VI. PRZEDZIAA
Y UFNOŚCI (ZASTOSOWANIA ROZKADÓW CI
GA
YCH)
Przedziały ufności wyznacza się najczęściej z rozkładów odpowiednich statystyk 
estymatorów tych parametrów
Najczęściej spotykane estymatory:
x
- średnia arytmetyczna z próby - estymator średniej warności m w populacji,
2
s2 - wariancja z próby  estymator wariancji �
w populacji generalnej,
s �
- odchylenie sztandarowe z próby  estymator odchylenia standardowego w
populacji generalnej,
dr A.Czech 1
1. Szacowanie wartości średniej w populacji generalnej
A. Rozkład normalny standaryzowany (n> 30)  dla dużej liczby obserwacji w próbie
N (m,� )
Populacja generalna ma rozkład o nieznanej wartości średniej m i znanym
�
odchyleniu standardowym
Przedział ufności dla średniej m w populacji otrzymuje się ze wzoru:
ńł � � �ł
kr kr
P�łx - uą < m < x + uą =1-ą
żł
n n
ół �ł
1
x = xi
"
gdzie: - średnia arytmetyczna obliczona z wyników próby,
n
xi
- wartość i  tego elementu w próbie,
1-ą
- poziom ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
ą
- poziom istotności ( w technice i ekonomii najczęściej 0,05),
kr
uą
- wartość zmiennej losowej U mającej standaryzowany rozkład normalny.
kr
Wartość uą odczytuje się z tablic(wartości krytycznych) !!!
kr
Można zastąpić wartość uą przez u1-ą odczytywaną z tablic kwantyli !!!
2
dr A.Czech 2
�(u)
1-ą
ą ą
2 2
u
u1-ą - kwantyl
2
uk - wartość krytyczna
ą
Przykład
� = 30
Dane: n = 100, , ą = 0,05
Znajdz
przedział ufności dla średniej m
x =100
Na podstawie próby wyliczono
kr
u = 1,96
ą
uą = 1,96
Z tablic odczytano: - wartość krytyczna, - kwantyl
1-
2
� � 30 30
kr kr
x - uą < m < x + uą
100 -1,96 100 < m <100 +1,96 100 to
n n
94,1 < m < 105,9
dr A.Czech 3
B. Rozkład t-Studenta (n< 30)  dla małej liczby obserwacji w próbie
N (m,� )
Populacja ma rozkład o nieznanej wartości średniej m i nieznanym
�
odchyleniu standardowym
Przedział ufności dla średniej m populacji generalnej otrzymuje się ze wzoru:
Wariant I:
s s
ńł �ł
kr kr
P�łx - tą < m < x + tą =1-ą
żł
n -1 n -1
ół �ł
1
x = xi - średnia arytmetyczna obliczona z wyników próby,
"
gdzie:
n
xi - wartość i  tego elementu w próbie,
1-ą
- poziom ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
kr
tą - wartość zmiennej losowej o rozkładzie t-Studenta z r=n-1 stopniami
swobody,
1 v
2
s = - x)
"(xi
- obciążone odchylenie standardowe z próby
n
dr A.Czech 4
kr
tą
Wartość odczytuje się z tablic(wartości krytycznych) dla rozkładu t-Studenta z
r=n-1 stopniami swobody
kr
tą
Można zastąpić wartość poprzez wartość t1-ą odczytywaną z tablic kwantyli
2
rozkładu t-Studenta z r=n-1 stopniami swobody !!!
f (t)
1-ą
ą ą
2 2
t
tkr - wartość krytyczna
ą
t1-ą - kwantyl
2
dr A.Czech 5
Wariant I jest równoważny następującemu wariantowi:
Wariant II:
%5ń %5ń
ńł �ł
kr kr
P�łx - tą < m < x + tą =1-ą
żł
n n
ół �ł
1
x = xi - średnia arytmetyczna obliczona z wyników próby,
"
gdzie:
n
xi - wartość i  tego elementu w próbie,
1-ą
- poziom ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
ą
- poziom istotności ( w technice i ekonomii najczęściej 0,05),
kr
tą - wartość zmiennej losowej o rozkładzie t-Studenta z r=n-1 stopniami
swobody,
1 v
2
%5ń =
"(x - x)
i
- nieobciążone odchylenie standardowe z próby
n -1
dr A.Czech 6
2. Szacowanie wariancji w populacji generalnej
A. Rozkład Chi-kwadrat (n<30) )  dla małej liczby obserwacji w próbie
N (m,� )
Populacja generalna ma rozkład
o nieznanej wartości średniej m i nieznanym
�
odchyleniu standardowym
2
�
Przedział ufności dla wariancji w populacji generalnej otrzymuje się ze wzoru:
Wariant I:
�ł �ł
�ł
ns2 ns2 �ł
2
P < � < = 1- ą
�ł �ł
2 2
� �
�ł ą ą �ł
kr, kr,1-
�ł 2 2 łł
gdzie: n  liczebność próby,
1 v
2
2
s2 =
"(x - x) �
i
- obciążona wariancja z próby (estymator wariancji w
n
populacji generalnej,
1-ą
- współczynnik ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
ą
- poziom istotności ( w technice i ekonomii najczęściej 0,05),
2
2
�
� 2
ą
ą
�
kr, ,
kr,1- - wartości krytyczne rozkładu dla r=n-1 stopni swobody
2 2
dr A.Czech 7
Wariant I jest równoważny następującemu wariantowi:
Wariant II:
�ł �ł
�ł
(n -1)%5ń2 2 (n -1)%5ń2 �ł
P < � < =1-ą
�ł �ł
2 2
� �
�ł ą ą �ł
kr, kr,1-
�ł 2 2 łł
gdzie: n  liczebność próby,
1 v
2
2
%5ń2 =
"(x - x) �
i
- odciążona wariancja z próby (estymator wariancji w
n -1
populacji generalnej,
1-ą
- współczynnik ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry),
ą
- poziom istotności ( w technice i ekonomii najczęściej 0,05),
2
2
�
� 2
ą
ą
�
kr, ,
kr,1- - wartości krytyczne rozkładu dla r=n-1 stopni swobody
2 2
dr A.Czech 8
2
f (� )
ą
2
ą
2
�
2 2
� �
ą ą
- wartość krytyczna
kr,1- kr,
2 2
PRZYKA
AD
Dane: n=25, ą = 0,05
2
�
Znalez
ć przedział ufności dla wariancji w populacji generalnej
s2 = 5
Na podstawie próby obliczono:
Z tablic wartości krytycznych rozkładu Chi-kwadrat odczytano:
2 2
2 2
� = �kr;24;0,025 = 39,364
� = �kr;24;0,975 =12,401
0,05
0,05
kr,25-1, kr,25-1,
2 2
dr A.Czech 9
ns2 ns2
2
25�" 52 25�"52
< � <
2
2 2
2
< � <
� � 3,175 < � < 10,08
to to
ą ą
39,364 12,401
kr, kr,1-
2 2
B. Rozkład normalny (n>30)  dla dużej liczby obserwacji w próbie
N (m,� )
Populacja generalna ma rozkład lub zbliżony do normalnego o nieznanej
�
wartości średniej m i nieznanym odchyleniu standardowym
�
Przybliżony przedział ufności dla odchylenia standardowego w populacji
generalnej otrzymuje się ze wzoru:
ńł �ł
�ł �ł
s s
�ł
P�ł < � < H" 1-ą
�ł
kr kr
uą żł
�ł1+ uą �ł
1-
�ł �ł
2n 2n
ół �ł
dr A.Czech 10