TEORIA WYBORU KONSUMENTA

Opisując dane zjawisko ekonomiczne w języku matematyki tworzymy pewien model matematyczny tego zjawiska w postaci układu założeń (aksjomatów) dotyczących rozpatrywanych zmiennych ekonomicznych określając ich obszary zmienności, powiązania funkcyjne między nimi itd. Obserwowana rzeczywistość ekonomiczna jest bardzo złożona, więc model ją opisujący musi czynić wiele uproszczeń, stąd może być wiele różnych podejść (modeli) dotyczących tego samego zjawiska. Oznacza to, że przy modelowaniu rzeczywistości ekonomicznej dotyczącym jakiegoś zjawiska gospodarczego nie możemy mieć uniwersalnego modelu. Przy modelowaniu zjawisk ekonomicznych staramy się uwzględnić wszystkie istotne czynniki, które mają na nie wpływ. W gruncie rzeczy model ekonomiczny (matematyczny) jest niczym innym jak „rzeczywistością myślową” (mentalną) danego zjawiska ekonomicznego, do którego stosuje się aparat matematyczny. Na ile sam model i metody zastosowane w jego analizie są trafne świadczy zgodność wniosków z niego wynikających z rzeczywistością ekonomiczną.

Zachowania ludzkie są bardzo złożone nawet w tych samych okolicznościach ludzie mogą podejmować różne (nawet przeciwstawne) decyzje stąd, modelowanie zachowań ludzkich pod względem ekonomicznym jest bardzo kłopotliwe (homo oeconomicus).

Przyczyną, dla której człowiek podejmuje działalność gospodarczą jest konieczność zaspokojenia jego potrzeb konsumpcyjnych. W teorii mikroekonomii rozróżniamy dwie grupy podmiotów: konsumentów i producentów.

Jako konsumenta rozumieć będziemy nie pojedynczego człowieka, ale gospodarstwo domowe, które ma wspólne cele, wspólny dochód. Przez producentów rozumieć będziemy zarówno pojedynczych producentów (np.: rolnik, rzemieślnik,…) jak i firmy (niezależnie od ich wielkości).

Modelując teorię konsumenta nie interesuje nas sąd się biorą towary dostępne na rynku. Dopiero w zestawieniu konsumentów i producentów na rynku będziemy mieli wzajemne relacje między tymi dwoma grupami podmiotów i jest rzeczą oczywistą, że towary na rynek dostarczają producenci.

W teorii wyboru konsumenta istnieją 3 zasadnicze determinanty (wyznaczniki) charakteryzujące konsumenta:

1. Zbiór konsumpcyjny (zbiór towarów ogólnie dostępnych - istniejących na rynku).

2. Zbiór dopuszczalny (zbiór towarów, które może nabyć dany konsument uwzględniając różnorakie ograniczenia - np.: budżetowe).

3. Relacja preferencji konsumenta (jest to „coś”, czym konsument się kieruje przy wyborze (zakupie) towarów).

Załóżmy, że każde dobro (towar) jest mierzalne i nieskończenie podzielne oraz, że na rynku istnieje skończona ilość towarów.

Niech
oraz
.

oznacza ilość poszczególnych towarów w odpowiednich jednostkach fizycznych. Wektor x nazywać będziemy koszykiem towarów.

Przestrzeń
z metryką
nazywać będziemy przestrzenią towarów.

O zbiorze konsumpcyjnym X zakładać będziemy, że spełnia warunki:

1. 
   

2. 
   

3. X- wypukły

4. 
   (istnieje możliwość nie kupienia niczego)

Uwaga

W dalszej części zakładać będziemy najczęściej, że zbiór
.

O zbiorze dopuszczalnym
zakładamy, że jest ograniczony, domknięty i wypukły.

Relację binarną
nazywamy relacją preferencji konsumenta (
to mówimy, że koszyk x¹ jest nie gorszy od koszyka x² albo koszyk x² jest nie lepszy od koszyka x¹).

O relacji preferencji czynić będziemy kilka założeń (aksjomatów):

A₁) (zupełność)

A₂) (przechodniość)

Relację preferencji spełniająca aksjomaty A₁,A₂ nazywamy relacją słabej preferencji konsumenta.

