MB, Wykład 4 i 5
5. Podstawowe wiadomości o układach liniowych (UL)
5.1. Główne założenia i pojęcia
W układzie liniowym (UL) obowiązuje zasada superpozycji. Zilustrujemy ją na
przykładzie obciążeń.
W układach mechanicznych podstawowym typem działań są obciążenia oznaczone przez
P, a odpowiedziami sÄ… przemieszczenia ". SÄ… one wzajemnie przyporzÄ…dkowane (sÄ… parÄ…
"
dualnÄ…), tzn. ich iloczyn P ma wymiar pracy
"
[P][ ]= Nm . (21)
Zasada superpozycji jest podstawowym atrybutem UL. Piszemy ją w postaci dwóch
działań, jakimi są: 1) efekt równoczesnego działania kilku obciążeń jest równy sumie
działania każdego z obciążeń oddzielnie, 2) zachodzi proporcjonalność do ustalonego
parametru k
" " " "n "

1) ( + K + Pn)= (P1)+ (P2 )+ K + (Pn ) = Pi (22.1)
P1 + P
"
2
i=1
" "
2) (k Pi ) = k Pi (22.2)
i i
Główne założenia UL:
A) Materiał jest liniowo sprężysty (obowiązuje prawo Hooke`a);
B) Układ jest geometrycznie niezmienny;
C) Więzy są idealne (beztarciowe), a ich liczba i położenie zapewniają geometryczną
niezmienność układu;
D) Obowiązuje zasada zesztywnienia i zgodność przemieszczeń. Wynikają stąd liniowe
równanie równowagi i liniowe równia geometryczne (kinematyczne).
5.2. Uogólniona siła i uogólnione przemieszczenia
Celem otrzymania ogólnych opisów zjawisk towarzyszących obciążeniu i deformacji
konstrukcji posługujemy się wielkościami uogólnionymi (wielkościami u).
"
U. siła i u. przemieszczenie P i są definiowane tak aby ich iloczyn dawał pracę L
"
P Å" = L (23)
gdzie: [L]= Nm
Przykłady, Rys.1:
1) siła skupiona
"
P = F, = u oraz wymiar iloczynu L: [F] [u]= Nm ,
2) moment skupiony
P = M, " = Õ oraz wymiar iloczynu L: [M] [Õ]= Nm Å" 1 = Nm ,
3) Obciążenie rozłożone
13
P = p(x), " - powierzchnia pola ugięć wynikająca z całki (3.1) tak, że iloczyn (3)
"
"
"
"
daje [p] [ ]= N/mÅ" m2= Nm .
Ogólniej obliczamy pracę za pomocą całki
x2
L = p v dx (3.1)
+"
x1
Rys. 15
5.3. Praca obciążeń przykładanych statycznie
Obciążenie jest przykładane  statycznie ( w skrócie obciążenie statyczne), tzn. że jego
wartość wzrasta tak wolno (prędkości i przyśpieszenia są małe), że możemy pomijać siły
bezwładności (d`Alemberta) lub energii kinetycznych.
Praca u. sił zewnętrznych jest definiowana wzorem, por. też Rys. 16
r
r
dL = P(s)dr (s)
Rys. 16
r
W podanym wzorze dr jest wektorem chwilowej prędkości, stycznym do trajektorii
ruchu, parametryzowanej zmiennÄ… s.
Praca u. sił zewnętrznych (obciążenia i r
reakcje) UL równoważnego z modelem układu
r
konstrukcyjnego wynika z kolinearności P i dr oraz proporcjonalności wzrostu u.
przemieszczenia względem obciążenia:
r
r
dLz = P(s) dr = P(v) dv = k v dv,
gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności w zależności P(v) = k v . Całkowita praca
wynosi:
" "
1 1 1
Lz = P(v) dv = k v dv = k = (k")" = P(")Å" ".
+" +" "2
2 2 2
0 0
14
Interpretacją geometryczną całkowitej pracy jest pole powierzchni trójkąta OAB na
płaszczyz
nie (v, P), Rys. 17a:
Rys.17
Praca u.siły na odpowiadającym jej u przemieszczeniu odpowiada statycznemu przyło-
żeniu obciążeń i wyraża się wzorem
1
Lz = P " (24)
2
Korzystając z zasady superpozycji równoczesne działanie n u.sił skupionych i obciążenia
ciągłego wyraża się wzorem (rys. 17b):
n
1 1
Lz = Pi"i + q(x)Å""(x)dx (24.1)
"
+"
2 2
i=1
(l)
5.4. Praca sił przekrojowych
Podczas działania obciążeń w UK powstają siły wewnętrzne przeciwdziałające
odkształcaniu się ustroju konstrukcyjnego i zapewniające jego spójności. W UP powstają
pola sił przekrojowych
N(x), Q(x), M (x).
