B.Kamys: Statystyka medyczna 2011/12, zadania
5
Zadania na ćwiczenia w dniu 16.11.11
1.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (x, y) ma jednostajny rozkład w kole o centrum w
punkcie (0, 0) i promieniu R:
f (x, y) =
1/(πR
2
)
dla
p
x
2
+ y
2
≤ R
0
dla
p
x
2
+ y
2
> R
(a)
Znaleźć rozkłady brzegowe f
b
(x) i f
b
(y).
(b)
Znaleźć rozkłady warunkowe f
w
(x|y) i f
w
(y|x). Korzystając z ich znajomości
oraz znajomości rozkładów brzegowych stwierdzić czy zmienne są niezależne
statystycznie.
(c)
Sprawdzić, czy zmienne x i y są nieskorelowane.
(d)
Znaleźć funkcję gęstości prawdopodobieństwa g(r, ϕ) dwuwymiarowej zmien-
nej (r, ϕ) związanej ze zmienną (x, y) wzorami:
(
x = rcos(ϕ)
y = rsin(ϕ)
(e)
Znaleźć rozkłady brzegowe f
b
(r) i f
b
(ϕ).
(f)
Znaleźć rozkłady warunkowe f
w
(r) i f
w
(ϕ) i stwierdzić, czy zmienne r i ϕ są
niezależne statystycznie.
Kraków, 13.11.2011
(prof. dr hab. B. Kamys)