Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 24
ZMIENNE LOSOWE CI
GA
E
1. Funkcja gęstości i dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej
Funkcję f nazywamy gęstością pewnej zmiennej losowej X, jeżeli
+"
1. f (x) e" 0 dla x " R , 2. f (x)dx = 1.
+"
-"
y = f (x)
Warunek 2. definicji zwany warunkiem unormowania ozna-
cza, że wykres funkcji f i oś OX ograniczają obszar o polu
równym 1.
Pole = 1
X
Rys.1.
Zmienna losowa X jest ciągła, jeżeli istnieje funkcja gęstości f , taka że dla każdych a d" b zachodzi
b
zależność P(a d" X d" b) = f (x)dx .
+"
a
Interpretując geometrycznie całkę występującą po prawej
stronie ostatniej zależności otrzymujemy, że prawdopodo-
y = f (x)
bieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości
z przedziału a ;b jest polem obszaru rozpościerającego
się nad tym przedziałem poniżej funkcji gęstości.
X
a b
Rys. 2
Uwagi.
b
1. Jeżeli f (x) = 0 na przedziale ( a ;b ) , to f (x)dx = 0 .
+"
a
2. Jeżeli X jest zmienną losową ciągła, to P(X = a) = 0 .
2x dla 0 d" x d"1,
ż#
Przykład 1. Wykazać, że funkcja określona wzorem f (x) = jest gęstością pew-
�#
0 dla pozost. x.
�#
1 1
nej zmiennej losowej X. Naszkicować wykres gęstości. Obliczyć P(- d" X d" ) . Zinterpretować to
2 2
prawdopodobieństwo na wykresie gęstości.
2 Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Rozwiązanie.
Wykres funkcji f przedstawiony jest obok. A
atwo zauważyć, że
f (x) e" 0 dla x " R . Ponadto
2
""
0 1
1
f (x) dx = 0 dx + dx + dx = 0 + + 0 =1.
+"+" +"2x +"0 Ą#x2 ń#
Ł# Ś#
1 0
-" -" 01
Oznacza to, że f jest gęstością pewnego rozkładu ciągłego.
-1 1 2 X
Rys.3.
11
0
22 1
1 1 1
2 ś#
2
2
P�# - d" X d" = f (x) dx = 0 dx + dx = 0 + =
ś#ź#
+"+" +"2x Ą# ń# 4
Ł#x Ś#
0
2 2
�# #
11
0
--
22
1
1 1
�#
P - d" X d"ś#
ś#ź#
2 2
�# #
1
1
-1 - 1 2 X
2
2 Rys.4.
Podobnie jak w przypadku zmiennej losowej skokowej przyjmujemy następującą definicję dystrybuanty
zmiennej losowej ciągłej
x
F(x) = P(X < x) = f (t)dt .
+"
-"
Dystrybuanta F zmiennej losowej ciągłej X ma następujące własności:
1. Dla każdego x " R 0 d" F(x) d"1.
2. lim F(x) = F(-") = 0, lim F(x) = F(+") =1.
x-" x+"
3. F jest funkcją niemalejącą.
4. F jest funkcją ciągłą w każdym punkcie.
Uwaga
W przypadku, gdy X jest zmienną losową ciągłą o dystrybuancie F prawdziwe są zależności:
P(a d" X d" b) = P(a d" X < b) = P(a < X d" b) = P(a < X < b) = F(b) - F(a) .
0 dla x < 0,
ż#
Przykład 2. Wykazać, że funkcja f (x) = jest gęstością pewnej zmiennej losowej.
�#
- x
�#e dla x e" 0
Naszkicować wykres gęstości. Wyznaczyć dystrybuantę i sporządzić jej wykres. Obliczyć P(1d" X d" 2) , a
następnie zinterpretować otrzymaną liczbę na wykresie gęstości i dystrybuanty.
Rozwiązanie.
A
atwo zauważyć, że f (x) e" 0 dla x " R . Ponadto
1 +" 0 +"
+"
Ą#-e- x ń# =
y = f(x) f (x)dx = 0dx + e-xdx = 0 +
+"+" +" Ł# Ś#0
0,5
-" -" 0
=- e-" + e0 =1
Funkcja f jest więc gęstością prawdopodobieństwa
-1 1 X
0 2 3 4
-2
pewnej zmiennej losowej X.