W trakcie statycznego przykładania obciążenia zachodzi podstawowa zależność
Lz = Lw , (25)
w której Lw jest pracą sił przekrojowych (wewnętrznych).
Elementarna praca siły podłużnej wyraża się wzorem
2
1 1 Ndx N
dLN = N " = N = dx, (26)
w
2 2 EA 2EA
gdzie EA jest przekrojową sztywnością pręta na rozciąganie, a " przyrostem długości osi o
elementarnej długości dx (rys. 18a). Całkowitą pracę pola sił podłużnych dla pręta o długości
l obliczamy za pomocą całki:
15
2 2
N (x) N
LN = dx = dx . (26.1)
+" +"
w
2EA 2EA
(l) (l)
Rys.18
Elementarna praca momentu zginającego jest określana wzorem:
2
1 1 1 ds 1 Mds M
dLM = M " = M dÕ = M = M = ds (27)
w
2 2 2 Á 2 EI 2EI
gdzie: " = dÕ = ds/Á i 1/Á = M/EI .Dla prÄ™ta o dÅ‚ugoÅ›ci l otrzymujemy:
2
M
LN = dx. (27.1)
+"
w
2EI
(l)
Elementarna praca siły poprzecznej jest obliczana ze wzoru wyprowadzanego na
wykÅ‚adzie z wytrzymaÅ‚oÅ›ci materiałów (dla PUP piszemy Ä = Ä , Å‚ = Å‚ )
xy xy
Q(x) Sz ( y) Q S( y)
dQ = Ä dA = dA a" dA
Izb( y) I b(y)
i stÄ…d dla dQ = Ä dA, " = (Ä /G) dx otrzymujemy
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 Ä 1 Ä 1 Q S(y)
3
d LQ = dQÅ"" = (Ä dA) Å"ëÅ‚ dxöÅ‚ = dAdx = ìÅ‚ ÷Å‚ dA dx .
ìÅ‚ ÷Å‚
w
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 G 2 G 2G I b( y)
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczamy elementarną pracę siły poprzecznej:
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 Q2 S( y) 1 A S (y) º Q2
dLQ = ìÅ‚ ÷Å‚ dAdx = Q2 2 +"+" dAdx = dx . (28)
+"+"
w
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2G b(y) 2GA 2GA
I I b2(y)
( A)íÅ‚ Å‚Å‚ (A)
Całkowita praca siły poprzecznej Q(x) dla pojedynczego pręta wynosi:
º Q2
LQ = dx . (28.1)
+"
w
2GA
(l)
16
We wzorach (8) występuje współczynnik kształtu przekroju poprzecznego
2
A S
º = dA . (29)
+"+"
2
I b2
( A)
W tablicy zestawiono wartoÅ›ci współczynnika º dla różnych ksztaÅ‚tów przekroju poprzecz-
nego
Współczynnik
kształtu
ð I
Ë%
kształt
6 32 A
= 1.2 = 1.18 H"
º
5 17 As
gdzie: A - całkowita powierzchnia pola przekroju, As - powierzchnia środnika
A
ączna praca sił przekrojowych w PUP wynosi:
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
M º Q2 N
ìÅ‚
Lw = LM + LQ + LN = (30)
"
+" +"
w w w
ìÅ‚(+") 2EI dx + (l) 2GA dx + (l) 2EA dx÷Å‚ .
÷Å‚
l
l
íÅ‚ Å‚Å‚
We wzorze (30) sumowanie oznacza, że należy obliczyć pracę sił wewnętrznych dla każdego
pręta i dodać.
5. Energia sprężysta PUP
Praca sił wewnętrznych jest równa energii sprężystej U odkształcenia, i jest
gromadzona w UK podczas jego deformacji. Podczas odciążenia dzięki tej energii ustrój
powraca do stanu początkowego. Energia U jest równa pracy sił przekrojowych Lw i w stanie
równowagi jest równa pracy sił zewnętrznych
U a" Lw = Lz . (31)
Ze wzoru (10) wynika, że energia sprężysta jest zawsze nieujemna (wynosi 0 dla
ustroju nieobciążonego i dodatnia dla obciążonego). Ze wzoru (11) korzystamy przy
obliczeniu przemieszczeÅ„. Ilustruje to prosty przykÅ‚ad obliczania kÄ…ta obrotu Õ0 wspornika
obciążonego momentem skupionym M , por. Rys. 19.
0
Rys. 19
l 2 l 2
2
M (x) 1 M M l
0 0
U = dx =
+" +"dx = 2EI
2EI 2 EI
0 0
17
1
Lz = M Õ0
0
2
1 M0l M l
0
Lz = U M0Õ = Õ =
2 2EI EI
6. Podstawowe twierdzenia UL
6.1. Twierdzenie o wzajemności prac wirtualnych
Rozważamy dwa stany obciążenia I i II ustroju liniowego (sprężystego) znajdujące się
w stanie równowagi, por. Rys.6.
