Wykład 20 z MB
10.3. Drgania wymuszone harmoniczne
10.3.1. Równanie ruchu
Zakładamy wymuszenie harmoniczne
P(t) = P0 sin¸ t , (41)
gdzie: ¸ - czÄ™stość wymuszenia, P0 - amplituda obciążenia. Równanie ruchu drgaÅ„ nietÅ‚u-
mionych przyjmuje postać:
&&
M Q (t) + K Q (t) = P(t) . (42)
Odpowiedz
układu liniowego będzie funkcją przemieszczeń:
Q(t) = Q0 sin¸ t , (43)
którą podstawiamy do stacjonarnego równania ruchu (42):
2
(-¸ DM + I)Q0 = DP0 . (44)
Wykonujemy dalsze przekształcenie równania (44).
1 1
ëÅ‚¸ 2M-1 M -¸ 2 DMöÅ‚Q0 - D P0 a" ëÅ‚
2
M-1 - DöÅ‚¸ M Q0 - D P0 = 0 ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ ¸ Å‚Å‚ íÅ‚¸ Å‚Å‚
które po przemnożeniu przez -1 piszemy równania ruchu w następującej postaci:
D*B0 + "0 = 0 , (45)
P
gdzie:
1
D* = D - M-1 - zmodyfikowana macierz podatności,
2
¸
&&
B0 = -M Q = ¸2M Q0 - amplituda wektora siÅ‚ bezwÅ‚adnoÅ›ci,
"0 = DP0 - wektor amplitud przemieszczeń układu dla ciążeniu P(t) .
P
Po obliczeniu sił bezwładności obliczamy całkowity wektor obciążeń
Pcała = G + B0 , (46)
które traktujemy jako obciążenia statyczne do obliczenia pól sił przekrojowych M (x) , Q (x)
analizowanego układu prętowego.
1
10.3.2. Przykład liczbowy
Przykład 11. Sporządzenie wykresów M (x) i Q(x) dla układu z Rys. 11, wywołanych
obciążeniami całkowitymi związanymi z wymuszeniem harmonicznym
Rys. 12
çÅ‚ Dane do obliczeÅ„:
m1 = 3.466 kNs2/m , m2 = 3.221kNs2/m ,
mw = Gw / g = 1.02, e = 0.001m - masa i mimośród awaryjny wirnika,
n = 850 min-1 ¸ = 2Ä„ n / 60 = 89.0s-1 - czÄ™stość wzbudzajÄ…ca, wymuszajÄ…ca drgania
układu
2
P0 = mw Å" e Å" ¸ = 1.02 x89.02 = 8.08kN - amplituda siÅ‚y wymuszajÄ…cej.
çÅ‚ Macierz podatnoÅ›ci ukÅ‚adu
Å‚Å‚
4.950 1 1 2.025 îÅ‚4.950 - EI
îÅ‚ Å‚Å‚
2.025
-
ïÅ‚ 2 śł
ïÅ‚ 2 śł
EI m1 EI 1
¸ m1
¸
ïÅ‚ śł
D*B0 + "0 = ïÅ‚ śł = =
P
2.025 3.495 1 1 EI
EI
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
- 2.025 2.495 -
2
ïÅ‚ śł
EI EI m2 ïÅ‚
¸ ¸2m2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
4.950
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 îÅ‚ - 0.750 2.025 4.200 2.025
1
= a"
ïÅ‚ ïÅ‚2.025 2.688śł = 0 .
EI 2.025 3.495 - 0.807śł EI
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Rozpatrujemy dwa przypadki wymuszenia dynamicznego
8.08 0
îÅ‚ Å‚Å‚
P0 =[P01, P0 2]= ,
ïÅ‚
0 8.08śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2
skąd wynika macierz przemieszczeń:
4.950 2.025 8.08 0 40.00 16.36
1 îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1
"0 =["01 "0p2]= D P0 = =
"
"
"
p p
ïÅ‚2.025 3.495śł ïÅ‚ ïÅ‚16.36 28.24śł .
