcję

to co zgromadził w podatkach:

n

X

i =1

p

i

g

i

=

n

X

i =1

τ

i

c

i

3

Zauważmy, że podatki konsumpcyjne nie występują w problemie
optymalizacyjnym firmy - płacą je gospodarstwa domowe.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem firmy i rządu

1

Firma

stara się

zmaksymalizować zysk

biorąc pod uwagę posiadaną

technologię produkcji

max

x

1

,..,x

n

,l

n

X

i =1

p

i

x

i

− l

p.w.

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

2

Z kolei

rząd prowadzi zrównoważony budżet

, wydając na konsumpcję

to co zgromadził w podatkach:

n

X

i =1

p

i

g

i

=

n

X

i =1

τ

i

c

i

3

Zauważmy, że podatki konsumpcyjne nie występują w problemie
optymalizacyjnym firmy - płacą je gospodarstwa domowe.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Problem firmy i rządu

1

Firma

stara się

zmaksymalizować zysk

biorąc pod uwagę posiadaną

technologię produkcji

max

x

1

,..,x

n

,l

n

X

i =1

p

i

x

i

− l

p.w.

F (x

1

, ..., x

n

, l ) = 0

2

Z kolei

rząd prowadzi zrównoważony budżet

, wydając na konsumpcję

to co zgromadził w podatkach:

n

X

i =1

p

i

g

i

=

n

X

i =1

τ

i

c

i

3

Zauważmy, że podatki konsumpcyjne nie występują w problemie
optymalizacyjnym firmy - płacą je gospodarstwa domowe.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,

dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,

spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,

rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (1)

1

Zakładamy, że

wydatki rządowe są dane i ustalone

- w takim

wypadku

równowagą konkurencyjną

(rynkową) nazywamy:

alokację

producenta i konsumenta (c, x, l ) dla c = (c

1

, ..., c

n

) i

x = (x

1

, ..., x

n

),

wektor

cen

p = (p

1

, ..., p

n

)

wektor

podatków

τ = (τ

1

, ..., τ

n

)

2

ustalone w ten sposób, że:

dla danych podatków τ oraz cen p, para (c, l ) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l ) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. x

i

= c

i

+ g

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (2)

1

Problemy Lagrange’a

dla konsumenta i firmy mają odpowiednio

postać:

L

c

= U(c

1

, ..., c

n

, l ) − λ

c

× (

n

X

i =1

p

i

(1 + τ

i

)c

i

− l )

L

f

=

n

X

i =1

p

i

x

i

− l − λ

f

× (F (x

1

, ..., x

n

, l ))

2

Różniczkując

je względem konsumpcji c

i

, pracy l i produkcji x

i

oraz

dzieląc otrzymujemy:

U

i

U

l

= −(1 + τ

i

)p

i

F

i

F

l

= −p

i

gdzie

∂U
∂c

i

= U

i

,

∂U

∂l

= U

l

,

∂F

∂x

i

= F

i

oraz

∂F

∂l

= F

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (2)

1

Problemy Lagrange’a

dla konsumenta i firmy mają odpowiednio

postać:

L

c

= U(c

1

, ..., c

n

, l ) − λ

c

× (

n

X

i =1

p

i

(1 + τ

i

)c

i

− l )

L

f

=

n

X

i =1

p

i

x

i

− l − λ

f

× (F (x

1

, ..., x

n

, l ))

2

Różniczkując

je względem konsumpcji c

i

, pracy l i produkcji x

i

oraz

dzieląc otrzymujemy:

U

i

U

l

= −(1 + τ

i

)p

i

F

i

F

l

= −p

i

gdzie

∂U
∂c

i

= U

i

,

∂U

∂l

= U

l

,

∂F

∂x

i

= F

i

oraz

∂F

∂l

= F

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (2)

1

Problemy Lagrange’a

dla konsumenta i firmy mają odpowiednio

postać:

L

c

= U(c

1

, ..., c

n

, l ) − λ

c

× (

n

X

i =1

p

i

(1 + τ

i

)c

i

− l )

