KONSTRUKCJE METALOWE
Wykład IV
Dr inż. KATARZYNA RZESZUT
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
WS
TP
Belki są podstawowym elementem konstrukcji
stalowych
Przenoszą obciążenia głownie poprzez zginanie w
jednej lub dwu płaszczyznach.
Występuje również możliwość złożonego stanu
obciążenia belki to znaczy jednoczesnego zginania i
ścinania oraz dodatkowo rozciągania względnie
ściskania osiowego.
Najczęściej belki występują jako konstrukcje nośne
stropów, pomostów, rygli dachowych i ściennych,
dz
wigarów mostowych, belek podsuwnicowych,
płatwi, krokwi itp.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
kryteria podziału
�� ze względu na schemat statyczny:
wolnopodparte - najczęściej stosowane z uwagi na brak
wpływu temperatury i osiadania podpór, dogodny
montaż, niestety są mało ekonomiczne;
ciągłe - mniejszy przekrój, a więc lżejsze, mniejsze
ugięcie, jednak trudniejsze wykonanie
�� ze względu na styki montażowe;
Sztywne
gerberowskie (przegubowe)  stosowane w płatwiach i
mostownictwie
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
kryteria podziału
�� ze względu na przekrój poprzeczny:
bisymetryczne  środek ścinania pokrywa się ze
środkiem ciężkości, zatem nie występuje skręcanie,
symetryczne  środek ścinania nie pokrywa się ze
środkiem ciężkości, zatem występuje skręcanie,
niesymetryczne -
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Typy belek
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Typy belek
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Typy belek
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Typy belek
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Typy belek
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Typy belek
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Typy belek
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Rozpiętości obliczeniowe belek
Rozpiętość obliczeniową belek lo określa się na
podstawie rozpiętości w świetle podpór, przy czym
dla:
�� belki opartej na łożyskach (podporach
punktowych)
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Rozpiętości obliczeniowe belek
�� belki opartej na murze w zależności od
sytuacji:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Podstawy teoretyczne projektowania belek
Projektując belkę obciążoną obciążeniem statycznym
należy określić
rozkład sił wewnętrznych w belce
znalez
ć najniekorzystniej obciążone przekroje
sprawdzić ich nośność z uwzględnieniem możliwości
utraty stateczności lokalnej
sprawdzić możliwość utraty stateczności
ogólnej całej belki (zwichrzenia)
obliczyć ugięcie i porównać z ugięciem granicznym.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Hipotezy wytrzymałościowe
Dla złożonego stanu naprężenia (dwu lub
trójosiowego) należy wyznaczyć
naprężenie zastępcze-jednoosiowe
sprawdzić czy nie przekracza ono naprężenia
niszczącego.
Hipotezą, która najbardziej oddaje zachowanie się
stali podczas badań doświadczalnych (najlepiej
obrazuje zniszczenie stali rozumiane jako przejście w
stan plastyczny lub sprężysto - plastyczny) jest
hipoteza Hubera Hencky eg Missesa.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipoteza Hubera Hencky eg Missesa.
Założenia
zasada płaskich przekrojów
osiągniecie w elemencie granicy plastyczności jest
jednoznaczne z jego zniszczeniem,
Hipoteza wytężeniowa staje się warunkiem
plastyczności i zarazem warunkiem nośności.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Hipotezy wytrzymałościowe
Powierzchnią graniczną
stanu naprężenia dla
hipotezy Hubera
Hencky eg Missesa
jest
nieskończenie długa
pobocznica walca
kołowego nachylona
pod tym samym kątem
do osi układu
współrzędnych.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie belek w jednej płaszczyz
nie
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie belek w jednej płaszczyz
nie
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie belek w dwóch płaszczyznach 
przekroje symetryczne
�� względem osi głównych
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie belek w dwóch płaszczyznach 
przekroje symetryczne
�� względem osi nie będących osiami głównymi (z
uwzględnieniem skręcania)
W przypadku takiego przekroju
można obciążenie P
rozłożyć na Px i Py i obliczyć
belkę za pomocą wzorów
zamieszczonych wyżej.
