SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 8, 2013-12-06
Twierdzenie: Niech dana będzie funkcja f : ( a, b) → R różniczkowalna na ( a, b) taka, że f 0( x) = 0 ∀x ∈ ( a, b). Wtedy funkcja f jest stała: f ( x) = C , ∀x ∈ ( a, b) .
Uwaga 1: Twierdzenie odwrotne jest oczywiste: ( C0 = 0).
Uwaga 2: Twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego przedziału. W końcach przedziału wy-starczy założyć ciągłość. Jeżeli dziedzina nie jest przedziałem twierdzenie nie jest prawdziwe.
Na przykład funkcja o dziedzinie D = ( − 1 , 0) ∪ (0 , 1) zdefiniowana: (
1
dla x ∈ (0 , 1)
f ( x) =
− 1 dla x ∈ ( − 1 , 0)
Ma w każdym punkcie dziedziny pochodną równą zero, a nie jest to funkcja stała.
π
Przykład: Pokazać, że: arc sin x + arc cos x = 2
Niech f ( x) = arc sin x + arc cos x
Dziedzina funkcji D = < − 1 , 1 > , funkcja jest ciągła.
Obliczamy pochodną:
1
− 1
f 0( x) = √
+ √
= 0
dla x ∈ ( − 1 , 1)
1 − x 2
1 − x 2
Wynika stąd, że f jest stała na przedziale ( − 1 , 1) .
Ponieważ f jest ciągła na przedziale < − 1 , 1 > więc jest stała na przedziale < − 1 , 1 > f ( x) = C
Obliczamy stałą:
π
π
C = f (0) = arc sin 0 + arc cos 0 = 0 +
=
2
2
Stąd:
π
f ( x) =
dla x ∈< − 1 , 1 >
2
Definicja: Funkcja f : D → R jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy: ( ∀x 1 , x 2 ∈ D) x 2 > x 1 = ⇒ f ( x 2) > f ( x 1) Definicja: Funkcja f : D → R jest słaborosnąca (lub niemalejąca) wtedy i tylko wtedy, gdy: ( ∀x 1 , x 2 ∈ D) x 2 > x 1 = ⇒ f ( x 2) f ( x 1) Uwaga 1: Analogicznie definiujemy funkcję malejącą i słabomalejącą (nierosnącą) Uwaga 2: Funkcje rosnące i malejące nazywamy funkcjami monotonicznymi. Funkcje słaborosnące i słabomalejące nazywmamy funkcjami słabomonotonicznymi.
Twierdzenie: Badanie monotoniczności
Niech dana będzie funkcja f : < a, b >→ R ciągła na < a, b > i różniczkowalna na ( a, b) taka, że f 0( x) > 0 ∀x ∈ ( a, b). Wtedy funkcja f jest rosnąca na < a, b > .
Dowód: Weźmy dowolone x 1 , x 2 ∈< a, b > takie, że x 1 < x 2 . Z twierdzenia Lagrange’a na przedziale < x 1 , x 2 > mamy:
f ( x 2) − f ( x 1) = f 0( c)( x 2 − x 1) dla pewnego c ∈< x 1 , x 2 > Widać, że prawa strona jest dodatnia. Wynika stąd:
f ( x 2) > f ( x 1)
Wobec dowolności x 1 , x 2 oznacza to, że funkcja f jest rosnąca na < a, b > Uwaga 1: Jeżeli warunek f 0( x) > 0 zastąpimy warunkiem f 0( x) 0 to funkcja f będzie słaborosnąca. Ale jeżeli zbiór punktów zerowych pochodnej nie będzie zawierał żadnego
przedziału to funkcja f będzie rosnąca.
Uwaga 2: Twierdzenie odwrotne jest oczywiste. Jeśli funkcja jest słaborosnąca to f 0( x) 0.
Uwaga 3: Bardzo ważnym założeniem jest to, że dziedzina funkcji jest przedziałem. Dla innych dziedzin teza nie musi być prawdziwa.
1
Uwaga 4: Analogiczne twierdzenie można sformułować dla f 0( x) < 0 . Wtedy funkcja jest malejąca.
Przykład: Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f ( x) = x 3 − 3 x Dziedziną funkcji f jest D = ( −∞, ∞)
Obliczamy pochodną f 0( x) = 3 x 2 − 3 . Pochodna istnieje na całej dziedzinie, czyli f jest różniczkowalna.
Rozwiązujemy nierówność f 0( x) > 0
3 x 2 − 3 > 0
( x − 1)( x + 1) > 0
x ∈ ( −∞, − 1) ∪ (1 , ∞)
Wniosek:
f jest rosnąca na przedziale: ( −∞, − 1 >
f jest rosnąca na przedziale: < 1 , −∞)
Uwaga: Funkcja nie musi być (i zwykle nie jest) rosnąca na sumie tych przedziałów!