Parę
nazywać będziemy polem preferencji konsumenta.

Def. (relacja ścisłej (silnej) preferencji)

Niech dane będzie pole preferencji
, jeśli relacja „
” spełnia warunek:

to relacje tę nazywać będziemy relacją ścisłej preferencji i oznaczmy „
” indukowaną przez „
” (relację słabej preferencji).

Def. (relacja obojętności lub indyferencji)

Niech dane będzie pole preferencji
, jeśli relacja „
” spełnia warunek:

to wówczas relację tę nazwiemy relacją obojętności (indyferencji) odpowiadającą „
” i oznaczymy
.

Konsumentowi jest obojętne, który koszyk wybierze.

Twierdzenie

Niech dane będzie pole preferencji
. Jeżeli relacja słabej preferencji spełnia aksjomaty A₁, A₂ wówczas:

.

Twierdzenie

Relacja obojętności jest relacją równoważności w polu preferencji.

Def.

Niech dane będzie pole preferencji
oraz
. Zdefiniujmy zbiory pewnych koszyków związanych z koszykiem x⁰.

1. 
   - nazywamy zbiorem koszyków słabo preferowanych względem koszyka x⁰;

2. 
   - zbiór koszyków silnie preferowanych względem x⁰ (lepszych od x⁰);

3. 
   - zbiór koszyków nie lepszych od x⁰;

4. 
   - zbiór koszyków gorszych od x⁰.

5. 
   - zbiór koszyków obojętnych względem koszyka

x⁰.

A₃) (ciągłość preferencji)

Niech dane będzie pole preferencji

Jeżeli
zbiory
i
są domknięte w
to relację
(słabej preferencji) nazywamy ciągłą.

Można pokazać, że ciągła relacja słabej preferencji spełnia warunek:

Jeżeli
.

Innymi słowy z ekonomicznego punktu widzenia dla ciągłej relacji preferencji nie są możliwe nagłe odwrócenia preferencji.

A₄) (lokalny niedosyt)

Niech dane będzie pole preferencji
mówimy, że relacja
spełnia założenie lokalnego niedosytu wtedy i tylko wtedy, gdy na mocy definicji:
.

A_4') (globalny niedosyt - ścisła monotoniczność)

Niech dane będzie pole preferencji
. Mówimy, że słabe preferencje spełniają warunek ścisłej monotoniczności wtedy i tylko wtedy, gdy

Z ekonomicznego punktu widzenia warunek ten oznacza, że zawsze, jeśli tylko konsument ma obfitszy koszyk to jest bardziej zadowolony.

A₅) (wypukłość)

Niech dane będzie pole preferencji
. Mówimy, ze relacja preferencji
jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy

.

A_5') (ścisła wypukłość)

Niech dane będzie pole preferencji
. Mówimy, że relacja preferencji jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Z ekonomicznego punktu widzenia założenie wypukłości (ścisłej wypukłości) preferuje koszyki pośrednie.

Podsumowując wprowadzone założenia o preferencjach konsumenta możemy stwierdzić, ze zupełność i przechodniość pozwala wybrać i porównać konsumentowi różne alternatywy koszyków. Ciągłość nie zmienia (radykalnie) bliskich koszyków. Nienasycenie globalne jest wyrazem homo-oeconomicus (mieć więcej to lepiej). Wypukłość preferuje bardziej zrównoważoną konsumpcję.

FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI

W teorii wyboru konsumenta posługiwanie się relacją preferencji jest niezbyt wygodne. W nowoczesnej teorii konsumenta o wiele wygodniejszym narzędziem informującym o preferencjach konsumenta jest tzw. funkcja użyteczności.

Def

Niech dane będzie pole preferencji
. Funkcję
taką, że:

nazywamy funkcją użyteczności konsumenta zgodną z relacją preferencji
.

Twierdzenie ( Debreu - o istnieniu funkcji użyteczności)

Niech dane będzie pole preferencji
. Jeżeli relacja preferencji jest zupełna [A₁], przechodnia [A₂], ciągła [A₃] wówczas istnieje ciągła funkcja użyteczności zgodna z relacja preferencji
.