L

f

=

n

X

i =1

p

i

x

i

− l − λ

f

× (F (x

1

, ..., x

n

, l ))

2

Różniczkując

je względem konsumpcji c

i

, pracy l i produkcji x

i

oraz

dzieląc otrzymujemy:

U

i

U

l

= −(1 + τ

i

)p

i

F

i

F

l

= −p

i

gdzie

∂U
∂c

i

= U

i

,

∂U

∂l

= U

l

,

∂F

∂x

i

= F

i

oraz

∂F

∂l

= F

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (2)

1

Problemy Lagrange’a

dla konsumenta i firmy mają odpowiednio

postać:

L

c

= U(c

1

, ..., c

n

, l ) − λ

c

× (

n

X

i =1

p

i

(1 + τ

i

)c

i

− l )

L

f

=

n

X

i =1

p

i

x

i

− l − λ

f

× (F (x

1

, ..., x

n

, l ))

2

Różniczkując

je względem konsumpcji c

i

, pracy l i produkcji x

i

oraz

dzieląc otrzymujemy:

U

i

U

l

= −(1 + τ

i

)p

i

F

i

F

l

= −p

i

gdzie

∂U
∂c

i

= U

i

,

∂U

∂l

= U

l

,

∂F

∂x

i

= F

i

oraz

∂F

∂l

= F

l

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (3)

1

Tym samym każda równowaga konkurencyjna spełnia dwa warunki:

F (c

1

+ g

1

, ..., c

n

+ g

n

, l ) = 0

warunek osiągalności

n

X

i =1

U

i

c

i

+ U

l

l = 0

warunek implementalności

2

A jednocześnie

zachodzi własność odwrotna

tzn. każdą równowagę

rynkową, która spełnia powyższe warunki można osiągnąć jako
równowagę rynkową z transferami, ustawiając podatki na poziomie

1 + τ

i

=

U

i

U

l

F

l

F

i

3

wtedy bowiem spełnione jest ograniczenie budżetowe konsumenta.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (3)

1

Tym samym każda równowaga konkurencyjna spełnia dwa warunki:

F (c

1

+ g

1

, ..., c

n

+ g

n

, l ) = 0

warunek osiągalności

n

X

i =1

U

i

c

i

+ U

l

l = 0

warunek implementalności

2

A jednocześnie

zachodzi własność odwrotna

tzn. każdą równowagę

rynkową, która spełnia powyższe warunki można osiągnąć jako
równowagę rynkową z transferami, ustawiając podatki na poziomie

1 + τ

i

=

U

i

U

l

F

l

F

i

3

wtedy bowiem spełnione jest ograniczenie budżetowe konsumenta.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (3)

1

Tym samym każda równowaga konkurencyjna spełnia dwa warunki:

F (c

1

+ g

1

, ..., c

n

+ g

n

, l ) = 0

warunek osiągalności

n

X

i =1

U

i

c

i

+ U

l

l = 0

warunek implementalności

2

A jednocześnie

zachodzi własność odwrotna

tzn. każdą równowagę

rynkową, która spełnia powyższe warunki można osiągnąć jako
równowagę rynkową z transferami, ustawiając podatki na poziomie

1 + τ

i

=

U

i

U

l

F

l

F

i

3

wtedy bowiem spełnione jest ograniczenie budżetowe konsumenta.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga konkurencyjna (3)

1

Tym samym każda równowaga konkurencyjna spełnia dwa warunki:

F (c

1

+ g

1

, ..., c

n

+ g

n

, l ) = 0

warunek osiągalności

n

X

i =1

U

i

c

i

+ U

l

l = 0

warunek implementalności

2

A jednocześnie

zachodzi własność odwrotna

tzn. każdą równowagę

rynkową, która spełnia powyższe warunki można osiągnąć jako
równowagę rynkową z transferami, ustawiając podatki na poziomie

1 + τ

i

=

U

i

U

l

F

l

F

i

3

wtedy bowiem spełnione jest ograniczenie budżetowe konsumenta.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga Ramseya (1)