Nierówność f 0( x) < 0 jest prawdziwa dla x ∈ ( − 1 , 1) a więc funkcja jest malejąca na przedziale < − 1 , 1 >
Ekstrema funkcji
Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x 0 ∈ D minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie O punktu x 0 takie, że:
∀( x ∈ O ∩ D)
f ( x) f ( x 0)
Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x 0 ∈ D minimum lokalne właściwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie O punktu x 0 takie, że:
∀( x ∈ O ∩ D)
x 6= x 0 = ⇒ f ( x) > f ( x 0)
Uwaga 1: Analogicznie definiujemy maksimum lokalne i maksimum lokalne właściwe.
Uwaga 2: Ekstremum lokalne jest to minimum lokalne lub maksimum lokalne.
Twierdzenie - warunek konieczny istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja f : D → R ma w punkcie x 0 ∈ int D ekstremum lokalne i istnieje f 0( x 0) to f 0( x 0) = 0 .
Uwaga: Punkt x 0 ∈ int D taki, że f 0( x 0) = 0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f ( x).
Twierdzenie - warunek dostateczny istnienia ekstremum 1: Jeżeli funkcja f : D → R
ma w punkcie x 0 ∈ int D drugą pochodną oraz f 0( x 0) = 0 i f 00( x 0) > 0 to funkcja f ma w x 0 minimum lokalne właściwe.
Jeśli f 0( x 0) = 0 i f 00( x 0) < 0 to funkcja f ma w x 0 maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie - warunek dostateczny istnienia ekstremum 2: Jeżeli funkcja f : D → R
jest ciągła w punkcie x 0 ∈ int D oraz ma pochodną f 0( t) dla t ∈ O \ {x 0 } dla pewnego otoczenia O punktu x 0 oraz dla t ∈ O zachodzi
f 0( t) < 0 dla t < x 0 oraz f 0( t) > 0 dla t > x 0 to funkcja f ma w x 0 minimum lokalne właściwe.
f 0( t) > 0 dla t < x 0 oraz f 0( t) < 0 dla t > x 0 to funkcja f ma w x 0 maksimum lokalne właściwe.
Uwaga: Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z badania przedziałów monotoniczno-
ści funkcji.
Przykład 1: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f ( x) = x 3 − 3 x 2
Z badania przedziałów monotoniczności tej funkcji (przykład poprzedni) wynika, że funkcja ta ma maksimum lokalne w punkcie x = − 1 i minimum lokalne w punkcie x = 1.
Przykład 2: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f ( x) = xe− 2 x 2
Dziedzina f : D = ( −∞, ∞) jest zbiorem otwartym.
f 0( x) = e− 2 x 2 − 4 x 2 e− 2 x 2 = (1 − 4 x 2) e− 2 x 2
Pochodna istnieje na całej dziedzinie.
Rozwiązujemy równanie f 0( x) = 0
(1 − 4 x 2) e− 2 x 2 = 0
1
x = ± 2
1
Z warunku koniecznego wynika, że dla x 6= ±
funkcja nie ma ekstremów. Badamy, czy
2
1
funkcja ma ekstremum w punkcie x =
korzystając z warunku dostatecznego. Obliczamy:
2
f 00( x) = − 8 xe− 2 x 2 − 4 x(1 − 4 x 2) e− 2 x 2 = − 4 x(3 − 4 x 2) e− 2 x 2
druga pochodna istnieje na całej dziedzinie.
1
f 00( ) = − 2 · 2 · e− 12 < 0
2
1
a więc funkcja f ma w punkcie x =
maksimum lokalne.
2
1
Badamy punkt x = − 2
1
f 00( − ) = 2 · 2 · e− 12 > 0
2
1
a więc funkcja f ma w punkcie x = −
minimum lokalne.
2
√
Przykład 3: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f ( x) = x 2 − x 2
√ √
Dziedzina f : D = < − 2 ,
2 >
√
− 2 x
2(1 − x 2)
f 0( x) =
2 − x 2 + x √
= √
2 2 − x 2
2 − x 2
√ √
D = ( − 2 ,
2)
√ √
W punktach x ∈ D \ D0 = {− 2 ,
2 } funkcja jest ciągła.
Badamy znak pierwszej pochodnej:
f 0( x) > 0
2(1 − x 2)
√
> 0
2 − x 2
1 − x 2 > 0
x ∈ ( − 1 , 1)
√
√
Analogicznie: f 0( x) < 0 ⇐⇒ x ∈ ( − 2 , − 1) ∪ (1 , 2)
Stąd f jest:
√
malejąca na przedziale < − 2 , − 1 >
rosnąca na przedziale < − 1 , 1 >
√
malejąca na przedziale < 1 ,
2 >
√
Wniosek: f ma minimum lokalne w punktach x = − 1 oraz x =
2, oraz maksimum lokalne
√
w punktach x = − 2 oraz x = 1
3