Fizyka lista 3

dr hab. Antoni C. Mituś, prof. PWr

Wrocław, 06.10.2012

Fizyka I

Lista 3 - Elementy kinematyki. II. (ruch po linii prostej)

(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejności; (*) - nadobowiazkowe)

Przyspieszenie zależne od czasu

1. (!) Czastka porusza sie po linii prostej ze stałym przyspieszeniem a( t) = a (ruch jedno-

stajnie zmienny). Prosze wyprowadzić znane wzory na predkość i położenie czastki w tym

ruchu, stosujac metode omówiona na wykładzie (patrz: Uzupełnienia).

2. (!) Czastka porusza sie po linii prostej z przyspieszeniem a( t) = −e−t. W chwili t = 0

czastka znajdujaca sie w punkcie o współrzednej x(0) = 0 ma predkość v(0) = 1. Czy

czastka do chwili zatrzymania sie przebedzie skończona czy też nieskończona droge?

Przyspieszenie zależne od predkości (patrz: Uzupełnienia)

3. (!) Czastka porusza sie po linii prostej z przyspieszeniem a( t) ≡ dv( t) = −v( t). W chwili

t = 0 czastka znajdujaca sie w punkcie o współrzednej x(0) = 0 ma predkość v(0) = 1.

Czy czastka do chwili zatrzymania sie przebedzie skończona czy też nieskończona droge?

4. (*) Zadanie 3 dla przypadku a( t) ≡ dv( t) = −v 2( t).

Przyspieszenie zależne od położenia

5. (!) Niech a( t) ≡ d 2 x( t) = −x( t) (oscylator harmoniczny - bardzo ważny obiekt!).

dt 2

(a) Prosze uzasadnić, że x( t) dane wyrażeniem x( t) = A sin t + B cos t, gdzie A, B to

dowolne stałe, jest rozwiazaniem powyższego równania.

(b) Prosze znaleźć rozwiazanie, dla którego x(0) = 0 , v(0) = 1 (tj. wyznaczyć współczyn-

niki A, B).

6. (*) (a) Prosze znaleźć inne rozwiazanie powyższego równania d 2 x( t) = −x( t) przy wa-

dt 2

runkach poczatkowych x(0) = 0 , v(0) = 1 w nastepujacy sposób. Szukamy rozwiazania

w postaci x( t) = er t, gdzie r jest dowolnym parameterm. Wstawić to rozwiazanie do

równania i napisać wynikajace stad kwadratowe równanie na r. Wyznaczyć pierwiatki

√

tego równania r 1 , r 2, używajac notacji

− 1 = i. Pełne rozwiazanie wyjściowego równa-

nia przedstawić w postaci: x( t) = A er 1 t + B er 2 t. Stałe A, B wyznaczyć jak w zadaniu w punkcie (b) poprzedniego zadania. Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że oba

rozwiazania sa sobie równe. Prosze zapisać te równość. Dziwny jest ten świat...

(b) Powtórzyć całe rozumowanie dla warunków poczatkowych x(0) = 1 , v(0) = 0.

7. (!) Wskazówki: godzinowa i minutowa pokrywaja sie. Po upływie jakiego czasu pokryja

sie ponownie? ( Znane mi sa rozwiazania: błyskotliwe, inteligentne oraz moje własne... )

8. (!) Oszacować długość nitki wełny zwinietej w kłebek o promieniu r = 1 m.

Uzupełnienia

Dwa podstawowe wzory z wykładu w postaci podrecznikowej:

x( t) − x( t 0) =

v( t0) dt0;

v( t) − v( t 0) =

a( t0) dt0.

t 0

Schemat dla a = F ( v) :

Z v( t) dv

t − t 0 =

v( t

F ( v)