1

Równowagą Ramseya

nazywamy politykę podatkową τ oraz

optymalne odpowiedzi na nie ze strony gospodarstw domowych i
firm (c(τ ), x (τ ), l (τ ), p(τ )), takie, że polityka ta maksymalizuje
użyteczność gospodarstwa domowego w zbiorze wszystkich
równowag konkurencyjnych (c(τ

0

), x (τ

0

), l (τ

0

), p(τ

0

)), przy

założeniu, że spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu:

τ ∈ arg max

τ

0

U(c(τ

0

), l (τ

0

))

p.w.

n

X

i =1

p

i

g

i

=

n

X

i =1

τ

i

c

i

2

Trójkę (c(τ ), x (τ ), l (τ )) nazywamy

alokacją Ramseya

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga Ramseya (1)

1

Równowagą Ramseya

nazywamy politykę podatkową τ oraz

optymalne odpowiedzi na nie ze strony gospodarstw domowych i
firm (c(τ ), x (τ ), l (τ ), p(τ )), takie, że polityka ta maksymalizuje
użyteczność gospodarstwa domowego w zbiorze wszystkich
równowag konkurencyjnych (c(τ

0

), x (τ

0

), l (τ

0

), p(τ

0

)), przy

założeniu, że spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu:

τ ∈ arg max

τ

0

U(c(τ

0

), l (τ

0

))

p.w.

n

X

i =1

p

i

g

i

=

n

X

i =1

τ

i

c

i

2

Trójkę (c(τ ), x (τ ), l (τ )) nazywamy

alokacją Ramseya

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga Ramseya (1)

1

Równowagą Ramseya

nazywamy politykę podatkową τ oraz

optymalne odpowiedzi na nie ze strony gospodarstw domowych i
firm (c(τ ), x (τ ), l (τ ), p(τ )), takie, że polityka ta maksymalizuje
użyteczność gospodarstwa domowego w zbiorze wszystkich
równowag konkurencyjnych (c(τ

0

), x (τ

0

), l (τ

0

), p(τ

0

)), przy

założeniu, że spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu:

τ ∈ arg max

τ

0

U(c(τ

0

), l (τ

0

))

p.w.

n

X

i =1

p

i

g

i

=

n

X

i =1

τ

i

c

i

2

Trójkę (c(τ ), x (τ ), l (τ )) nazywamy

alokacją Ramseya

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga Ramseya (2)

1

Jeśli (c∗, l ∗) należą do alokacji Ramseya wtedy:

(c∗, l ∗) ∈ arg max

c,l

U(c, l )

p.w.

F (c

1

+ g

1

, ...,c

n

+ g

n

, l ) = 0

n

X

i =1

U

i

c

i

+ U

l

l = 0

2

Innymi słowy

znalezienie optymalnej polityki

podatkowej τ

maksymalizującej użyteczność przy założeniu spełnienia ograniczenia
budżetowego rządu w zbiorze wszystkich dopuszczalnych rynkowo
polityk jest

równoważne znalezieniu pary

(c∗, l ∗) maksymalizującej

użyteczność

w obecności warunków dopuszczalności i

akcetpowalności

polityki.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga Ramseya (2)

1

Jeśli (c∗, l ∗) należą do alokacji Ramseya wtedy:

(c∗, l ∗) ∈ arg max

c,l

U(c, l )

p.w.

F (c

1

+ g

1

, ...,c

n

+ g

n

, l ) = 0

n

X

i =1

U

i

c

i

+ U

l

l = 0

2

Innymi słowy

znalezienie optymalnej polityki

podatkowej τ

maksymalizującej użyteczność przy założeniu spełnienia ograniczenia
budżetowego rządu w zbiorze wszystkich dopuszczalnych rynkowo
polityk jest

równoważne znalezieniu pary

(c∗, l ∗) maksymalizującej

użyteczność

w obecności warunków dopuszczalności i

akcetpowalności

polityki.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Równowaga Ramseya (2)

1

Jeśli (c∗, l ∗) należą do alokacji Ramseya wtedy:

(c∗, l ∗) ∈ arg max

c,l

U(c, l )

p.w.

