Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
Przykład
Oszacujmy parametry strukturalne modelu ekonometrycznego popytu na nowe
samochody segmentu B:
yt = ą1x1t + ą2x2t + ą0 + �t
gdzie:
yt popyt na nowe samochody segmentu B w tys. szt.,
x1t dochody ludności na osobę w setkach zł,
x2t średnia cena nowego samochodu segmentu B w tys. zł.
Odpowiednie dane prezentuje poniższa tablica.
yt x1t x2t
3 2 5
4 2 3
9 5 1
5 3 3
8 4 2
3 3 6
5 3 3
4 2 2
2 2 5
8 4 2
6 4 2
9 5 2
Do szacowania parametrów strukturalnych wykorzystamy estymator:
a = (XTX)-1XTy
Macierze obserwacji zmiennych objaśniających, zmiennej endogenicznej oraz macierz
XT są równe:
2 5 1 3
Ą# ń# Ą# ń#
ó#2 3 1Ą# ó#4Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
5 1 1 9
ó#3 3 1Ą# ó#5Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#4 2 1Ą# ó#8Ą#
2 2 5 3 4 3 3 2 2 4 4 5
ó# Ą# ó# Ą# Ą# ń#
ó#3 6 1Ą# y = ó#3Ą# ó#5
X = XT = 3 1 3 2 6 3 2 5 2 2 2Ą#
ó#3 3 1Ą# ó#5Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
Ł#1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Ś#
ó#2 2 1Ą# ó#4Ą#
ó#2 5 1Ą# ó#2Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#4 2 1Ą# ó#8Ą#
ó#4 2 1Ą# ó#6Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#5 2 1Ą# ó#9Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
1
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
Można wykazać, że iloczyn macierzy XTX i XTy wynosi:
2
Ą# ń# Ą# ń#
x2 y
"x1 "x1 "x1 "x1
ó# Ą# ó#
2
XTX = XT y = yĄ#
"x2 "x2 "x2
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
n
"y
Ł# Ś# Ł# Ś#
2
yt x1t x2t
x1x2 x1y x2y
x1 x2
2
3 2 5 4 25 10 6 15
4 2 3 4 9 6 8 12
9 5 1 25 1 5 45 9
5 3 3 9 9 9 15 15
8 4 2 16 4 8 32 16
3 3 6 9 36 18 9 18
5 3 3 9 9 9 15 15
4 2 2 4 4 4 8 8
2 2 5 4 25 10 4 10
8 4 2 16 4 8 32 16
6 4 2 16 4 8 24 12
9 5 2 25 4 10 45 18
66 39 36 141 134 105 243 164
141 105 39 243
Ą# ń# Ą# ń#
ó#105 ó#164Ą#
XTX = 134 36Ą# XTy =
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
39 36 12Ś# 66
Ł# Ł# Ś#
Wyznacznik macierzy XTX obliczony metodą Sarrusa wyniósł: 2718.
312 144 -1446
Ą# ń#
1
ó# Ą#
(XTX)-1 = 144 171 - 981
ó# Ą#
2718
ó#-1446 - 981 7869
Ą#
Ł# Ś#
w związku z tym wektor a wyniósł:
312 144 -1446 243
Ą# ń# Ą# ń#
1
ó# Ą# ó#164Ą#
a = 144 171 - 981 �" ,
ó# Ą# ó# Ą#
2718
ó#-1446 - 981 7869 66
Ą# ó# Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
2
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
3996 1,470
Ą# ń# Ą# ń#
1
ó# Ą# ó#
a = =
ó#-1710Ą# ó#- 0,629Ą#
Ą#
2718
ó# Ą# ó# Ą#
7092 2,609
Ł# Ś# Ł# Ś#
W związku z tym postać modelu jest następująca:
yt= 1,470 x1t  0,629 x2t + 2,609 +ut
Interpretacja parametrów:
Jeżeli dochód ludności zwiększy się o sto złotych na osobę (o jednostkę) to sprzedaż
samochodów zwiększy się 1, 470 tys. szt. (1 470 sztuk), przy założeniu, że jego cena nie
ulegnie zmianie. Jeżeli średnia cena nowego samochodu wzrośnie o tysiąc złotych to sprzedaż
samochodów zmniejszy się 0,629 tys. szt. (629 sztuki), przy założeniu, że dochody ludności
nie ulegną zmianie.