Rys. 20
Dwuindeksowe oznaczenie przemieszczeń "ij jest dalej używane, gdzie:
1) pierwszy indeks i oznacza punkt i kierunek rozpatrywanego przemieszczenia,
2) drugi indeks j oznacza przyczynę powstałego przemieszczenia (siła Pj).
Następny stan III odpowiada łączeniu działania sił P1 i P2, przy czym w stanie IIIa
najpierw działa statycznie przyłożona siła P1, a następnie siła P2. W stanie IIIb najpierw
działa P2, a potem P1. Dla tych stanów obliczamy pracę sił zewnętrznych, korzystając z
zasady superpozycji:
1 1
LIIIa = L11 + L22 + L12 = P1 "11 + P2 "22 + P1 "12,
2 2
1 1
LIIIb = L22 + L11 + L21 = P2 "22 + P1 "11 + P2 "21.
2 2
Stany końcowe są identyczne stąd otrzymujemy:
LIIIa = LIIIb .
Wynika stÄ…d zasada
L11 = L21 = P1 "12 = P2 "21 (32)
18
którą sformułujemy po wprowadzeniu definicji pracy wirtualnej.
Przemieszczenie wirtualne jest dowolnym ale: 1) zgodne z więzami i 2) niezależne od
obciążeń i przemieszczeń uogólnionych. Jest to uogólnione przemieszczenie współliniowe z
prędkością chwilową (możliwą), por. Rys. 21.
Rys. 21
Przemieszczenie wirtualne może być wywołane różnymi przyczynami np. wpływ
temperatury, osiadanie podpór itd.
Praca wirtualna jest wywołana przez działanie uogólnionej siły (układów sił) na
przemieszczeniu wirtualnym. Oznaczamy jÄ… literÄ… W lub ´ L . Na Rys. 22 pokazano różnicÄ™
między pracą L wywołaną przez statycznie przykładana uogólnioną siłę na zależnych od niej,
proporcjonalnie rosnącym uogólnionym przemieszczeniu v o końcowej wartości " . W
1
definicji L występuje mnożnik , którego nie ma w definicji W = P " , wyrażają pole
2
powierzchni na Rys. 22:
Rys. 22
Zasada wzajemności pracy wirtualnej nazywana też zasadą Bettiego (1872) może być
wysłowiona w następujacy sposób:
Praca wirtualna pierwszego układu sił na przemieszczeniach wirtualnych drugiego
układu sił jest równa pracy wirtualnej drugiego układu sił na przemieszczeniach
wirtualnych pierwszego układu sił
W12 = W21 tj. P1 "12 = P2 "21 , (33)
gdzie: "12 i "21 sÄ… przemieszczeniami wirtualnymi.
6.2. Zasada wzajemności przemieszczeń
Zgodnie z zasadą superpozycji i-te uogólnione.przemieszczenie wynikające z działania
n uogólnionychsił wynosi
19
n
"i = " + "i2 +K+ "in = ´i1 P1 + ´i2 P2 +K+ ´in Pn = ´ij Pj , (34)
"
i1
j =1
gdzie ´ij jest uogólnionym przemieszczeniem wywoÅ‚anym przez jednostkowÄ… siÅ‚Ä™ Pj = 1, a
więc możemy napisać
"ij = ´ij Pj , (35)
gdzie pierwszy indeks i wiążemy ze skutkiem, a 2-gi indeks j jest połączony z przyczyną. Na
Rys. 23 siła Pj jest przyczyną powodującą przemieszczenie "ij w punkcie i po kierunku i .
Całkowite przemieszczenie jest rzutowane na ten kierunek. Jeśli uogólniona siła ma wartość
1, tj. Pj = 1 to uogólnione przemieszczenie jest ´ij . OczywiÅ›cie uogólnione przemieszczenie
´ij może mieć inny charakter niż siÅ‚a Pj .
Rys. 23
Korzystając z (33) zasadę wzajemności prac wirtualnych możemy napisać w postaci
"12
"21
68
7
}
P1 ´12 P2 = P2 ´ P1 ,
21
a po podzieleniu przez P1P2 mamy
´12 = ´ .
21
Tą nierówność możemy napisać w postaci ogólniejszej:
´ij = ´ . (36)
ji
Która stanowi treść twierdzenia, które w literaturze jest znane pod nazwą
Zasada wzajemności przemieszczeń (Maxwell, 1864):
Uogólnione przemieszczeniu ´ij wywoÅ‚ane siÅ‚Ä… Pj = 1, odpowiadajÄ…ce sile Pi
dziaÅ‚ajÄ…cej w punkcie i po kierunku i jest równe przemieszczeniu ´ , a wiÄ™c jest
ji
wywołane siłą Pi = 1 i występuje w miejscu działania siły Pj po kierunku j .