F (c

1

+ g

1

, ...,c

n

+ g

n

, l ) = 0

n

X

i =1

U

i

c

i

+ U

l

l = 0

2

Innymi słowy

znalezienie optymalnej polityki

podatkowej τ

maksymalizującej użyteczność przy założeniu spełnienia ograniczenia
budżetowego rządu w zbiorze wszystkich dopuszczalnych rynkowo
polityk jest

równoważne znalezieniu pary

(c∗, l ∗) maksymalizującej

użyteczność

w obecności warunków dopuszczalności i

akcetpowalności

polityki.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (1)

1

Załóżmy, że n = 2 i rozpatrzmy problem Ramseya w formie:

max

c

1

,c

2

,l

U(c

1

, c

2

, l )

p.w.

F (c

1

+ g

1

,c

2

+ g

2

, l ) = 0

U

1

c

1

+U

2

c

2

+ U

l

l = 0

2

Co oznacza funkcję Lagrange’a postaci:

L = U(c

1

, c

2

, l ) − λU

1

c

1

+ U

2

c

2

+ U

l

l − γF (c

1

+ g

1

, c

2

+ g

2

, l )

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (1)

1

Załóżmy, że n = 2 i rozpatrzmy problem Ramseya w formie:

max

c

1

,c

2

,l

U(c

1

, c

2

, l )

p.w.

F (c

1

+ g

1

,c

2

+ g

2

, l ) = 0

U

1

c

1

+U

2

c

2

+ U

l

l = 0

2

Co oznacza funkcję Lagrange’a postaci:

L = U(c

1

, c

2

, l ) − λU

1

c

1

+ U

2

c

2

+ U

l

l − γF (c

1

+ g

1

, c

2

+ g

2

, l )

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (1)

1

Załóżmy, że n = 2 i rozpatrzmy problem Ramseya w formie:

max

c

1

,c

2

,l

U(c

1

, c

2

, l )

p.w.

F (c

1

+ g

1

,c

2

+ g

2

, l ) = 0

U

1

c

1

+U

2

c

2

+ U

l

l = 0

2

Co oznacza funkcję Lagrange’a postaci:

L = U(c

1

, c

2

, l ) − λU

1

c

1

+ U

2

c

2

+ U

l

l − γF (c

1

+ g

1

, c

2

+ g

2

, l )

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (1)

1

Załóżmy, że n = 2 i rozpatrzmy problem Ramseya w formie:

max

c

1

,c

2

,l

U(c

1

, c

2

, l )

p.w.

F (c

1

+ g

1

,c

2

+ g

2

, l ) = 0

U

1

c

1

+U

2

c

2

+ U

l

l = 0

2

Co oznacza funkcję Lagrange’a postaci:

L = U(c

1

, c

2

, l ) − λU

1

c

1

+ U

2

c

2

+ U

l

l − γF (c

1

+ g

1

, c

2

+ g

2

, l )

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (2)

1

Sformułowanie funckji Lagrange’a pozwala na wyliczenie

warunków

pierwszego rzędu

dla j ∈ {1, 2, l }:

U

j

+ λ(U

1j

c

1

+ U

2j

c

2

+ U

lj

l ) = γF

j

2

co można krócej zapisać jako

1 + λ − λH

j

= γ

F

j

U

j

H

j

=

U

1j

c

1

+ U

2j

c

2

+ U

lj

l

U

j

3

a ponieważ jednocześnie 1 + τ

i

=

U

i

U

l

F

l

F

i

, to optymalne opodatkowanie

musi spełniać:

1 + τ

i

= −

1 + λ − λH

l

1 + λ − λH

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (2)

1

Sformułowanie funckji Lagrange’a pozwala na wyliczenie

warunków

pierwszego rzędu

dla j ∈ {1, 2, l }:

U

j

+ λ(U

1j

c

1

+ U

2j

c

2

+ U

lj

l ) = γF

j

2

co można krócej zapisać jako

1 + λ − λH

j

= γ

F

j

U

j

H

j

=

U

1j

c

1

+ U

2j

c

2

+ U

lj

l

U

j

3

a ponieważ jednocześnie 1 + τ

i

=

U

i

U

l

F

l

F

i

, to optymalne opodatkowanie

musi spełniać:

1 + τ

i

= −

1 + λ − λH

l

1 + λ − λH

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (2)

1

Sformułowanie funckji Lagrange’a pozwala na wyliczenie

warunków

pierwszego rzędu

dla j ∈ {1, 2, l }:

U

j

+ λ(U

1j

c

1

+ U

2j

c

2

+ U

lj

l ) = γF

j

2

co można krócej zapisać jako

1 + λ − λH

j

= γ

F

j

U

j

H

j

=

U

1j

c

1

+ U

2j

c

2

+ U

lj

l

U

j

3

a ponieważ jednocześnie 1 + τ

i

=

U

i

U

l

F

l

F

i

, to optymalne opodatkowanie

musi spełniać:

1 + τ

i

= −

1 + λ − λH

l

1 + λ − λH

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (2)

1

Sformułowanie funckji Lagrange’a pozwala na wyliczenie

warunków

pierwszego rzędu

dla j ∈ {1, 2, l }:

U

j

+ λ(U

1j

c

1

+ U

2j

c

2

+ U

lj

l ) = γF

j

2

co można krócej zapisać jako

1 + λ − λH

j

= γ

F

j

U

j

H

j

=

U

1j

c

1

+ U

2j

c

2

+ U

lj

l

U

j

3

a ponieważ jednocześnie 1 + τ

i

=

U

i

U

l

F

l

F

i

, to optymalne opodatkowanie

musi spełniać:

1 + τ

i

= −

1 + λ − λH

l

1 + λ − λH

i

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (3)

1

Przyjmijmy dla ustalenia uwagi separowalną postać funkcji
uzyteczności:

U(c

1

, c

2

, l ) = u

1

(c

1

) + u

2

(c

2

) − v (l )

2

wtedy H

i

= −

U

ii

c

i

U

i

- naszym celem jest

związanie H

i

z elastycznością

dochodową popytu

na dobro i . W tym celu zauważmy, że jeśli

m > 0 jest niepochodzącym z pracy dochodem takim, że
p

1

c

1

+ p

2

c

2

= l + m oraz φ jest mnożnikiem Lagrangea związanym z

tym ograniczeniem, to:

U

i

(c

i

(p, m)) = p

i

φ(p, m) ⇒ U

ii

∂c

i

∂m

= p

i

∂φ

∂m

=

∂U

i

∂φ

∂φ

∂m

3

Tym samym H

i

= −

m

φ

∂φ

∂m

1

η

i

gdzie η

i

=

m
c

i

∂c

i

∂m

jest elastycznością

dochodową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli η

j

> η

i

, czyli

dobra pierwszorzędnego użytku powinny być opodatkowywane wyżej
niż dobra luksusowe

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (3)

1

Przyjmijmy dla ustalenia uwagi separowalną postać funkcji
uzyteczności:

U(c

1

, c

2

, l ) = u

1

(c

1

) + u

2

(c

2

) − v (l )

2

wtedy H

i

= −

U

ii

c

i

U

i

- naszym celem jest

związanie H

i

z elastycznością

dochodową popytu

na dobro i . W tym celu zauważmy, że jeśli

m > 0 jest niepochodzącym z pracy dochodem takim, że
p

1

c

1

+ p

2

c

2

= l + m oraz φ jest mnożnikiem Lagrangea związanym z

tym ograniczeniem, to:

U

i

(c

i

(p, m)) = p

i

φ(p, m) ⇒ U

ii

∂c

i

∂m

= p

i

∂φ

∂m

=

∂U

i

∂φ

∂φ

∂m

3

Tym samym H

i

= −

m

φ

∂φ

∂m

1

η

i

gdzie η

i

=

m
c

i

∂c

i

∂m

jest elastycznością

dochodową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli η

j

> η

i

, czyli

dobra pierwszorzędnego użytku powinny być opodatkowywane wyżej
niż dobra luksusowe

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (3)