Rys.5.
Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe 3
xx
Gdy x < 0 , to F(x) = f (t)dt = 0dt = 0 .
y = F(x)
+"+"
-" -"
1
x 0 x
-t
Gdy x e" 0 , to F(x) = f (t)dt = 0dt + dt =
0,5 +"+" +"e
-" -" 0
x
Ą#-e-t Ś#0 = -e-x + e0 =1- e- x .
= 0 +
Ł#ń#
-1 1 X
0 2 3 4
-2
Rys.6.
22
2
- xx
P(1d" X d" 2) = f (x)dx = dx =
+"+"e Ą#-e- ń# = -e-2 + e-1 = 0,2325 .
Ł# Ś#1
11
y = F(x)
1
1
F(2)
P(1 d" X d" 2) = F(2) - F(1)
y = f(x)
F(1)
0,5
P(1d" X d" 2)
-1 1 X 1 X
0 2 3 4 -1
-2 0 2 3 4
-2
Rys.7.
Rys.8.
Funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej X i jej dystrybuanta są ze sobą ściśle związane. Na podstawie
funkcji gęstości f można określić dystrybuantę F oraz na odwrót: na podstawie dystrybuanty można wyzna-
czyć funkcję gęstości.
/
Prawdziwe jest stwierdzenie: Jeżeli x jest punktem ciągłości gęstości f, to f (x) = F (x) .
2. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych ciągłych
Wartością oczekiwaną zmiennej losowej ciągłej nazywamy liczbę oznaczaną przez E( X ) i równą:
+"
E(X ) = xf (x)dx .
+"
-"
Uwaga.
Liczba E(X) pokazuje, w którym punkcie osi poziomej należy podeprzeć obszar ograniczony osią OX i wy-
kresem gęstości, aby znajdował się on w stanie równowagi.
2x dla 0 d" x d"1,
ż#
Przykład 3. Niech X będzie zmienną losową o gęstości f (x) =
�#
0 dla pozost. x.
�#
Obliczyć wartość oczekiwaną . Zinterpretować na wykresie funkcji gęstości.
y = f(x)
2 Rozwiązanie.
+" 11 1
2 2
2
E(X ) = xf (x) = �" 2xdx = 2 dx = x3 ń# = .
ó#
1 +"+"x +"x Ą# Ą#
3
Ł# Ś#0 3
-" 00
(Całkując pominięto przedziały, w których f (x) = 0 ).
2
1 2 X
-1
3 Rys.9.
4 Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Wartość oczekiwaną zmiennej losowej ( X - E( X ))2 nazywamy wariancją zmiennej X i oznaczamy
przez D2 ( X ) . Liczba ta jest nieujemna. Pierwiastek z wariancji, tj. liczbę D2 ( X ) nazywamy odchyle-
niem standardowym zmiennej losowej X.
Wariancja zmiennej losowej X ciągłej wyraża się wzorem
2
D2 ( X ) = E( X ) - [E( X )]2 ,
+"
2
gdzie E( X ) oznacza wartość oczekiwaną zmiennej X oraz E(X ) = x2 f (x)dx .
+"
-"
.
1
ż#
gdy x " a ;b ,
�#
Przykład 4. Niech X będzie zmienną losową o gęstości: f (x) = - a
b
�#
�#
0 dla pozost. x.
�#
Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję tej zmiennej losowej.
Rozwiązanie.
b
+" b
Ą# ń#
11 x2 b2 - a2 a + b
E(X ) = xf (x)dx = = .
+"+"xdx = �" ó# Ą# =
b - a b - a 2 2(b - a) 2
Ł# Ś#a
-" a
Ponieważ
b
+" b
Ą# ń#
11 x3 b3 - a3 1
2 2
E(X ) = x2 f (x)dx = = (a2 + ab + b2 ) ,
+"+"x dx = �" ó# 3 Ą# =
b - a b - a
Ł# Ś#a 3(b - a) 3
-" a
to
1 a + b (a - b)2
2
D2 ( X ) = E( X ) - [E( X )]2 = (a2 + ab + b2 ) - ( )2 = .
32 12
3. Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale a;b , jeżeli funkcją gęstości tej zmiennej
1
ż#
gdy x " a ;b ,
�#
jest f (x) = - a
b
�#
�#
0 dla pozost. x.