EI 0 8.08śł EI
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
çÅ‚ Obliczanie siÅ‚ bezwÅ‚adnoÅ›ci
Równanie ruchu (45) mnożymy przez EI , skąd wynika równanie:
EI D"B = -EI D P0 ,
(47)
które daje liniowe równanie algebraiczne z dwoma prawymi stronami:
4.200 B1 + 2.025B2 = -40.00 M -16.36
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚2.025B + 2.688B2 = -16.36 M - 28.24śł .
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
Siły bezwładności, obliczone z powyższego układu rownań wynoszą:
1 2
îÅ‚B1 Å‚Å‚ îÅ‚B1 Å‚Å‚
îÅ‚-10.35kN 1.84 kN
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
B1 = = , B2 = = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚11.89 kN śł
1 2
1.71kN
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚B2ûÅ‚ ðÅ‚B2 ûÅ‚
Na Rys. 13 pokazano obciążenia ramy ciężarem wÅ‚asnym G2 = m2g = 3.221×9.81=
1 1
= 31.56 kN oraz siłami bezwładności B1 i B2 , a na Rys. 13b obciążenia wynoszą G2 , B12 i
2
B2 . Ponieważ w ramach obciążenia dynamicznego siły bezwładności mogą zmieniać
kierunki dziaÅ‚ania (powoduje to czÅ‚on czasowy sin¸ t) dlatego ma Rys. 13b zmieniono
kierunki działania sił bezwładności obliczone w (48)2. Korzystając z Rys 11c,d sporządzono
1 2
wykresy momentów zginających M (x) i M (x) odpowiadające działaniu sił pokazanych
na Rys. 13a i b.
a)
b)
Rys. 13
3
Jeśli przyjmiemy przypadki 1 i 2 (na Rys. 12 są to przypadki a) i b) wymuszeń
dynamicznych jako przypadki skrajne, to obwiednia momentów przyjmuje kształt pokazany
na Rys. 14.
Rys. 14
Na Rys. 14 wykres momentów od obciążenia statycznego, jakim jest ciężar G2 ,
oznaczono jako Mstat . Z wykresów M 1 i M 2, które uwzględniają działania sił bezwładności,
wynikają obwiednie dające wykres momentów MO.
10.4. Przybliżone obliczanie podstawowej częstości własnej
dla układu z masami skupionymi
10.4.1. Wzór Dunkerley a
Spośród wielu metod przybliżonych, por.[1], skupiamy uwagę na wzorze Dunkerley a.
Wychodzimy ze standardowego problemu własnego (18a), dla którego warunek konieczny
istnienia rozwiązania nietrywialnego przyjmuje postać:
det(DM -  I)= 0 . (48)
Otrzymujemy równanie algebraiczne, nazywane równaniem wiekowym o postaci (7) które
możemy przekształcić do postaci:
n
ëÅ‚ öÅ‚
n - ìÅ‚ ´ii ÷Å‚n-1 + K = 0 , (49)
"mi
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
gdzie mnożnik przy n-1 jest tzw. pierwszym niezmiennikiem I1 macierzy D M , który jest
równy sumie wartości pierwiastków i równania (34)
n n
I1 a" i = mi ´ii , (50)
" "
i=1 i=1
gdzie:
4
1
i = dla i = 1, 2, & , n  pierwiastki równania wiekowego (49),
Éi2
´ii - przemieszczenie punktu przyÅ‚ożenia masy mi od siÅ‚y Pi = 1 .
