• I ZADANIE WYBORU KONSUMENTA

Będziemy rozpatrywali konsumenta, które posiada zbiór konsumpcyjny
i relację preferencji

Jego ograniczenia wymuszają pewien zbiór dopuszczalny
. Zakładamy, że konsumentowi zależy na wyborze najbardziej preferowanego koszyka towarów w zbiorze B tzn. konsument poszukuje takiego koszyka
, który spełnia warunek:

.

Założenie 1. (dotyczące preferencji konsumenta)

Relacja
preferencji konsumenta jest:

• Zupełna

• Przechodnia

• Ciągła

• Ściśle monotoniczna

• Ściśle wypukła

Stąd natychmiast wnioskujemy, że odpowiadająca jej funkcja użyteczności u jest:

• Ciągła

• Ściśle rosnąca

• Ściśle quasi-wklęsła

Założenie 2. (dotyczące otoczenia rynkowego konsumenta)

Zakładamy, że konsument działa w gospodarce rynkowej, w której jest n towarów.

Cena jednostkowa i-tego towaru dla i=1,…,n jest równa
.

Zakładamy, że konsument jest cenobiorcą (nie ma wpływu na cenę). Założenie to oznacza również, że wektor cen
jest stały dla konsumenta. Model rynku zwany konkurencją doskonałą (czystą) charakteryzuje się przede wszystkim tym, że każdy podmiot tego rynku nie ma wpływu na cenę towarów oraz otoczenie rynkowe oddziałuje jednakowo na każdy podmiot.

Załażenie 3. (o zbiorze dopuszczalnym)

Zakładamy, że konsument jest wyposażony w ustalony dochód
stąd jego zbiór dopuszczalny

I zadanie wyboru konsumenta

polega na wyznaczeniu takiego koszyka
, który realizuje maksimum funkcji użyteczności u tzn.

Z uczynionego założenia o ścisłej monotoniczności relacji preferencji wnosimy, że optymalny koszyk
znajduje się zawsze na hiperpłaszczyźnie budżetowej konsumenta.

W przypadku dwuwymiarowym jest to krzywa ograniczenia budżetowego .

Rozwiązanie pierwszego zadania konsumenta zależy od wektora cen p i dochodu I tzn.

gdzie

Funkcję  nazywamy funkcją popytu konsumenta (w sensie Marshalla).

• Interpretacja graficzna popytu Marshalla dla n=2

Z matematycznego punktu widzenia I zadanie konsumenta jest zadaniem programowania nieliniowego (matematycznego) albo jeszcze inaczej jest to zadanie na ekstremum z ograniczeniami, do których rozwiązania stosuje się metodę mnożników Lagrange'a.

Warunki optymalności

Jeżeli dołożymy założenie różniczkowalności funkcji użyteczności konsumenta to

ostatecznie możemy zapisać (przy uczynionych wcześniej założeniach), że warunek konieczny i dostateczny dla jedynego rozwiązania pierwszego zadanie wyboru konsumenta jest postaci:

Uwaga

Z uczynionych założeń dla pierwszego zadania wyboru konsumenta wnosimy, że:

Związek ten oznacza, że dla optimum konsumenta krańcowa stopa substytucji (MRS) między dwoma dowolnymi towarami w tym koszyku jest równa relacji ich cen.

• WŁASNOŚCI FUNKCJI POPTYU

• Własność 1. (brak iluzji pieniądza)

Jeśli są spełnione założenia pierwszego zadania konsumenta, wówczas funkcja popytu
jest dodatnio jednorodna stopnia zerowego, to znaczy
.

Uwaga

1. Jednorodność oznacza, że funkcja popytu nie zależy od poziomu cen i dochodu, a tylko od ich struktury. Takim modelowym przykładem tej własności była w Polsce denominacja złotówki. Ceny i płace zostały obcięte o cztery zera. Własność ta wynika bezpośrednio z postawionego zadania konsumenta, gdyż ograniczenie
   , dla >0

2. Jednorodność stopnia zero pozwala wyeliminować aspekt pieniężny z funkcji popytu konsumenta, gdyż przyjmując
   

3. 
   

Stąd widać, że funkcja popytu zależy od
cen względnych i dochodu realnego.

• Własność 2.

Jeśli są spełnione założenia pierwszego zadania konsumenta wówczas funkcja popytu nie zależy od postaci funkcji użyteczności zgodnej z wyjściową relacją preferencji konsumenta.

• Własność 3.

Jeśli są spełnione założenia pierwszego zadania konsumenta wówczas funkcja popytu  jest ciągła (względem (p,I))

• Funkcja użyteczności pośredniej

Niech dane będzie pierwsze zadanie konsumenta, funkcję
nazywamy funkcją użyteczności pośredniej (funkcję u czasami nazywamy funkcją użyteczności bezpośredniej). Użyteczność pośrednia jest to maksymalna użyteczność jaka jest możliwa do osiągnięcia przez konsumenta przy danym wektorze cen p i danym dochodzie I.

• Własności fUnkcji użyteczności pośredniej.

Jeśli są spełnione założenia pierwszego zadania konsumenta wówczas:

1. Funkcja użyteczności pośredniej jest ciągła na wnętrzu
   .

2. Funkcja użyteczności pośredniej jest dodatnio jednorodna stopnia 0.

3. Funkcja użyteczności pośredniej jest ściśle rosnąca względem dochodu.

4. Funkcja użyteczności pośredniej jest funkcją malejącą względem cen.

5. (Tożsamość Roy'a) Jeżeli dodatkowo funkcja użyteczności pośredniej jest różniczkowalna i
   to wówczas popyt na i-te dobro można przedstawić wzorem:

dla i=1,2,…,n.

Uwaga

Wyrażenie
nazywamy krańcową użytecznością dochodu i w przybliżeniu informuje ona nas o ile wzrośnie użyteczność optymalnego koszyka, gdy dochód konsumenta wzrośnie o jedną jednostkę.

6. Jeśli są spełnione założenia poprzedniego twierdzenia, wówczas ma miejsce zależność:
   dla i=1,…,n. Związek ten oznacza, że krańcowa użyteczność dochodu jest równa krańcowej użyteczności jednostki pieniężnej przeznaczonej na zakup dowolnego towaru w koszyku optymalnym konsumenta (wyrażenie
   nosi nazwę krańcowej użyteczności jednostki pieniężnej przeznaczonej na zakup i-tego towaru).

• Def. (popyt krańcowy względem ceny i względem dochodu)

Niech dana będzie funkcja popytu na i-te dobro.
dla i=1,…,n.

Wyrażenie:

1. 
   dla i,j=1,…,n nazywamy popytem krańcowym na i-ty towar względem ceny j-tego towaru. Popyt krańcowy
   informuje nas (w przybliżeniu) o ile jednostek zmieni się popyt na i-ty towar gdy cena j-tego towaru zmieni się o jednostkę.

2. 
   dla i=1,…,n nazywamy popytem krańcowym na i-te dobro względem dochodu (interpretacja ekonomiczna analogiczna do poprzedniej).

1

x₁p₁+x₂p₂=I

• B

---