Twierdzenie ze względu na jego wagę i powszechność stosowania zostało nazwane zasadą.
Jeszcze raz ilustrujemy tę zasadę na przykładzie belki prostej na Rys. 24.
20
Rys. 24
Ponieważ zajmujemy się wielkościami fizycznymi (mechanicznymi) to należy określić
ich wymiary. Z zależności
"i = "ij = ´ij Pj ,
wynika wzór
["i] wymiar i - tego uogólnionego przemieszczenia
[´ij]= = (37)
[Pj] wymiar j - tej uogólnionej siłi
Sprawdzimy ten wzór na przykładzie belki z Rys. 24.
m 1
[Pj]= N m, ["i]= m [´ij]= =
Nm N
1
[Pi]= N, [" ]= 1 [´ ]=
j ji
N
6.3. Zasada wzajemności reakcji
Rozważamy układ, w którym na skutek wymuszonego przemieszczenia " wystąpią
j
reakcje więzów Ri :
Ri = Ri1 + Ri2 + K + Rin = ri1 "1 + ri2 "2 + K + rin "n . (38)
Podobnie jak w przypadku przemieszczeń zachodzi związek
Rij = rij " , (39)
j
gdzie rij jest uogólnioną reakcją i-tego więzu wywołaną jednostkowym uogólnionym
przemieszczeniem " = 1.
"
"
"
j
W dalszym ciągu będziemy pisali reakcje Rij tak jak przemieszczenie "ij , to znaczy 1-
szy indeks wiążemy ze skutkiem, 2-gi z przyczyną. Na Rys. 25 pokazano przykład ramy z
wymuszonym przemieszczeniem " (poziome przemieszczenie rygla) i uogólnionymi
j
reakcjami wywołanymi tym przemieszczeniem.
a) b)
21
Rys. 25
Wymiar reakcji rij wynika ze wzoru (39)
[Ri ], N N m
[rij]= dla Rys. 25b [r1 j]= , [r5 j]= = N (40)
[" ] m m
j
Teraz rozpatrzymy dwa stany układu pokazanego na Rys. 26.
Rys. 26
W stanie I przemieszczamy punkt przyłożenia więzu i-tego i występujące reakcje od "i
oznaczono jako Rii oraz R . W stanie II reakcje Rij i R są wywołane przemieszczeniem
ji jj
" . Korzystamy z zasady wzajemności prac wirtualnych i przyjmując przemieszczenia
j
wirtualne ze stanu II dla sił działających w stanie I przyrównujemy do pracy wirtualnej sił
stanu II na przemieszczeniach wirtualnych stanu I:
Rii Å" 0 + Rji Å" " = R Å" 0 + Rij Å" "i .
144244 14 3
3j jj 4244
WI,II WII ,I
StÄ…d wynika:
R " = Rij"i
ji j
a po podstawieniu (39)
22
(rji Å" "i)Å" " = (rij " )Å" "i
j j
dochodzimy do wzajemności reakcji
rij = rji. (41)
Zasada wzajemności reakcji Rayleigha (1873):
Uogólniona reakcja rij w punkcie i-tym wywołana j-tym jednostkowym przemiesz-
czeniem " = 1, jest równa reakcji rji w punkcie j-tym od przemieszczenia "i = 1.
" "
" "
" "
j
6.4. Zasada wzajemności przemieszczeń i reakcji
Rozpatrzmy dwa stany układu pokazanego na Rys. 27
Rys.27
,
W stanie I siła Pi = 1 wywołuje reakcje rij , a w stanie II przemieszczenie " = 1 powoduje
"
"
"
j
,
przemieszczenie ´ . A
ączne działanie obydwu stanów daje:
ji
, ,
Pi ´ij + rji " = 0 ,
j
skąd wynika dla Pi = 1 i " = 1 zasada wzajemności reakcji i przemieszczeń
j
' '
´ij = - rji . (42)
,
Należy zwrócić uwagÄ™ na celowe użycie  prim , gdyż ´ij odpowiada sile Pi lecz jest
,
wywołane przemieszczeniem " = 1 (a nie siłą Pj = 1,!). Tak samo rji jest reakcją nie od
j
przemieszczenia "i = 1 lecz od siły Pj = 1.
' '
Wymiary wielkoÅ›ci ´ij i rji okreÅ›lamy zależnoÅ›ciami
[Pj] .
["i], ,
,
[´ij]= [rji]= (43)
[" ] [Pi]
j
23
W przykładzie na Rys. 12 będzie
m N m
, ,
[´ij]= = m, [rji]= = m .
1 N
24