Twierdzenie (o reprezentacji relacji preferencji przez funkcje użyteczności)

Niech dane będzie pole preferencji
i odpowiadająca mu funkcja użyteczności u wówczas każda funkcja v postaci
, gdzie
jest dowolną funkcją ściśle rosnącą, jest również funkcją użyteczności odpowiadającą relacji preferencji
.

Wniosek

Z twierdzenia tego wynika, że wartość funkcji użyteczności nie informuje nas nic o zadowoleniu z danego koszyka towarów.

Twierdzenie (związek miedzy własnościami funkcji użyteczności a preferencjami)

Niech dane będzie pole preferencji
oraz odpowiadająca mu funkcja użyteczności u.

1. funkcja użyteczności u jest ściśle rosnąca odpowiadająca jej relacja preferencji
   jest ściśle monotoniczna,

2. funkcja użyteczności u jest quasi-wklęsła relacja preferencji
   jest wypukła,

3. funkcja użyteczności u jest ściśle quasi-wklęsła odpowiadająca jej relacja preferencji jest ściśle wypukła.

Def

Niech dana będzie funkcja
, gdzie
jest zbiorem wypukłym. Mówimy, że funkcja
jest:

a) quasi-wklęsła
.

b) ściśle quasi-wklęsła
.

TYPOWE PRZYKŁADY FUNKCJI UŻYTECZNOŚCI

TYP (nazwa)	POSTAĆ	WARUNKI
Multiplikatywna		,
Addytywna
Logarytmiczna
CES (stała elastyczność substytucji)

UŻYTECZNOŚĆ KRAŃCOWA (MARGINALNA)

Niech dana będzie funkcja użyteczności
, o której zakładamy, że jest różniczkowalna. Weźmy jakiś koszyk towarów
.

Liczbę
lub


dla

nazywamy użytecznością krańcową i-tego towaru w koszyku x⁰.

(
)

Z ekonomicznego punktu widzenia użyteczność krańcowa informuje nas jak zmieni się użyteczność danego koszyka towarów spowodowana jednostkową zmianą jego zawartości tylko dla i-tego towaru.

Uwaga

Użyteczność krańcowa tak samo jak funkcja użyteczności też nie jest określona jednoznacznie dla danego pola preferencji stąd wynika problem interpretacji bezpośrednich wielkości.

KRAŃCOWA STOPA SUBSTYTUCJI (MRS)

( marginal rate of substitution )

Załóżmy, że mamy daną funkcje użyteczności
, o której zakładamy, że jest różniczkowalna. Wyrażenie

nazywamy krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszyku x.

Dla zilustrowania ekonomicznej interpretacji krańcowej stopy substytucji (MRS) weźmy pod uwagę najprostszy przypadek przestrzeni dwuwymiarowej
, równanie

oznacza krzywą obojętności na poziomie c.

Interesuje nas taka zmiana koszyka towarów x, aby zachować tę samą użyteczność.

Niech
takie, że użyteczność

Z tego ostatniego wyrażenia wnosimy, kładąc
, że krańcowa stopa substytucji oznacza (w przybliżeniu) ilość drugiego towaru, jaką trzeba zastąpić jedną jednostkę pierwszego towaru.

Uwaga

Krańcowa stopa substytucji nie zależy od wyboru funkcji użyteczności u.

Prawo Gossena

Niech dane będzie pole preferencji konsumenta
i odpowiadająca relacji preferencji funkcja użyteczności u, wówczas krańcowa użyteczność jest funkcją malejącą (
).

Z ekonomicznego punktu widzenia prawo Gossena oznacza, że jeśli konsument w swoim koszyku będzie zwiększał ilość jednego towaru, a pozostałe ilości nie będą ulegały zmianie (założenie ceteris paribus) to jego zadowolenie (satysfakcja) ze zwiększania ilości tego towaru będzie malała.

5

(



0

x

≥

(



0

x

≤

(



0

~

x

x₂

x₁

u(x₁,x₂)=c

---