1
�#
b - a
Wykres funkcji f przedstawia rys.10.
X
a b
(a - b)2
a + b
D2(X ) =
E(X ) = , .
2 12
Rys. .10 .
Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe 5
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze  > 0, jeżeli przyjmuje wyłącznie wartości
nieujemne, przy czym funkcja gęstości wyraża się wzorem:
ż#
e-x dla x e" 0,
f (x) =
�#
0 dla pozost. x.
 �#
y = f(x)
Wykres gęstości przedstawia rys.11.
1
1
-1 1 X
0 2 3 4
-2 , .
D2 ( X ) =
E( X ) =
 2
Rys. 11.
Rozkład wykładniczy posiada np. zmienna losowa opisująca czas bezawaryjnej pracy danej aparatury.
Przykład 5. Czas świecenia żarówki (w godzinach) opisuje zmienna losowa X o gęstości
ż#e-t dla t e" 0,
f (t) = gdzie  = 0,001. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żarówka:
�#
0 dla pozost. t,
�#
a) świecić będzie co najmniej 500 godzin, b) przepali się w drugim tygodniu świecenia.
Rozwiązanie.
+" +"
+"
Ą#-e-0,001t ń# = -e-" + e-0,5 = 0,607 ,
a) P(X e" 500) = f (t)dt = 0,001�" e-0,001tdt =
+"+" Ł# Ś#500
500 500
336 336
336
Ą#-e-0.001t ń# =
b) P(168 d" X d" 336) = f (t)dt = 0,001�" e-0,001tdt =
+"+" Ł# Ś#168
168 168
=-e-0,36 + e-0,168 =-0,7118 + 0,8437 = 0,1319 .
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach ź i � , jeżeli jej gęstość wyraża się wzorem
(x-ź )2
-
1
2
2�
f (x) = e . Wykres gęstości przedstawiony został na rys.12. Wykres jest symetryczny wzglę-
� 2Ą
1
dem prostej x = ź . Funkcja posiada maksimum w punkcie x = ź wynoszące .
� 2Ą
Y
(x-ź )2
-
1
1 2
2�
f (x) = e
� 2Ą
� 2Ą
X
ź
Rys. 12
2
E(X ) = ź, D2(X ) = �
Z badań wynika, że wzrost i waga ludzi, błędy pomiarów, zasięg strzału artyleryjskiego itp. mogą być
traktowane jako zmienne losowe o rozkładach normalnych.
6 Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Y Na rys.13. podane są wykresy gęstości funkcji
rozkładu normalnego przy � =1 oraz trzech
różnych parametrach ź .
Wykresy te pokazują, że wartość oczekiwana ź
nie wpływa na kształt wykresu funkcji gęstości
rozkładu normalnego.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 X
Rys.13.
Na rys.14. podane są wykresy gęstości funkcji
rozkładu normalnego przy ź =1 oraz trzech róż-
Y
nych parametrach � .
2
Wykresy te pokazują, że wariancja� jest miarą
rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół
jej wartości oczekiwanej.
Rys.14.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 X
Uwaga. Dowodzi się, że jeżeli zmienna X ma rozkład normalny o parametrach ź i � , to:
b - ź a - ź
P(a d" X d" b) = Ś( ) - Ś( ) , gdzie Ś oznacza funkcję Laplace a..
� �
Przykład 6. Wzrost dorosłych ludzi (w cm) jest zmienną losową posiadającą rozkład normalny o parame-
trach ź =170 i � = 15. Obliczyć, jaka część ludzi ma wzrost: a) mieszczący się w przedziale 160;180 ,
b) powyżej 200.
Rozwiązanie. Na podstawie powyższego wzoru, korzystając z tablicy 2. mamy:
180 -170 160 -170
a) P(160 d" X d"180) = Ś( ) - Ś( ) =
15 15
= Ś(0,67) - Ś(-0,67) = 2Ś(0,67) = 2 �" 0,2486 = 0,4972.
200 -170
b) a) P(200 d" X < +") = Ś(+") - Ś( ) = 0,5 - Ś(2) = 0,5 - 0,4772 = 0,0228 .
15
Oznacza to, że 49,82 % dorosłych ludzi ma wzrost w granicach 160 - 180 cm , a 2,28 % - powyżej 200 cm.