SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13

Ekstrema globalne funkcji

Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x 0 ∈ D minimum globalne wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀( x ∈ D)

f ( x) ­ f ( x 0) .

Wartość f ( x 0) nazywamy wartością najmniejszą funkcji f na D

Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x 0 ∈ D maksimum globalne wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀( x ∈ D)

f ( x) ¬ f ( x 0) .

Wartość f ( x 0) nazywamy wartością największą funkcji f na D

Uwaga: Jeżeli istnieje maksimum globalne, to odpowiadająca mu wartość największa jest tylko jedna, natomiast moża być kilka punktów x ∈ D , w których funkcja osiąga tę wartość.

Twierdzenie: Jeżeli x 0 ∈ D jest ekstremum globalnym funkcji f : D → R to jest też ekstremum lokalnym tej funkcji.

Przykład 1: Znaleźć ekstrema globalne f ( x) = x 2 , x ∈< − 1 , 2 > Funkcja f jest ciągła, dziedzina D = < − 1 , 2 > jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc istnieją oba ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna we wnętrzu D. Jeżeli ekstremum jest we wnętrzu D, to ponieważ jest jednocześnie ekstremum lokalnym musi spełniać warunek konieczny f 0( x) = 0.

f 0( x) = 2 x = 0

x 1 = 0

Brzeg składa się z dwóch punktów: x 2 = − 1, x 3 = 2.

Obliczamy:

f ( x 1) = 0

f ( x 2) = 1

f ( x 3) = 4

Najmniejsza z tych wartości 0 jest w punkcie x 1 = 0 - jest to minimum globalne.

Największa z tych wartości 4 jest w punkcie x 3 = 4 - jest to maksimum globalne.

1

Przykład 2: Znaleźć ekstrema globalne f ( x) = x +

na D = < 1 , 3)

x

2

Funkcja f jest ciągła, ale dziedzina D nie jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc nie muszą istnieć ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna na D. Obliczamy 1

f 0( x) = 1 − x 2

Badamy znak f 0

f 0( x) > 0

1

1 −

> 0

x 2

x > 1

f jest malejąca na < 1 , 1 > i rosnąca na < 1 , 3) 2

Obliczamy wartości (granice):

5

f ( 1 ) =

2

2

f (1) = 2

lim f ( x) = 10

3

x→ 3 −

Szkicujemy wykres funkcji.

Wnioski:

1

Istnieje minimum globalne w punkcie x = 1 , o wartości f (1) = 2.

Nie istnieje maksimum globalne.

Uwaga 1: Jeżeli f jest ciągła to obrazem przedziału jest przedział. W tym przykładzie f ( < 1 , 3)) = < 2 , 10 ) 2

3

Uwaga 2: Jeżeli f nie ma wartości największej to nie znaczy, że może osiągać dowolnie duże wartości. W naszym przykładzie wartości funkcji mogą być dowolnie blisko wartości 10 ) , ale 3

zawsze są mniejsze.

Kresem górnym funkcji nazywamy kres górny zbioru wartości funkcji:

sup f ( x) = sup f ( D)

x∈D

Analogicznie definiuje się kres dolny: inf f ( x)

x∈D

W tym przykładzie:

sup f ( x) = 10

3

x∈D

inf f ( x) = 2

x∈D

Uwaga: Jeżeli f : D → R to ekstrema lokalne (a więc i globalne) mogą (ale nie muszą) być tylko w punktach:

1. x ∈ int D , f 0( x) = 0

2. x ∈ int D , pochodna f 0( x) nie istnieje 3. x ∈ ∂D - punkty brzegowe

Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji określonej na skończonej sumie przedziałów, ciągłej na każdym z tych przedziałów i różniczkowalnej z wyjątkiem być może skończonej liczby punktów, wystarczy obliczyć:

• wartości (lub granice) na końcach przedziałów,

• wartości w punktach stacjonarnych: f 0( x) = 0 ,

• wartości w punktach nieróżniczkowalności f .

Wartość największa z tej listy jest maksimum globalnym jeśli jest osiągana w punkcie x ∈ D.

Jeżeli wartość największa z tej listy jest granicą funkcji na końcu przedziału, to maksimum globalne nie istnieje, ale wartość ta jest kresem górnym funkcji. Podobnie jest z minimum globalnym.

Zastosowanie w mechanice: Niech dany będzie układ mechaniczny o jednym stopniu swobody w którym działają tylko siły potencjalne. Niech E( x) będzie funkcją energii poten-cjalnej układu, a x zmienną związaną ze stopniem swobody, opisującą stan układu. Wtedy punkty stacjonarne funkcji E( x) są punktami równowagi układu, minima lokalne są punktami równowagi trwałej, a maksima lokalne są punktami równowagi chwiejnej.