Warunkiem jest jednak to, aby
siła P działała po kierunku
przechodzącym przez środek
ciężkości układu.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie belek w dwóch płaszczyznach 
przekroje symetryczne
Dla układu współrzędnych
obróconego o kąt � względem
układu osi głównych odpowiednie
momenty
bezwładności wynoszą:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie belek w dwóch płaszczyznach 
przekroje symetryczne
W przypadku, gdy znamy momenty bezwładności w
układzie odwróconym położenie osi głównych
względem tego układu wyznaczamy z zależności:
Momenty bezwładności względem układu głównego:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie przekrojów otwartych z
uwzględnieniem skręcania
W tym przypadku konieczne jest określenie środka
ścinania danego przekroju.
Środek ścinania w przekroju określa punkt, w
którym przyłożenie obciążenia nie powoduje
skręcania przekroju.
Tj. belka obciążona jest poprzecznie siłą, która nie
przechodzi przez środek ścinania jest ona nie tylko
zginana, ale również skręcana.
Do takich belek zaliczamy wszystkie kształtowniki
posiadające tylko jedną oś symetrii np. ceowniki,
teowniki itp
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie przekrojów otwartych z
uwzględnieniem skręcania
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie przekrojów otwartych z
uwzględnieniem skręcania
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie przekrojów otwartych z
uwzględnieniem skręcania
Przy znanym położeniu siły ścinającej Q
(przyłożonej w odległości e od środka ścinania S)
naprężenia od skręcania będą równe:
gdzie:
Is  moment bezwładności przy skręcaniu,
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Zginanie przekrojów otwartych z
uwzględnieniem skręcania
naprężenia od ścinania jak i zginania:
Nośność danego przekroju sprawdza się za pomocą
warunku:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność graniczna przekroju na zginanie w
stanie sprężystym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność graniczna przekroju na zginanie w
stanie sprężystym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność graniczna przekroju na zginanie w
stanie plastycznym
Zakładamy wykres naprężeń w postaci dwóch
prostokątów
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność graniczna przekroju na zginanie w
stanie plastycznym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność graniczna przekroju na zginanie w
stanie plastycznym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Wskaz
nik wytrzymałości w stanie
sprężystym i plastycznym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Wskaz
nik wytrzymałości w stanie
sprężystym i plastycznym
współczynnik ąpl dla tego przekroju jest równy:
W praktyce przy projektowaniu zamiast
współczynnika ąpl posługujemy się posługujemy się
ą
ą
ą
obliczeniowym współczynnikiem rezerwy plastycznej
ąp, o wartości mniejszej od ąpl , określonym z
ą ą
ą ą
ą ą
zależności:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju belki z uwzględnieniem
utraty stateczności lokalnej środnika
O nośności przekroju w stanie sprężystym w może
decydować wyboczenie najcieńszej ścianki tj. środnika
belki blachownicowej.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju belki z uwzględnieniem
utraty stateczności lokalnej środnika
Wartość maksymalna naprężeń normalnych
ściskających w chwili utraty stateczności będzie równa:
zatem nośność takiego przekroju będzie można
wyznaczyć z zależności:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Klasyfikacja przekrojów elementów
ściskanych i zginanych.
Przekroje charakteryzują się tym, że pierwszy ma
ścianki najgrubsze, a każdy następny przekrój ma
ścianki trochę cieńsze od poprzedniego.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Klasyfikacja przekrojów elementów
ściskanych i zginanych.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Klasyfikacja przekrojów elementów ściskanych
i zginanych wg PN-90/B-03200.
KLASA 1  przekroje mogą osiągnąć nośność
pełnego przegubu plastycznego, istnieje
możliwość nieograniczonego obrotu;
KLASA 2  przekroje mogą osiągnąć nośność
pełnego przegubu plastycznego, jednakże
obrót jest ograniczony niestatecznością plastyczną;
KLASA 3  nośność przekroju ograniczona jest
początkiem uplastycznienia strefy
ściskanej �
�c = fd
�
�
KLASA 4  nośność przekroju ograniczona jest
utratą stateczność lokalnej co najmniej jednej
ścianki przekroju znajdującej się w strefie ściskanej,
�c ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Rozkład naprężeń w przekroju przy pełnej
nośności na zginanie w kl. przekroju
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Rozkład naprężeń w przekroju przy pełnej
nośności na zginanie w kl. przekroju
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Smukłość ścianki przekroju.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Smukłość ścianki a klasa przekroju.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Smukłość ścianki a klasa przekroju.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Klasa przekroju a metody analizy.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność obliczeniowa przekroju przy
jednokierunkowym zginaniu.