Z równania (50) otrzymujemy zależność
1 + 2 + K + n = mi ´11 + m2 ´ + K + mn ´ . (51)
22 n
Pierwiastki i sÄ… dodatnie i na ogół dla uporzÄ…dkowania É1 d" É2 d" K d" Én mamy:
1 >> i dla i = 2, & , n . (52)
Jeśli w (51) pominiemy pierwiastki i dla i e" 2 to otrzymujemy nierówność
i < m1´11 + m2´22 + L + mn´nn , (53)
która daje oszacowanie od doÅ‚u wartoÅ›ci czÄ™stoÅ›ci podstawowej (najmniejsza wartość Éi ),
nazywane wzorem Dunkerley a:
1
D
É1 = < É1 . (54)
m1´11 + m2 ´22 +K+ mn ´nn
Jeśli potrafimy dobrze przewidzieć postacie drgań własnych celem obliczenia
przemieszczeÅ„ ´ii (ich kolejność nie odgrywa roli), to wzór Dunkerley a pozwala oszacować
podstawową częstość własną od dołu bez rozwiązywania równania wiekowego,
10.4.2. Przykłady
Przykład 12. Belka, pokazana na Rys.15, była rozpatrywana w Przykładzie 9.
EI = const.
m = µ × L / 5
16 L3
´11 = ´ =
44
1875 EI
16 L3
´22 = ´33 =
1875 EI
Rys. 15
Ze wzoru Dunkerley a wynika:
5
1 EI EI
D
É1 = Å" = 4.24
16 36 L3 mL3
öÅ‚
2mëÅ‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚1875 1875 Å‚Å‚
W przykładzie 9 obliczono
EI
D
É1 = 4.41 H" 1.04É1 ,
mL3
D
a wiÄ™c bÅ‚Ä…d oszacowania (54) wynosi okoÅ‚o 4 %, t.zn. É1 czÄ™stość jest niższa o 4% w
stosunku do dokÅ‚adniej obliczanej czÄ™stoÅ›ci podstawowej É1 .
Przykład 13, Wzięty z podręcznika B. Olszowskiego i M. Radwańskiej, [2], T.2, str. 265-268.
Rys. 16
Przemieszczenia od sił jednostkowych i masy skupione wynoszą:
1 L3 4 L3 1 L3
´11 = , ´22 = , ´12 = ,
3 EI 3 EI 2 EI
m1 = 3m , m2 = m .
Częstości obliczone jak dla układu o masach skupionych
EI EI
É1 = 0.699 , É2 = 1.874 .
mL3 mL3
Wzór Dunkerley a daje wartość częstosci
1 1 EI EI
D
É1 = = 0.655 H" 0.937 ×É1 ,
m1´11 + m2´22 1 4 L3 mL3
3m + m
3 3
a wiÄ™c bÅ‚Ä…d wynosi okoÅ‚o (0.937É1 -É1) /É1 ×100% = 6.3% .
6
10.5. Uwagi o drganiach ustrojów o masach rozłożonych
na przykładzie belki wolnopodpartej
10.5.1. Równanie ruchu pręta o masie rozłożonej
Na Rys. 17a pokazano linie przemieszczeń osi pręta, a na Rys.17b obciążenia statyczne
działające na element o długości dx.
Rys. 17
Warunki równowagi elementu osi:
"N
=
"x -N + fx dx + N + dN = 0 = - fx ,
"x
"Q
=
" -Q + f dy + Q + dQ = 0 = - f , (55)
y y y
"x
"M
M = M + Qdx - M - dM =0 = Q .
A
"x
gdzie obciążenia składają się z sił działających dynamicznie z uwzględnieniem sił bezwład-
ności
2
" u(x,t)
fx (x,t)= px (x,t)- µ ,
" t2
(56)
2
" v(x,t)
f (x,t)= py (x,t)- µ .
y
"t2
Na podstawie związków znanych z wytrzymałości materiałów oraz przyjmując EA =
const., EI = const. otrzymujemy:
îÅ‚ Å‚Å‚
"u N "2u fx(x,t) 1 "2u
= = - = - ïÅ‚ śł
px(x,t)- µ ,
" x EA
" x2 EA EA ðÅ‚ "t2 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
f (x,t) îÅ‚ Å‚Å‚
"2v M "4v 1 "2v
y
= - = = py(x,t)- µ .
