B.Kamys: Statystyka medyczna 2011/12, zadania

5

Zadania na ćwiczenia w dniu 16.11.11

1.

Dwuwymiarowa zmienna losowa (x, y) ma jednostajny rozkład w kole o centrum w
punkcie (0, 0) i promieniu R:

f (x, y) =











1/(πR

2

)

dla

p

x

2

+ y

2

≤ R

0

dla

p

x

2

+ y

2

> R

(a)

Znaleźć rozkłady brzegowe f

b

(x) i f

b

(y).

(b)

Znaleźć rozkłady warunkowe f

w

(x|y) i f

w

(y|x). Korzystając z ich znajomości

oraz znajomości rozkładów brzegowych stwierdzić czy zmienne są niezależne
statystycznie.

(c)

Sprawdzić, czy zmienne x i y są nieskorelowane.

(d)

Znaleźć funkcję gęstości prawdopodobieństwa g(r, ϕ) dwuwymiarowej zmien-
nej (r, ϕ) związanej ze zmienną (x, y) wzorami:

(

x = rcos(ϕ)
y = rsin(ϕ)

(e)

Znaleźć rozkłady brzegowe f

b

(r) i f

b

(ϕ).

(f)

Znaleźć rozkłady warunkowe f

w

(r) i f

w

(ϕ) i stwierdzić, czy zmienne r i ϕ są

niezależne statystycznie.

Kraków, 13.11.2011

(prof. dr hab. B. Kamys)