�� dla przekrojów klasy 1 i 2
gdzie:
ąp  to obliczeniowy współczynnik rezerwy
plastycznej przekroju przy zginaniu
wyznaczony wg załącznika 4; PN90/B-03200
Współczynnik ą p >1,0 można stosować w przypadku
elementów obciążonych statycznie i zginanych
w płaszczyz
nie symetrii przekroju. W pozostałych
przypadkach należy przyjąć ą p =1,0.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Współczynnik rezerwy plastycznej przekroju
przy zginaniu ą ąp
ąpl i ą
ą ą
ą ą
Wpl  wskaz
nik oporu plastycznego przy zginaniu
równy sumie bezwzględnych wartości momentów
statycznych ściskanej (Ac) i rozciąganej (At) strefy
przekroju względem osi obojętnej w stanie pełnego
uplastycznienia.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność obliczeniowa przekroju przy
jednokierunkowym zginaniu.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność graniczna przekroju na zginanie w
stanie plastycznym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Wskaz
nik wytrzymałości w stanie
sprężystym i plastycznym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Wskaz
nik wytrzymałości w stanie
sprężystym i plastycznym
współczynnik ąpl dla tego przekroju jest równy:
W praktyce przy projektowaniu zamiast
współczynnika ąpl posługujemy się posługujemy się
ą
ą
ą
obliczeniowym współczynnikiem rezerwy plastycznej
ąp, o wartości mniejszej od ąpl , określonym z
ą ą
ą ą
ą ą
zależności:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność obliczeniowa przekroju przy
jednokierunkowym zginaniu.
Analizę statyczną z uwzględnieniem plastycznej
redystrybucji sił wewnętrznych, spełnia warunki:
- stal, z jakiej zaprojektowane są kształtowniki i blachy
charakteryzuje się wydłużalnością A5 e" 15%
i stopniem wzmocnienia Rm Re e" 1,2 ;
- każdy element, w którym mogą powstać przeguby
plastyczne jest homogeniczny, pełnościenny i ma
stały co najmniej monosymetryczny przekrój klasy 1;
- płaszczyzna obciążania (zginania) pokrywa się z osią
symetrii przekroju  brak skręcania;
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność obliczeniowa przekroju przy
jednokierunkowym zginaniu.
- elementy zginane względem osi największej
bezwładności przekroju są zabezpieczone przed
zwichrzeniem; w miejscach potencjalnych przegubów
plastycznych elementy są zabezpieczone przed
przemieszczeniem (obrotem) z płaszczyzny układu;
- w miejscach działania sił skupionych, w których mogą
powstać przeguby plastyczne elementy są usztywnione
żebrami poprzecznymi;
- połączenia zginane (węzły sztywne) w miejscach lub
bezpośrednim sąsiedztwie przegubów plastycznych
mają nośność nie mniejszą niż nośność przekroju
elementów łączonych;
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność obliczeniowa przekroju przy
jednokierunkowym zginaniu.
�� dla przekrojów klasy 3 (� = 1,0) i 4 (� <1,0)
� �
� �
� �
jednak, gdy Wc > Wt = w należy sprawdzić nośność
na:
krawędzi ściskanej:
krawędzi rozciąganej:
gdzie:
�  wsp. redukcyjny dotyczący stateczności lokalnej;
ąp  obliczeniowy wsp. rezerwy plastycznej przekroju;
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność obliczeniowa ceowników walcowanych,
przekroju przy jednokierunkowym zginaniu -
wpływ drugorzędnego skręcania .
