B.Kamys: Statystyka medyczna 2011/12, zadania 3

Zadania na ćwiczenia w dniu 26.10.11

1. Czas życia promieniotwórczych j¸ader atomowych ma wykładnicz¸a funkcj¸e g¸estości prawdopodobieństwa:

·

¸

t

f ( t) = C · exp −

dla t ≥ 0

τ

gdzie C jest stał¸a normalizacyjn¸a a τ parametrem. Prosz¸e znaleźć: (a) stał¸a normalizacyjn¸a C

(b) średni czas życia j¸ader promieniotwórczych E( t) (c) median¸e czasu życia (połówkowy czas zaniku t 1 / 2).

2. Dyskretna zmienna losowa k przyjmująca wartości 0 , 1 , 2 ..., N , która ma interpre-tację liczby pozytywnie zakończonych doświadczeń w serii N niezależnych, iden-tycznych doświadczeń, ma rozkład prawdopodobieństwa P ( k) zwany rozkładem Bernoulliego:

N !

P ( k) =

pk (1 − p) N−k

k!( N − k)!

gdzie parametr p ma znaczenie stałego prawdopodobieństwa zakończenia z pozyty-wnym wynikiem pojedynczego doświadczenia. Proszę znaleźć wartość oczekiwaną E( k) i wariancję σ 2( k).

3. Korzystając z definicji funkcji gamma Eulera (patrz zestaw zadań z poprzedniego ty-godnia) znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej chi-kwadrat o n stop-niach swobody. Zwykle tę nieujemną zmienną oznacza się przez symbol χ 2 ale n

we wzorze poniżej na funkcję gęstości prawdopodobieństwa f ( x) użyte jest dla tej zmiennej oznaczenie x:

xn/ 2 − 1 exp[ −x/ 2]

f ( x) =

dla x ≥ 0

Γ( n/ 2) · 2 n/ 2

Kraków, 22.10.2011

(prof. dr hab. B. Kamys)