Parametry struktury stochastycznej  przykład 2
Wyliczanie reszt modelu (ut)
w
1= 1,470 x1 1  0,629 x2 1 + 2,609= 1,470�"2  0,629�"5 + 2,609= 2,404
u1 = y1 - w
1=3 2,404= 0,596
w
2 = 1,470 x1 2  0,629 x2 2 + 2,609= 1,470�"2  0,629�"3 + 2,609= 3,662
u2 = y2 - w
2 =4 3,662= 0,338
w
3 = 1,470 x1 3  0,629 x2 3 + 2,609= 1,470�"5  0,629�"1 + 2,609= 9,330
u3 = y3 - w
3 =9 9,330=  0,330
yt x1t x2t
y2 w
t u2
t t
ut
3 2 5
9 2,404 0,60 0,36
4 2 3
16 3,662 0,34 0,12
9 5 1
81 9,330 -0,33 0,11
5 3 3
25 5,132 -0,13 0,02
8 4 2
64 7,231 0,77 0,59
3 3 6
9 3,245 -0,25 0,06
5 3 3
25 5,132 -0,13 0,02
4 2 2
16 4,291 -0,29 0,08
2 2 5
4 2,404 -0,40 0,16
8 4 2
64 7,231 0,77 0,59
6 4 2
36 7,231 -1,23 1,51
9 5 2
81 8,701 0,30 0,09
430 0,02 3,71
Wariancja resztowa:
3
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
n
1 1
2
S2 = = 3,710 = 0,412
u "ut
n - k 12 - 3
t=1
lub ze wzoru macierzowego
Ą# 3996 ń#
Ą# ń#
1 1 1
ó#430 -[243 164 66]�" Ą#
ó# Ą#
S2 = [yTy - yTXa]=
u
ó# Ą#
ó#-1710Ą#
n - k 12 - 3 2718
ó#
ó# Ą#Ś#
7092
Ł# Ś#Ą#
Ł#
2
yTy = oraz yTX = (XTy)T .
"y
1 1
S2 = [430 - 426,291]= �"3,709 = 0,412
u
9 9
Odchylenie resztowe:
Su = S2 = 0,412 = 0,642
u
Średnio rzecz biorąc wartości empiryczne (rzeczywiste) sprzedaży samochodów
odchylają się od wartości teoretycznych wyliczonych na podstawie modelu +/ 0,642 tys. szt.
Współczynnik zmienności przypadkowej:
Su 0,642
Vu = �"100% = �"100% = 11,67%
y 5,5
y = 5,5
Odchylenie resztowe stanowi 11,67% średniego poziomu sprzedaży samochodów. Jest to
więcej niż 10% (powszechnie stosowane).
Współczynnik zbieżności:
n
2
"u
i
3,709
i=1
�2 = = = 0,055
2 2
n
(66)
�# ś#
430 -
ś# ź#
"yi
n
12
2 �# i=1 #
-
"yi
n
i=1
5,5% zmian zmiennej endogenicznej (sprzedaży samochodów) nie można wyjaśnić zmianami
zmiennych egzogenicznych (dochodów i ceny).
Współczynnik determinacji
4
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
R2= 1 �2 = 1 0,055= 0,945
94,5% wariancji zmiennej endogenicznej (sprzedaży samochodów) można wyjaśnić
zmianami zmiennych egzogenicznych (dochodów i ceny).
Skorygowany współczynnik determinacji
~ n -1 12 -1
R2 =1- (1- R2 ) =1- (1- 0,945) = 0,932
n - k 12 - 3
Błędy szacunku parametrów (macierz wariancji i kowariancji estymatorów parametrów)
D2 (a) = S2 (XTX)-1
u
D(a ) = D2 (a )
j j
Ą# 312 144 -1446ń#
1
ó# Ą#
D2 (a) = 0,412�" 144 171 - 981
ó# Ą#
2718
ó#-1446 - 981 7869 Ą#
Ł# Ś#
1
D2 (a1) = 0,412 312 = 0,047
2718
D(a1) = 0,047 = 0,217
1
D2 (a2 ) = 0,412 171 = 0,026
2718
D(a2 ) = 0,026 = 0,161
1
D2 (a0 ) = 0,412 7869 =1,193
2718
D(a0) = 1,193 =1,092
yt= 1,470 x1t  0,629 x2t + 2,609 +ut
(0,217) (0,161) (1,092)
Gdybyśmy wielokrotnie szacowali nasz model, ale zawsze na podstawie 12 elementowej
próby to, w przypadku pierwszego parametru, mylilibyśmy się średnio +/- 0,217, w
przypadku drugiego parametru  +/- 0,161 i w przypadku wyrazu wolnego  +/- 1,092.