1

Przyjmijmy dla ustalenia uwagi separowalną postać funkcji
uzyteczności:

U(c

1

, c

2

, l ) = u

1

(c

1

) + u

2

(c

2

) − v (l )

2

wtedy H

i

= −

U

ii

c

i

U

i

- naszym celem jest

związanie H

i

z elastycznością

dochodową popytu

na dobro i . W tym celu zauważmy, że jeśli

m > 0 jest niepochodzącym z pracy dochodem takim, że
p

1

c

1

+ p

2

c

2

= l + m oraz φ jest mnożnikiem Lagrangea związanym z

tym ograniczeniem, to:

U

i

(c

i

(p, m)) = p

i

φ(p, m) ⇒ U

ii

∂c

i

∂m

= p

i

∂φ

∂m

=

∂U

i

∂φ

∂φ

∂m

3

Tym samym H

i

= −

m

φ

∂φ

∂m

1

η

i

gdzie η

i

=

m
c

i

∂c

i

∂m

jest elastycznością

dochodową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli η

j

> η

i

, czyli

dobra pierwszorzędnego użytku powinny być opodatkowywane wyżej
niż dobra luksusowe

.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (4)

1

Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v (l ) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:

U

ii

∂c

i

∂p

i

=

U

i

p

i

⇒ H

i

=

1



i

2

gdzie 

i

=

∂c

i

∂p

i

p

i

c

i

jest cenową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli



j

> 

i

, czyli

dobra mniej elastyczne cenowo powinny być

opodatkowywane relatywnie wyżej

,

3

Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:

1

Dobra

silniej komplementarne

z pracą (np. c

2

w

U(c

1

, c

2

, l ) = c

α

1

+ c

α

2

(1 − l )

β

powinny być opodatkowane wyżej niż

dobra

mniej komplementarne

,

2

Jeśli preferencje względem konsumpcji są

homotetyczne

tzn.

U(c

1

, ..., c

n

, l ) = W (G (c

1

, ..., c

n

), l ), to

stawka podatku VAT

powinna być jedna

tzn. τ

1

= .. = τ

n

],

3

Dobra

pośrednie nie powinny być opodatkowywane

VAT.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (4)

1

Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v (l ) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:

U

ii

∂c

i

∂p

i

=

U

i

p

i

⇒ H

i

=

1



i

2

gdzie 

i

=

∂c

i

∂p

i

p

i

c

i

jest cenową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli



j

> 

i

, czyli

dobra mniej elastyczne cenowo powinny być

opodatkowywane relatywnie wyżej

,

3

Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:

1

Dobra

silniej komplementarne

z pracą (np. c

2

w

U(c

1

, c

2

, l ) = c

α

1

+ c

α

2

(1 − l )

β

powinny być opodatkowane wyżej niż

dobra

mniej komplementarne

,

2

Jeśli preferencje względem konsumpcji są

homotetyczne

tzn.

U(c

1

, ..., c

n

, l ) = W (G (c

1

, ..., c

n

), l ), to

stawka podatku VAT

powinna być jedna

tzn. τ

1

= .. = τ

n

],

3

Dobra

pośrednie nie powinny być opodatkowywane

VAT.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (4)

1

Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v (l ) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:

U

ii

∂c

i

∂p

i

=

U

i

p

i

⇒ H

i

=

1



i

2

gdzie 

i

=

∂c

i

∂p

i

p

i

c

i

jest cenową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli



j

> 

i

, czyli

dobra mniej elastyczne cenowo powinny być

opodatkowywane relatywnie wyżej

,

3

Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:

1

Dobra

silniej komplementarne

z pracą (np. c

2

w

U(c

1

, c

2

, l ) = c

α

1

+ c

α

2

(1 − l )

β

powinny być opodatkowane wyżej niż

dobra

mniej komplementarne

,

2

Jeśli preferencje względem konsumpcji są

homotetyczne

tzn.

