MACIERZE I
WYZNACZNIKI
Macierz kwadratowa drugiego stopnia
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
d
c
b
a
A
bc
ad
d
c
b
a
−
=
=
A
1-szy wiersz
2-gi wiersz
1-sza
kolumna
2-ga
kolumna
Wyznacznik macierzy A
14
6
20
2
)
3
(
)
4
(
5
4
2
3
5
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
Macierz kwadratowa trzeciego stopnia
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
a
ij
-
wyraz macierzy znajdujący się
w i-tym wierszu i j-tej kolumnie
Reguła Sarrusa
)
(
21
12
33
11
32
23
31
22
13
23
12
31
13
32
21
33
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
−
+
+
=
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
Wyznacznik macierzy stopnia trzeciego - przykład
4
3
3
8
1
3
2
3
5
A
−
−
−
−
−
=
3 2
7 8
1 1 0
3 6
1 2 0
6
7 2
1 8
2 0
3
3
4
5
3
8
3
1
2
8
3
3
2
3
3
4
1
5
−
=
−
−
−
=
=
+
−
−
−
−
−
=
=
−
−
+
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
=
)
(
)
(
)]
)(
(
)
(
)
)(
[(
)
(
)
)(
)(
(
)
(
8
1
3
2
3
5
−
−
−
−
Macierz kwadratowa stopnia n
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
.
...
.
.
...
...
A
1
1
2
22
21
1
12
11
Minor wyznacznika
Wykreślmy z wyznacznika IAI macierzy stopnia n
wszystkie wyrazy należące do i-go wiersza i j-tej
kolumny. Pozostałe wyrazy utworzą wyznacznik stopnia
n
-1, który nazywany jest minorem
lub
podwyznacznikiem wyznacznika IAI odpowiadającym
wyrazowi a
ij
.
Oznaczamy go symbolem M
ij
.
Przykłady minorów macierzy stopnia trzeciego
32
31
12
11
3
2
M
a
a
a
a
=
33
31
23
21
12
M
a
a
a
a
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
Dopełnienie algebraiczne wyrazu a
ij
ij
j
i
ij
M
)
1
(
A
+
−
=
Wyznacznik stopnia n
Przez wyznacznik stopnia n (n
≥
2) rozumiemy
sumę iloczynów wyrazów dowolnego wiersza
(kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne.
Dopełnieniem algebraicznym A
ij
wyrazu a
ij
macierzy A nazywamy wyrażenie postaci:
Wyznacznik macierzy czwartego stopnia - przykład
2
5
0
4
0
2
6
3
3
4
0
2
2
1
3
5
W
−
−
−
−
=
=
+
+
+
=
42
32
22
12
A
0
A
6
A
0
A
3
=
−
+
−
=
+
+
32
2
3
12
2
1
M
)
1
(
6
M
)
1
(
3
=
−
−
−
−
+
−
−
−
−
=
2
5
4
3
4
2
2
1
5
)
1
(
6
2
5
4
0
2
3
3
4
2
)
1
(
3
5
3
231
198
33
)
4
75
32
12
20
40
(
6
)
24
24
45
8
(
3
=
+
=
=
−
+
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
=
Właściwości wyznaczników
Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika
na miejsce kolumn i odwrotnie, bez zmiany ich
porządku, nie zmienia wartości wyznacznika.
Jeżeli wyznacznik ma dwa wiersze (kolumny)
identyczne, to jego wartość wynosi zero.
Jeżeli wyznacznik ma jakieś wiersze (kolumny)
złożone z samych zer, to jego wartość wynosi
zero.
Wyznacznik nie zmieni swojej wartości, jeżeli
do wyrazów jednego wiersza (kolumny)
dodamy odpowiadające mu wyrazy innego
wiersza (kolumny), pomnożone przez pewną
stałą.
cb
ad
d
b
c
a
d
c
b
a
−
=
=
0
=
b
a
b
a
0
0
0
=
b
a
d
d
c
b
b
a
b
d
a
c
b
a
d
c
b
a
β
β
α
α
+
+
=
+
+
=
Obliczanie wyznaczników - przykład
4
3
-
6
2
-
5
1
2
-
2
-
3
4
2
-
3
4
6
-
9
-
12
7
-
3
-
6
7
4
5
-
1
-
2
3
W
=
(-3)
2
+
+
4
3
-
6
2
-
5
1
2
-
2
-
3
4
0
1
-
0
0
1
-
0
8
0
0
2
-
4
5
-
1
-
2
3
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MACIERZE I WYZNACZNIKI z przykl Nieznany
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
Macierze i wyznaczniki, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Matematyka, semestr 2
1 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
11 Macierze i wyznaczniki
ZAdania z matematyki, MACIERZE I WYZNACZNIKI-2010, MACIERZE I WYZNACZNIKI - ZADANIA
C 01 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki zadania
Macierze teoria przyklady zadan Nieznany
Mieloszyk E Macierze, wyznaczniki i układy równań
Macierze i wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, wyklad Nieznany
Inf macierze wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, lista zadań
6-MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH, MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
więcej podobnych podstron