DRUGIE ZADANIE WYBORU TEORII KONSUMENTA

Będziemy rozpatrywali konsumenta, który posiada zbiór konsumpcyjny
i preferencje
, którym odpowiada pewna funkcja użyteczności u. Konsument ten znajduje się na rynku konkurencyjnym (jest cenobiorcą). Niech wektor cen
. O relacji preferencji konsumenta zakładamy te same własności, co w pierwszym zdaniu (tzn. zupełna, przechodnia, ciągła, ściśle monotoniczna i ściśle wypukła) stąd odpowiadająca jej funkcja użyteczności jest ciągła, ściśle rosnąca, ściśle quasi-wklęsła.

Zakładamy, że konsument zainteresowany jest utrzymaniem swojej użyteczności, co najmniej na pewnym ustalonym poziomie u^* i interesuje go minimalny poziom wydatków, który musi ponieść, aby ten poziom użyteczności osiągnąć. Z matematycznego punktu widzenia zadanie to można zapisać jako zdanie programowania matematycznego postaci:

Z uczynionych założeń wnosimy, że wydatki konsumenta są ograniczone z dołu przez liczbę zero. Natomiast zbiór
jest domknięty, bo funkcja użyteczności jest ciągła. Funkcja celu (wydatków)
jest ciągła i liniowa stąd wnosimy, że istnieje koszyk
, który realizuje minimum funkcji celu na zbiorze D, a więc jest rozwiązaniem drugiego zadania wyboru konsumenta. Z założeń o ścisłej monotoniczności i ścisłej quasi-wklęsłości funkcji użyteczności wnosimy, że istnieje dokładnie jeden taki koszyk
, który realizuje to minimum i znajduje się on w zbiorze
. Warunki optymalności dla tego jedynego koszyka wynikają z warunków Lagrange'a dla ekstremów warunkowych i są postaci:

dla
oraz
gdzie

.

W przypadku 2-wymiarowym zadanie to możemy zilustrować następująco:

.

Dla dalszych rozważań załóżmy, że zamiast stałego poziomu użyteczności u^* rozpatrujemy zbiór
, który ma element najmniejszy
. Zbiór U nazywamy zbiorem osiągalnych poziomów użyteczności konsumenta.

Zdefiniujmy teraz funkcję wydatków (minimalnych)
zależną od wektora cen
i poziomu użyteczności
.

Def. (funkcja wydatków)

Wykorzystując drugie zadanie wyboru konsumenta funkcję wydatków możemy zapisać postaci

.

Def. (funkcja popytu skompensowanego lub funkcja popytu Hicksa)

Dla pary cen i poziomu użyteczności
jedyny optymalny koszyk
, który jest rozwiązaniem drugiego zadania wyboru konsumenta jest funkcją zmiennych
czyli
i nazywamy ją funkcją popytu skompensowanego lub funkcją popytu Hicksa.

Interpretacja graficzna funkcji popytu Hicks'a dla n=2:

WŁASNOŚCI FUNKCJI WYDATKÓW

Jeżeli są spełnione założenia drugiego zadania wyboru konsumenta, wówczas funkcja wydatków
jest:

1) ciągła w
gdzie
,

2) ściśle rosnąca i nieograniczona z góry względem zmiennej u,

3) rosnąca względem wektora cen,

4) dodatnio jednorodna pierwszego stopnia względem wektora cen tzn.

dla
,

5) różniczkowalna względem cen oraz spełnia warunki Sheparda postaci:

dla i=1,2,…,n.

Ćwiczenie (analogiczne jak dla popytu Marshalla)

1. Dla funkcji użyteczności typu Cobba-Douglasa (CES) sformułować drugie zadanie teorii wyboru konsumenta, sprawdzić jego założenia a następnie wyznaczyć funkcję popytu Hicksa ( rozwiązać to zadanie wykorzystując warunki optymalności czyli metodę mnożników Lagrange'a)

2. Wyznaczyć funkcję wydatków e i następnie sprawdzić czy posiada znane własności.

ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY DWOMA ZADANIAMI WYBORU TEORII KONSUMENTA

Weźmy pod uwagę oba zadania teorii wyboru konsumenta. Niech
oznacza rozwiązanie pierwszego zadania (funkcja popytu Marshalla) oraz
oznacza rozwiązanie drugiego zadania (funkcja popytu Hicksa) wówczas
oznacza funkcję pośredniej użyteczności, a iloczyn
oznacza funkcję wydatków.

Twierdzenie

Jeśli są spełnione założenia teorii wyboru konsumenta wówczas
zachodzą zależności:

1. 
   (gdzie
   - minimalny wydatek).
   Maksymalna użyteczność, jaką można osiągnąć przy dochodzie równym
   jest równa poziomowi użyteczności u.

2. 
   (wartość funkcji wydatków).

Minimalny wydatek (dochód), jaki jest potrzebny do nabycia koszyka o użyteczności (maksymalnej) v jest właśnie równy poziomowi dochodu I.

3. 
   .

Jeżeli
jest rozwiązaniem pierwszego zadania teorii wyboru konsumenta dla pary
to jest również rozwiązaniem drugiego zadania konsumenta dla poziomu użyteczności
.

4. 
   .

Jeżeli
jest rozwiązaniem drugiego zadania teorii wyboru konsumenta dla pary
to jest on również rozwiązaniem pierwszego zadania konsumenta dla dochodu
.

Uwaga

Związki c) i d) dające relacje między popytami Marshalla i Hicksa mają charakter dualny (podwójny). Graficznie w przypadku przestrzeni dwóch towarów możemy to narysować

Ćwiczenie

Dla funkcji użyteczności typu Cobba-Douglasa (CES) sprawdzić czy funkcje pośredniej użyteczności i wydatków oraz funkcje popytu Marshalla i Hicksa posiadają wyżej sformułowane własności.

EFEKT DOCHODOWY I SUBSTYTUCYJNY

Interesuje nas zmiana popytu w zależności od zmiany poziomu cen.

Jeżeli cena jakiegoś dobra spada to dobro to staje się relatywnie tańsze w porównaniu z innymi dobrami (inne dobra są w stosunku do niego relatywnie droższe). Ponieważ wszystkie dobra są pożądane przez konsumenta to starał się on będzie w części zastąpić dobro relatywnie droższe dobrem relatywnie tańszym jest to tzw. efekt substytucyjny. Z drugiej strony przy spadku ceny na jakieś dobro siła nabywcza konsumenta rośnie (dochód realny jest większy, mimo że dochód nominalny nie uległ zmianie). Zwiększony dochód realny konsumenta pozwala mu na preferowaną zmianę jego zakupów (nawet w stosunku do wszystkich pozostałych dóbr). Ten skutek dotyczący wzrostu wielkości popytu spowodowany wzrostem dochodu realnego nazywamy efektem dochodowym (spadku ceny).

1

X^H

x₂

x₁

I₁

I₂

I₃

I₄

D

x₁

x₂

popyt Hicksa na 1. dobro przy cenie wyjściowej

popyt Hicksa na 1. dobro po zmianie ceny

u(x)=u^*

X^h₁(p⁰₁,p⁰₂,u)

X^h₁(p¹₁,p¹₂,u)

x₁

p₁

krzywa popytu Hicksa na 1. dobro w zależności od jego ceny

p⁰₁>p¹₁

p⁰₁

p¹₁

D

x*≡x^H

x₁

x₁

u(x*)=u*

I=e(p,u*)

---