Wypukłość funkcji

Wypukłość dla figur geometrycznych na płaszczyźnie i brył w przestrzeni jest zdefiniowana następująco:

Figura (bryła) F jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów A, B ∈

F odcinek AB ⊂ F . Tej definicji wypukłości nie można bezpośrednio wykorzystać do zdefiniowania wypukłości funkcji.

2

Definicja: f : D → R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {( x, y) : x ∈ D, y ­ f ( x) }

jest wypukły.

Definicja: f : D → R jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {( x, y) : x ∈ D, y ¬ f ( x) }

jest wypukły.

Uwaga: Jeżeli f : D → R jest wypukła lub wklęsła to dziedziną tej funkcji musi być przedział.

Twierdzenie: Funkcja f : ( a, b) → R jest wypukła ⇐⇒ ( ∀x 1 , x 2 ∈ ( a, b) , t ∈< 0 , 1 > ) f ( x 1 + t( x 2 − x 1)) ¬ f ( x 1) + t( f ( x 2) − f ( x 1)) Twierdzenie to oznacza, że część wykresu funkcji wypukłej wycięta dowolną prostą sieczną leży pod tą prostą.

Twierdzenie: Funkcja f : ( a, b) → R jest wklęsła ⇐⇒ ∀x 1 , x 2 ∈ ( a, b) , t ∈ (0 , 1) f ( x 1 +

t( x 2 − x 1)) ­ f ( x 1) + t( f ( x 2) − f ( x 1)) Twierdzenie: Funkcja różniczkowalna f : ( a, b) → R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży nad każdą prostą styczną do wykresu. Funkcja jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży pod każdą prostą styczną do wykresu.

Definicja: Niech f : D → R będzie funkcją ciągłą . Punkt x ∈ D nazywamy punktem przegięcia funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. ( ∃ > 0)( x − , x + ) ⊂ D

2. f jest wypukła na przedziale ( x − , 0) oraz wklęsła na przedziale (0 , x + ) lub f jest wklęsła na przedziale ( x − , 0) oraz wypukła na przedziale (0 , x + ) Twierdzenie Niech f : ( a, b) → R będzie dwukrotnie różniczkowalna.

Funkcja f jest wypukła na ( a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x ∈ ( a, b) f 00( x) ­ 0 .

Funkcja jest wklęsła na ( a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x ∈ ( a, b) f 00( x) ¬ 0 .

Przykład: Zbadać przedziały wypukłości, wklęsłości oraz znaleźć punkty przegięcia funkcji: f ( x) = x 3 − 3 x

Dziedzina D = ( −∞, ∞)

f 0( x) = 3 x 2 − 3 , D0 = ( −∞, ∞) f 00( x) = 6 x , D00 = ( −∞, ∞)

Rozwiązujemy nierówność:

f 00( x) > 0

6 x > 0

x > 0

Analogicznie:

f 00( x) < 0 ⇐⇒ x < 0

Stąd:

f jest wypukła na przedziale < 0 , ∞)

f jest wklęsła na przedziale ( −∞, 0 >

f ma punkt przegięcia w x = 0

Twierdzenie: Jeżeli f : D → R jest wypukła to dla dowolnych punktów x 1 , x 2 , . . . xn ∈ D

oraz dowolnych dodatnich liczb p 1 , p 2 , . . . pn takich, że p 1 + p 2 + . . . pn = 1 zachodzi: f ( p 1 x 1 + p 2 x 2 + . . . pnxn) ¬ p 1 f ( x 1) + p 2 f ( x 2) + . . . pnf ( xn)

Dowód: Ustawione w kolejności rosnącej xi punkty Wi = xi, f ( xi) są wierzchołkami wielokąta wypukłego. Jeżeli w wierzchołkach tych umieścimy masy pi to środek ciężkości układu tych punktów będzie leżał wewnątrz wielokąta, a więc nad wykresem funkcji. Współrzędne środka ciężkości:

Sx = p 1 x 1 + p 2 x 2 + . . . pnxn 3

Sy = p 1 f ( x 1) + p 2 f ( x 2) + . . . pnf ( xn) Środek ciężkości będzie leżał nad wykresem funkcji: f ( Sx) ¬ Sy Uwaga: Podobne twierdzenie zachodzi dla funkcji wklęsłych.

Przykład: Pokazać, że dla x 1 , x 2 , . . . xn > 0 zachodzi:

√

x 1 + x 2 + . . . xn

n x 1 · x 2 · . . . xn ¬

n

Uwaga: Lewa strona nierówności nazywa się średnią geometryczną, a prawa średnią aryt-metyczną.