ïÅ‚ śł
" x2 EI " x4 EI EA ðÅ‚ "t2 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
7
skąd wynikają następujące równania ruchu pręta o masie rozłożonej:
"2u "2u
- EA + µ = px(x,t),
" x2 " t2
(57)
"4v "2v
EI + µ = py(x,t).
" x2 " t2
10.5.2. Drgania własne belki przegubowo podpartej
10.5.2.1. Podłużne drgania własne
Przyjmując zerowanie się obciążenia px (x, t) = 0, równanie ruchu podłużnych drgań
własnych otrzymujemy z (57)1 jako następujące jednorodne równanie różniczkowe:
"2u "2u
- EA + µ = 0 . (58)
" x2 " t2
To równanie piszemy za pomocą zależności harmonicznej dla przemieszczenia podłużnego w
postaci harmonicznej
u(x,t) = U(x)sinÉnt. (59)
Po podstawieniu (59) do (60) otrzymujemy:
-(EAU ''+µ Én2 U)sinÉnt = 0 ,
skÄ…d dla dowolnego czasu t otrzymujemy
2
U ''+ Á U = 0 , (60)
n
gdzie:
2
µ Én
2
Á = . (61)
n
EA
Równanie (60) jest stacjonarnym (niezależnym od czasu) równaniem drgań własnych,
którego rozwiązaniem jest funkcja
U(x)= Acos Án x + B sin Án x. (62)
Zajmijmy się prętem dwustronnie zamocowanym, Rys. 18. Przyjmujemy dwa warunki
brzegowe:
U(0) = 0, U(L) = 0, (63)
skąd dla rozwiązania (62) wynikają zależności
8
A = 0, B sin Án L = 0 . (64)
Z drugiej zależności (64) dla B `" 0 otrzymujemy
nĄ
sin Án L = 0 Án = dla n = 1, 2,3, K
L
i wracajÄ…c do definicji (61) dla Án otrzymujemy
EA
u
Én = Án ,
µ
a więc wzór na częstości podłużne drgań własnych ma postać
nĄ EA
u
Én = (65)
L µ
Na Rys. 18 pokazano pary własne dla drgań podłużnych.
Rys. 18
10.5.2.2. Poprzeczne drgania własne
Drgania poprzeczne opisuje funkcja:
v
vn (x,t) = V(x) sinÉnt , (66)
którą podstawiamy do jednorodnego równania (57)2 przyjmując obciążenie py (x,t) a" 0.
W ten sposób dochodzimy do równania dla obliczania funkcji V(x):
9
4
IV v
V -Ã V = 0 , (67)
n
gdzie:
2
µ (Év )
4 n
v
à = . (68)
n
EI
Całką równania (67) jest funkcja
V(x)= Acosà x + B sinà x + C chà x + D shà x, (69)
n n n n
gdzie posłużono się funkcjami hiperbolicznymi
1 1
shÄ… = (eÄ… - e-Ä…), chÄ… = (eÄ… + e-Ä…) . (70)
2 2
Jeśli przyjmiemy warunki brzegowe przegubowego podparcia
" "
V(0) = V(L) = 0, V (0) = V (L) = 0, (71)
to korzystając z zależności (68) dochodzimy do wartości stałych
A = C = D = 0 , B sinà L = 0. (72)
n
i dla B `" 0 otrzymujemy
nĄ
sinà L = 0 à = dla n =1, 2, K . (73)
n n
L
Wracamy do zależności (68) i stąd otrzymujemy wzór na częstości poprzeczne drgań
własnych:
2
nĄ EI
ëÅ‚ öÅ‚
v
Én = dla n = 1, 2,K (74)
ìÅ‚ ÷Å‚
L µ
íÅ‚ Å‚Å‚
Liczby naturalne n = 1, 2,K określają liczbę półfal sinusoid, które są funkcjami (posta-
ciami) drgań własnych:
nĄx
Vn (x) = Bsin . (75)
L
Pary własne porządkujemy według wzrostu wartości n :
v v v
(É1 , V1(x)), (É2, V2(x)), L (ÉN , VN (x)), (76)
majÄ… wykresy jak na Rys. 18 z zamianÄ… u v i UnVn .