Gdzie:
V  siła poprzeczna w rozpatrywanym przekroju;
VR  nośność obliczeniowa przekroju przy ścinaniu
Należy spełnićWarunek:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju na ścinanie
Nośność obliczeniową przekroju przy ścinaniu :
gdzie:
�pv  współczynnik niestateczności lokalnej przy
ścinaniu, który przyjmuje wartość wyznaczoną z
zależności:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju na ścinanie
p - smukłość względna,
Av  pole przekroju czynnego ścinania wg tablicy 7
PN 90/B-03200
Współczynnik
K =Kv zależny jest od sposobu podparcia i obciążenia
ścianki.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju na ścinanie
Współczynnik K =Kv
należy obliczyć wg
tabl. 8
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność elementu na ścinanie
gdzie:
V- siła poprzeczna w przekroju
VR- nośność obliczeniowa przekroju na
ścinanie
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Przypadki obciążeń złożonych
Zginanie ze ścinaniem
gdzie:
�x - naprężenia normalne w kierunku x (zginanie)
�y - naprężenia normalne w kierunku y (docisk)
� - naprężenia styczne (ścinanie)
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Przypadki obciążeń złożonych
Zginanie ze ścinaniem
�� dla bisymetrycznych przekrojów dwuteowych
klasy 1 i 2, zginanych względem większej osi
bezwładności, gdy V >V0 = 0,6�"VR
�� w pozostałych przypadkach, gdy V > V0 = 0,3�"VR
gdzie:
I(V)  moment bezwładności części przekroju czynnej
przy ścinaniu względem osi obojętnej;
I  moment bezwładności całego przekroju;
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Przypadki obciążeń złożonych
Dwukierunkowe zginanie ścinanie i rozciąganie
gdzie:
MRV , - nośność obliczeniowa przekroju przy zginaniu
ze ścinaniem.
NRt- nośność obliczeniowa przekroju na rozciąganie
M, V, Nt- siły wewnętrzne w przekroju
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Przypadki obciążeń złożonych
Dwukierunkowe zginanie ścinanie i ściskanie
gdzie
MR,v- nośność obliczeniowa przekroju przy
zginaniu ze ścinaniem.
NRc- nośność obliczeniowa przekroju na ściskanie
M, V, Nc- siły wewnętrzne w przekroju
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Sprawdzenie ugięcia belek ( Stan graniczny
użytkowania).
Np. w przypadku belki ciągłej obciążonej równomiernie
ugięcie można liczyć ze wzoru:
gdzie:
g  obciążenie stałe;
p  obciążenie zmienne;
Wartości w nawiasach dotyczą przęseł skrajnych
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Sprawdzenie ugięcia belek ( Stan graniczny
użytkowania).
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Stateczność lokalna ścianki klasy 4 przekroju
gdzie:
� - współczynnik zależny od rozkładu obciążenia i
sposobu podparcia
t ,b - grubość i szerokość ścianki
�- współczynnik Poissona
E- moduł Younga
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Stateczność lokalna ścianki klasy 4 przekroju
Nośność przekroju wyznaczoną naprężeniami
krytycznymi nazywamy nośnością w stanie
krytycznym: W tym stanie w dowolnym miejscu
ścianki musi zachodzić warunek:
� d" �kr
gdzie:
� - naprężenia wewnętrzne w przekroju;
�kr- najmniejsze naprężenie krytyczne rozpatrywanej
ścianki
Jednakże istnieje możliwość dalszego obciążania płyty
po osiągnięciu stanu krytycznego.
Taki stan nazywamy stanem nadkrytycznym.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność na zginanie w przekroju klasy 4
gdzie:
Wc- wskaz
nik wytrzymałości strefy ściskanej
fd- wytrzymałość obliczeniowa stali elementu.
� - wspołczynnik niestateczności lokalnej (�= �p < 1,0);
przy czym �p należy przyjmować w
zależności od smukłości względnej ścianki p obliczonej
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność na zginanie w przekroju klasy 4
zależności od smukłości względnej ścianki p
obliczonej ze wzoru:
p
gdzie:
t, b - grubość i szerokość ścianki
K- współczynnik z tabl.8 PN zależny od sposobu
podparcia i obciążenia płyty
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność na zginanie w przekroju klasy 4
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność na zginanie w przekroju klasy 4
W przypadku belki dwuteowej blachownicowej
najsmuklejszym elementem na ogół jest środnik.