5
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
Estymator przedziałowy parametrów strukturalnych  przykład 3
Przedział ufności dla pierwszego parametru:
t0,05;9= 2,262
P{1,470 - 2,262 �"0,217 < ą1 < 1,470 + 2,262 �"0,217}= 1- 0,05
P{0,979 < ą1 < 1,961}= 0,95
Z 95% prawdopodobieństwem przedział o końcach (0,979; 1,961) pokryje nieznaną,
szacowaną wartość parametru ą1.
Przykład 4
Zbadaj czy dochody ludności i średnia cena nowego samochodu istotnie kształtują
popyt na samochody?
Sprawdz
istotność parametrów stojących przy zmiennych x1 i x2 (ą1 i ą2).
H0: ą1=0
H1: ą1`"0
a1 - ą1 1,470 - 0
t1 = = = 6,774 ,
D(a1) 0,217
t0,05; 12-3 =2,262
|6,774|>2,262
Hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, co oznacza, że parametr ą1
statystycznie różni się od zera. Można zatem wnioskować, że dochody ludności istotnie
wpływają na poziom sprzedaży samochodów.
H0: ą2=0
H1: ą2`"0
6
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
a2 - ą2 - 0,629 - 0
t2 = = = -3,907 ,
D(a2 ) 0,161
t0,05; 12-3 =2,262
| 3,907|>2,262
Hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, co oznacza, że parametr ą2
statystycznie różni się od zera. Można zatem wnioskować, że średnia cena nowego
samochodu istotnie wpływa na poziom ich sprzedaży.
H0: ą2=0
H1: ą2<0
a2 - ą2 - 0,629 - 0
t2 = = = -3,907 ,
D(a2 ) 0,161
t2�"0,05; 12-3 = t0,1; 9 =1,833
| 3,907|>1,833
Hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, co oznacza, że parametr ą2 jest
statystycznie mniejszy od zera. Można zatem wnioskować, że średnia cena nowego
samochodu ma istotny ujemny wpływ na poziom ich sprzedaży.
Przykład 5
Sprawdz
, czy model dostatecznie opisuje sprzedaż samochodów?
H0: Rw=0
H1: Rw>0
R2 n - k 0,945 12 - 3
F = �" = �" = 77,318
1- R2 k -1 1- 0,945 3-1
F0,05; 2;9 = 4,26
7
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
77,318>4,26
Hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej, co oznacza, że wartość
współczynnika korelacji wielorakiej statystycznie różni się od zera lub też przynajmniej jeden
z parametrów strukturalnych jest statystycznie istotny.
Analiza własności reszt
Przykład 6
Zbadaj czy występuje autokorelacja składnika losowego w modelu sprzedaży samochodów.