10
Istotnym stwierdzeniem jest, że w przypadku masy rozłożonej ustrój ma nieskończoną
liczbÄ™ SS, tj. LSUU " dla n " .
10.5.2.3. Widmo czÄ™stoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych dla µ = const.
µ
µ
µ
u v
A
Ä…cznie czÄ™stoÅ›ci Én i Én tworzÄ… widmo drgaÅ„ wÅ‚asnych. Na Rys. 19 pokazano widmo
częstości dla belki o przekroju dwuteowym I300 o charakterystykach przekroju poprzeczne-
go: A = 6.9 × 10-3 m2, I = 9.8 × 10-5 m4, dÅ‚ugoÅ›ci L = 4.0 m ciężarze µ = 54.4 kg/m = 54.4
Ns2/m2 . PrzyjÄ™to, że belka jest wykonana ze stali o module Younga E = 2.1 × 1011 N/ m2.
Dla przyjętych danych obliczono:
u u u
(É1 ,É1 ,É1 , L) = (4053,8106,12160,L) s-1 ,
v v v
(É1 ,É1 ,É1 , L) = (379,1517,6064,L) s-1 .
u v
Na Rys. 19 pokazano widmo czÄ™stoÅ›ci Å‚Ä…cznie dla Én i Én .
Rys. 19
Częstości obliczone dla rozłożonej (ciągłej) masy mogą służyć szacowaniu błędów
powodowanych przez skupienie mas lub też stosowanie metod przybliżonych. W Tabl. 1
zestawiono częstości obliczone za pomocą dwóch modeli, tj. 1) model ze skupionymi
masami, gdzie n = 1, 2 , 3, 4 jest liczbą stopni swobody, a n+1 liczbą równych podziałów
belki stalowej o przekroju I300, 2) model kontynualny (masa rozÅ‚ożona o ciężarze [µ] =
kg/m).
Dla belki I 300 o µ = 54.4 kg/m i L = 4.0 m obliczono wartoÅ›ci parametru Ä… stosowa-
nego w Przykładzie 9:
EI (n +1)EI n +1 EI n +1 2.1× 9.8×106
Ä… = = = = = 38.442 n +1 . (77)
16.0 54.4
mL3 µL4 L2 µ
Korzystając ze wzoru (75) obliczamy wartości częstości drgań własnych poprzecz-
nych belki o masie rozłożonej:
2
nĄ EI
ëÅ‚ öÅ‚
v 2
Én kont = =379.4n dla n = 1,2,K (78)
ìÅ‚ ÷Å‚
L µ
íÅ‚ Å‚Å‚
W Tabl. 1 zestawiono wyniki dla n skupionych mas i obliczono błędy w odniesieniu do
równomiernie rozłożonej masy belki:
11
v v
Én -Én rozl
B[%] = 100% . (80)
v
Én rozl
Tablica 1. Częstości drgań własnych i ich błędy B
dla belki wolno podpartej przy skupianiu mas i dla masy rozłożonej
Liczba mas v
CzÄ™stoÅ›ci Én [Hz] i ich bÅ‚Ä™dy B[%]
rozłożonych
v v v v
n É1 É2 É3 É4
1 282.4
çÅ‚ çÅ‚ çÅ‚
25,5%
2 379.0 1466
çÅ‚ çÅ‚
0.1% 3.4%
3 379.0 1506 3197
çÅ‚
0.1% 0.8% 6.0%
379.1 1514
3310 5 518
4 0.1% 0.2% 3.1% 9.1%
Częstości n-te
379.4 1518 3415 6071
dla masy rozłoż.
12