W przypadku środnika klasy 4 powinno się go
usztywnić żeberkami poprzecznymi z płaskowników lub
kształtowników, jako jednostronne lub dwustronne,
spawane
w rozstawach a d" 2 �" b
W punktach obciążenia siłami skupionymi
na podporach, w strefach węzłów sztywnych, a także
w innych miejscach, gdy zachodzi potrzeba
dodatkowego usztywnienia.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność na zginanie w przekroju klasy 4
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność na zginanie w przekroju klasy 4
wartość współczynnika �p gwałtownie zmniejsz
się wg krzywej zbliżonej do hiperboli do wartości
�p=0,138 przy p = 3,0
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju klasy 4 w stanie
nadkrytycznym
W stanach nadkrytycznych bierze się pod uwagę pracę
części przekroju płyty, które nie uległy utracie
stateczności lokalnej.
Tę część przekroju płyty, nazywa się
przekrojem efektywnym.
Zgodnie z teorią nośności nadkrytycznej osiągnięcie
naprężenia krytycznego w ściance przekroju,
traktowanej jako płyta obciążona w płaszczyz
nie
środkowej, nie oznacza, że wyczerpały się jej
zdolności do
dalszego przenoszenia obciążenia pod warunkiem, że
jedna lub więcej krawędzi podłużnych pozostały nadal
nieodkształcone.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju klasy 4 w stanie
nadkrytycznym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju klasy 4 w stanie
nadkrytycznym
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju klasy 4 w stanie
nadkrytycznym
W stanie nadkrytycznym obciążenia mogą wzrastać do
wystąpienia w pasmach przykrawędziowych naprężeń
równych granicy plastyczności Re. Dzięki temu płyta
może przenosić obciążenia większe od krytycznych.
Dodatkowo można stwierdzić, że początkowo
równomierny rozkład naprężeń w płycie zmienia się
na coraz bardziej nierównomierny.
W obliczeniach przyjmuje się równomierny rozkład
naprężeń w strefach przypodporowych  powierzchniach
efektywnych. Przekrój efektywny dla ścianki
równomiernie ściskanej można określić następująco:
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju klasy 4 w stanie
nadkrytycznym
Dla przekroju zginanego zmniejsza się szerokość półek
ściskanych bef i wprowadza niesymetryczne strefy
efektywne w sąsiedztwie pasów na środniku
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju klasy 4 w stanie
nadkrytycznym
Dla przekroju ściskanego
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju klasy 4 w stanie
nadkrytycznym
gdzie:
�e - współczynnik redukcyjny nośności obliczeniowej
przekroju określony z uwzględnieniem zmiany środka
ciężkości z uwagi na efektywną powierzchnię przekroju;
Wec  wskaz
nik wytrzymałości przekroju
współpracującego
Wc  wskaz
nik wytrzymałości przekroju rzeczywistego.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność przekroju klasy 4 w stanie
nadkrytycznym
Konstrukcje można obliczać w stanie
nadkrytycznym gdy :
-obciążenie są przeważająco statyczne;
-utrata stateczności blachy nie powoduje
niekorzystnych zmian użytkowych;
- brak sił skupionych przyłożonych do przekroju.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Nośność środnika belki blachownicowej klasy 4
w złożonym stanie obciążenia
Nw  część obciążenia osiowego ściskającego lub
rozciągającego przypadającego na środnik;
NRw  nośność środnika na ściskanie;
Mw  moment zginający przypadający na środnik;
MRw  nośność środnika na zginanie;
V  siła poprzeczna;
VR  nośność środnika na ścinanie ;
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Podsumowanie
Przed sprawdzeniem warunków obliczeniowych nośności przekroju
należy określić klasę przekroju.
Wykorzystanie pełnej nośności przekroju danej klasy związane jest
również z metodą obliczeń statycznych.
Dla przekrojów klasy 1 a także częściowo klasy 2 aby w pełni
wykorzystać nośność, obliczenia statyczne należy wykonać
metodami teorii plastyczności (np. Metodą Nośności Granicznej).
W pozostałych przypadkach obliczenia należy prowadzić metodami
teorii sprężystości.
Zastawienie metod obliczeniowych i metod wymiarowania
przekroju przy wykorzystaniu pełnej nośności w poszczególnych
klasach przedstawiono w tablicy.
ELEMENTY ZGINANE  BELKI
Podsumowanie