Funkcja f ( x) = ln x jest wklęsła na całej dziedzinie D = (0 , ∞) ponieważ:

1 0

1

f 00( x) =

= −

< 0

x

x 2

Wobec tego dla pi = 1 mamy:

n

ln( 1 x

x

x

ln( x

ln( x

ln( x

n

1 + 1

n

2 + . . . 1

n

n) ­ 1

n

1) + 1

n

2) + . . . 1

n

n)

Czyli:

x 1 + x 2 + . . . xn

√

­ n x 1 · x 2 · . . . xn

n

Asymptoty funkcji

Asymptotą wykresu funkcji nazywamy prostą l taką, że punkty pewnej gałęzi wykresu funkcji Px( x, f ( x)) zliżają się do tej prostej i jednocześnie oddalają się nieskończenie daleko od początku układu współrzędnych:

lim d( Px, l) = 0

x→a+

lim d( Px, O) = ∞

x→a+

gdzie a może być skończone, + ∞, −∞ , a granica może być też lewostronna. d oznacza odległość, a O(0 , 0) początek układu współrzędnych.

Jeżeli a ∈ R to asymptotę nazywamy pionową. Jeżeli a = + ∞ lub −∞ to asymptotę nazywamy ukośną. Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma: współczynnik kierunkowy asymptoty jest równy zero.

Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę pionową lewostronną x = a , a ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy lim f ( x) = ±∞

x→a−

Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę pionową prawostronną x = a , a ∈ R

wtedy i tylko wtedy, gdy lim f ( x) = ±∞

x→a+

Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę ukośną y = ax + b w + ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy:

f ( x)

a = lim

x→∞

x

b = lim ( f ( x) − ax)

x→∞

Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę ukośną y = ax + b w −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy:

f ( x)

a = lim

x→−∞

x

b = lim ( f ( x) − ax)

x→−∞

Przebieg zmienności funkcji

Aby zbadać przebieg zmienności funkcji f ( x) badamy następujące elementy: 4

1. Dziedzina

2. Ciągłość, parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe

3. Granice lub wartości funkcji

(a) Na każdym końcu przedziału

(b) W każdym punkcie nieciągłości

4. Asymptoty

(a) Pionowe

(b) Ukośne w ±∞

5. Pochodna f 0( x)

(a) Dziedzina

(b) Znak

(c) Przedziały monotoniczności

(d) Ekstrema lokalne

6. Druga pochodna f 00( x)

(a) Dziedzina

(b) Znak

(c) Przedziały wypukłości i wklęsłości

(d) Punkty przegięcia

7. Tabela i wykres

ln x 2

Przykład: Zbadać przebieg zmienności funkcji f ( x) =

x

Rozwiązanie:

Dziedzina funkcji: D = ( −∞, 0) ∪ (0 , ∞)

Funkcja jest ciągła na całej dziedzinie.

Dziedzina jest symetryczna, badamy parzystość f :

ln( −x)2

ln x 2

f ( −x) =

= −

= −f ( x)

−x

x

Funkcja jest nieparzysta.

Wystarczy więc ją zbadać na zbiorze D 1 = (0 , ∞). Na przedziale ( −∞, 0) wykres będzie symetryczny.

Miejsca zerowe: f ( x) = 0 dla x = 1

Obliczamy granice:

ln x 2

−∞

lim f ( x) = lim

=

= −∞

x→ 0+

x→ 0+

x

0+

ln x 2

2 x

[ ∞ ]

2

lim f ( x) = lim

= ∞ lim x 2 = lim

= 0

x→∞

x→∞

x

[ H] x→∞ 1

x→∞ x

Asymptoty:

Z obliczonych wcześniej granic wynika, że funkcja ma asymptotę pionową x = 0 i poziomą y = 0 w + ∞.

Badamy pierwszą pochodną:

5

2 x x − ln x 2

2 − ln x 2

f 0( x) = x 2

=

x 2

x 2

D0 = (0 , ∞)

Rozwiązujemy nierówność f 0( x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni: 2 − ln x 2 > 0

2 − 2 ln x > 0

ln x < 1

x < e

Wniosek: Funkcja f ( x) jest rosnąca na przedziale (0 , e > , malejąca na przedziale < e, ∞), ma więc w x = e maksimum lokalne. Jest to jedyne ekstremum na D 1.

Badamy drugą pochodną:

− 2 x x 2 − (2 − ln x 2)2 x

− 6 + 2 ln x 2

f 00( x) =

x 2

=

x 4

x 3

D0 = (0 , ∞)

Rozwiązujemy nierówność f 00( x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni:

− 6 + 2 ln x 2 > 0

− 6 + 4 ln x > 0

ln x > 32

3

x > e 2

3

3

Wniosek: Funkcja f ( x) jest wklęsła na przedziale (0 , e 2 ), wypukła na przedziale ( e 2 , ∞), ma 3

więc w x = e 2 punkt przegięcia.

Tabela:

3

x

0+

...

e

...

e 2

...

∞

f 0( x)

+

0

−

− 1

−

e 3

f 00( x)

−

−

−

0

+

f ( x)

−∞

%

2

&

3 e− 3 e

&

0

e

Wykres: zaznaczamy punkty charakterystyczne z tabeli, rysujemy asymptoty, rysujemy wykres na D 1, a następnie symetryczny na zbiorze ( −∞, 0)

6