U(c

1

, ..., c

n

, l ) = W (G (c

1

, ..., c

n

), l ), to

stawka podatku VAT

powinna być jedna

tzn. τ

1

= .. = τ

n

],

3

Dobra

pośrednie nie powinny być opodatkowywane

VAT.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (4)

1

Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v (l ) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:

U

ii

∂c

i

∂p

i

=

U

i

p

i

⇒ H

i

=

1



i

2

gdzie 

i

=

∂c

i

∂p

i

p

i

c

i

jest cenową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli



j

> 

i

, czyli

dobra mniej elastyczne cenowo powinny być

opodatkowywane relatywnie wyżej

,

3

Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:

1

Dobra

silniej komplementarne

z pracą (np. c

2

w

U(c

1

, c

2

, l ) = c

α

1

+ c

α

2

(1 − l )

β

powinny być opodatkowane wyżej niż

dobra

mniej komplementarne

,

2

Jeśli preferencje względem konsumpcji są

homotetyczne

tzn.

U(c

1

, ..., c

n

, l ) = W (G (c

1

, ..., c

n

), l ), to

stawka podatku VAT

powinna być jedna

tzn. τ

1

= .. = τ

n

],

3

Dobra

pośrednie nie powinny być opodatkowywane

VAT.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (4)

1

Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v (l ) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:

U

ii

∂c

i

∂p

i

=

U

i

p

i

⇒ H

i

=

1



i

2

gdzie 

i

=

∂c

i

∂p

i

p

i

c

i

jest cenową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli



j

> 

i

, czyli

dobra mniej elastyczne cenowo powinny być

opodatkowywane relatywnie wyżej

,

3

Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:

1

Dobra

silniej komplementarne

z pracą (np. c

2

w

U(c

1

, c

2

, l ) = c

α

1

+ c

α

2

(1 − l )

β

powinny być opodatkowane wyżej niż

dobra

mniej komplementarne

,

2

Jeśli preferencje względem konsumpcji są

homotetyczne

tzn.

U(c

1

, ..., c

n

, l ) = W (G (c

1

, ..., c

n

), l ), to

stawka podatku VAT

powinna być jedna

tzn. τ

1

= .. = τ

n

],

3

Dobra

pośrednie nie powinny być opodatkowywane

VAT.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Dobra i usługi

Problem Ramseya dla n=2 (4)

1

Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v (l ) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:

U

ii

∂c

i

∂p

i

=

U

i

p

i

⇒ H

i

=

1



i

2

gdzie 

i

=

∂c

i

∂p

i

p

i

c

i

jest cenową konsumpcji, a tym samym H

i

> H

j

jeśli



j

> 

i

, czyli

dobra mniej elastyczne cenowo powinny być

opodatkowywane relatywnie wyżej

,

3

Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:

1

Dobra

silniej komplementarne

z pracą (np. c

2

w

U(c

1

, c

2

, l ) = c

α

1

+ c

α

2

(1 − l )

β

powinny być opodatkowane wyżej niż

dobra

mniej komplementarne

,

2

Jeśli preferencje względem konsumpcji są

homotetyczne

tzn.

U(c

1

, ..., c

n

, l ) = W (G (c

1

, ..., c

n

), l ), to

stawka podatku VAT

powinna być jedna

tzn. τ

1

= .. = τ

n

],

3

Dobra

pośrednie nie powinny być opodatkowywane

VAT.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne

Przypomnienie

Wprowadzenie

Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya

Optymalne opodatkowanie

Podsumowanie

Wnioski

Optymalne opodatkowanie w sytuacji, gdy posługujemy się podatkami
zniekształcającymi oznacza

ustalenie

takiej

struktury opodatkowania

,

która pozwala na maksymalizację

użyteczności

gospodarstwa domowego

w sytuacji jednoczesnego spełnienia

ograniczenia budżetowego

rządu.

Rozwiązane przez nas problemy optymalnego opodatkowania implikują,
że rząd

projektując system podatkowy

powinien brać pod uwagę

elastyczności dochodowe i cenowe

popytu na poszczególne dobra

podlegające opodatkowaniu. O ostatecznym wyniku decyduje więc

kształt preferencji

i reakcje gospodarstw domowych na zmiany stawek

podatkowych.

dr Maciej Bukowski

Finanse Publiczne