yt= 1,470 x1t  0,629 x2t + 2,609 +ut
w
t u2
t
yt ut ut-1 (ut  ut-1)2 ut ut-1
3 2,40 0,60     0,36  
4 3,66 0,34 0,60 0,07 0,11 0,20
9 9,33 -0,33 0,34 0,45 0,11 -0,11
5 5,13 -0,13 -0,33 0,04 0,02 0,04
8 7,23 0,77 -0,13 0,81 0,59 -0,10
3 3,25 -0,25 0,77 1,03 0,06 -0,19
5 5,13 -0,13 -0,25 0,01 0,02 0,03
4 4,29 -0,29 -0,13 0,03 0,08 0,04
2 2,40 -0,40 -0,29 0,01 0,16 0,12
8 7,23 0,77 -0,40 1,37 0,59 -0,31
6 7,23 -1,23 0,77 4,00 1,52 -0,95
9 8,70 0,30 -1,23 2,34 0,09 -0,37
10,17 3,71 -1,60
H0: �1 = 0
H1: �1 < 0
n
- ut-1)2
"(ut
10,17
t=2
d = = = 2,741,
n
3,71
2
"ut
t=1
Ponieważ d>2 to hipoteza alternatywna przyjmuje postać �1<0 (jeśli wystąpi
autokorelacja będzie ona ujemna) i liczymy d2 ze wzoru:
d2 = 4  d=4 2,741=1,259
n=12 i K=2 (liczba zmiennych objaśniających)
dL = 0,812 dU = 1,579
(tablice dla n<15 w Kukuła s. 58)
8
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
Ponieważ
0,812 < 1,259 < 1,579
dL < d2 < dU to nie można podjąć decyzji czy autokorelacja jest istotna czy też nie.
Oszacujmy estymator r1 ze wzoru:
n
�" ut-1)
"(ut
-1,60
t=2
r1 = = = -0,431
n
3,71
2
"ut
t=1
Przykład 7
Próbę statystyczną podzielono na n1 = 5 i n2 = 5
yt x1t x2t
3 2 5
4 2 3
9 5 1
5 3 3
8 4 2
3 3 6
5 3 3
4 2 2
2 2 5
8 4 2
6 4 2
9 5 2
Dla obu podprób oszacowano modele
n1  yt= 1,441 x1t  0,500 x2t + 2,588 +ut S2 = 0,338
u1
n2  yt= 1,631 x1t  0,632 x2t + 1,895 +ut S2 =1,053
u 2
2
H0: �1 = �2 ,
2
9
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
2
H1: �1 < �2 ,
2
S2 1,053
u 2
F = = = 3,115
S2 0,338
u1
F0,05; 5-3, 5-3= F0,05; 2, 2=19,0
3,115< 19,0
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli wariancję w obu podpróbach (n1 i n2)
są równe.
Przykład 8
H0: �t losowy,
H1: �t nielosowy,
u 0,60 0,34 -0,33 -0,13 0,77 -0,25 -0,13 -0,29 -0,40 0,77 -1,23 0,30
Symbol a a b b a b b b b a b a
n1=5 n2=7
ke= 7
k = k0,025 = 3
0,05
2
k = k0,975 =10
0,05
1-
2
Ponieważ k1 < ke < k2 3<7<10 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej głoszącej, że
rozkład reszt jest losowy.
Przykład 9
H0: składnik losowy modelu ma rozkład normalny
H1 : składnik losowy modelu nie ma rozkładu normalnego.
u u2 u3 u4
0,60 0,36 0,22 0,13
10
Ekonometria  BOND Stacjonarne 15h
0,34 0,12 0,04 0,01
-0,33 0,11 -0,04 0,01
-0,13 0,02 0,00 0,00
0,77 0,59 0,46 0,35
-0,25 0,06 -0,02 0,00
-0,13 0,02 0,00 0,00
-0,29 0,08 -0,02 0,01
-0,40 0,16 -0,06 0,03
0,77 0,59 0,46 0,35
-1,23 1,51 -1,86 2,29
0,30 0,09 0,03 0,01
3,71 -0,79 3,19
n
1 1
2
S = = �"3,71 = 0,556
"ut
n 12
t=1
Następnie obliczamy
2
2 2
n n
�# ś#
1 u3 ź# �# 1 ś# �# 1 ś#
3
t
ś#
B1 = = ś# ź# = ś# �"(-0,79) = 0,147
ź#
" "ut
ś#
n S3 ź# �# nS3 t=1 # �#12�"0,5563
t=1 #
�# #
n n
1 u4 1 1
4
t
B2 = = = �"3,19 = 2,782
" "ut
n S4 nS4 t=1 12�"0,5564
t=1
ostatecznie otrzymujemy
�# ś# �# ś#
B1 (B2 - 3)2 0,147 (2,782 - 3)2
ś# ź# ś#
JB = nś# + =12�"ś# + ź# = 0,318
ź# ź#
6 24 6 24
�# # �# #
Ponieważ JB< 5,991 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej głoszącej, o
normalności rozkładu składnika losowego.
11