Egzamin z Algebry, 30 I 2009 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1
1 Wyznaczyć część rzeczywistą liczby zespolonej
2
2 + i
z =
1 - i
RozwiÄ…zanie:
2 + i (2 + i)(1 + i) 2 + 2i + i - 1 1 3
z = = = = + i
1 - i (1 - i)(1 + i) 2 2 2
1
Re z =
2
2 Obliczyć wyznacznik macierzy C 1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 1 0
ïÅ‚ śł
1 1 1 1
ïÅ‚ śł
C = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 0 3
0 0 0 1
RozwiÄ…zanie:


0 0 1 0

1 1 1

1 1 1 1 1 1

|C| = = 1 · (-1)1+3 1 2 3 = 1 · 1 · (-1)1+3 = 1


1 2 0 3 1 2

0 0 1

0 0 0 1
Stosujemy rozwinięcia Laplace a najpierw względem pierwszego wiersza, po-
tem względem trzeciego wiersza.

3 Wyznaczyć macierz M = K · P jeżeli: 5 10
îÅ‚ Å‚Å‚
1 3

ïÅ‚ śł
K = 1 2 3 , P = 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
0 1
RozwiÄ…zanie:

M = 1 + 4 + 0; 3 + 4 + 3 = 5 10
4 Wyznaczyć wektor kierunkowy prostej l opisanej w postaci krawędziowej: [1, 1, -3]

2x + y + z - 1 = 0
l :
x - y = 0
RozwiÄ…zanie:


i j k


= [2, 1, 1] × [1, -1, 0] = 2 1 1 = j - 2k - k + i = [1, 1, -3]
v


1 -1 0
Uwaga: Dowolny wektor równoległy do ( czyli k ) też jest wektorem
v v
kierunkowym tej prostej.
"
5 Obliczyć odległość punktu P (1, 1, 1) od środka sfery S o równaniu: 2
S : x2 + y2 + z2 - 2x - 4 = 0
RozwiÄ…zanie:
x2 + y2 + z2 - 2x - 4 = 0 ; (x - 1)2 - 1 + y2 + z2 - 4 = 0
(x - 1)2 + y2 + z2 = 5
Åšrodek sfery jest w punkcie O(1, 0, 0)
" "
OP = 02 + 12 + 12 = 2
1
2. Obliczyć

1
3
(1 - i)2
Wynik podać w postaci kononicznej (algebraicznej)
RozwiÄ…zanie:
1 1 1 i
= = =
(1 - i)2 1 - 2i + i2 -2i 2
Przekształacamy do postaci trygonometrycznej
i 1 Ä„ Ä„
= (cos + i sin )
2 2 2 2
StÄ…d:


Ä„ Ä„
1 Ą Ą 1 + 2kĄ + 2kĄ
3
2 2
"
zk = (cos + i sin ) = cos + i sin =
3
2 2 2 3 3
2

1 (4k + 1)Ä„ (4k + 1)Ä„
"
cos + i sin , k = 0, 1, 2
3
6 6
2
Odpowiedż:
"
" " "

3 3
1 Ä„ Ä„ 1 3 1 4 3 4
" "
z0 = cos + i sin = + i = + i
3 3
6 6 2 2 4 4
2 2
" " " "

3 3
1 5Ä„ 5Ä„ 1 3 1 4 3 4
" "
z1 = cos + i sin = - + i = - + i
3 3
6 6 2 2 4 4
2 2
"

3
1 9Ä„ 9Ä„ 4
"
z2 = cos + i sin = -i
3
6 6 2
2
2
3. Wyznaczyć liczby zespolone z , dla których macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 z
ïÅ‚ śł
A = 0 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
z2 1 1
jest odwracalna. Dla z = -1 wyznaczyć macierz A-1
RozwiÄ…zanie:
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny
od zera.
|A| = 1 - z3
Rozwiązujemy równanie:
|A| = 0
1 - z3 = 0
z3 = 1
"
3
z = 1
1 = 1(cos 0 + i sin 0)
2kĄ 2kĄ
zk = cos + i sin , k = 0, 1, 2
3 3
z0 = cos 0 + i sin 0 = 1
"
2Ä„ 2Ä„ 1 3
z1 = cos + i sin = - + i
3 3 2 2
"
4Ä„ 4Ä„ 1 3
z2 = cos + i sin = - - i
3 3 2 2
Odpowiedż 1:
" "
3 3
Macierz jest odwracalna dla z = i '" z = -1 + i '" z = -1 - i

2 2 2 2
Dla z = -1 mamy:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -1
ïÅ‚ śł
A = 0 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
1 1 1
|A| = 2 = 0

îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
ïÅ‚ śł
AT = 1 1 1 ûÅ‚
ðÅ‚
-1 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1
ïÅ‚ śł
AD = 0 2 0 ûÅ‚
ðÅ‚
-1 0 1
Odpowiedz
2:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1
1 1
ïÅ‚ śł
A-1 = AD = 0 2 0 ûÅ‚
ðÅ‚
|A| 2
-1 0 1
3
4. Podać liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru p " R
Å„Å‚
ôÅ‚ x + p2y + z = -p
òÅ‚
x + y - pz = p2
ôÅ‚
ół
y + z = 1
RozwiÄ…zanie:
Badamy rzÄ…d macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 p2 1
ïÅ‚ śł
A = 1 1 -p ûÅ‚
ðÅ‚
0 1 1
W tym celu rozwiązujemy równanie: |A| = 0
|A| = 1 + 1 + p - p2 = -p2 + p + 2
-p2 + p + 2 = 0
" = 9
p1 = 2 , p2 = -1
Odpowiedz
1:
Dla p = 2 '" p = -1 rząd A jest równy 3. Wtedy rząd macierzy AR też jest równy 3 i

układ ma jedno rozwiązanie.
Dla p = 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 1
ïÅ‚ śł
rzA = rz 1 1 -2 ûÅ‚
ðÅ‚
0 1 1
ponieważ |A| = 0 więc rzA 2


1 4

ponieważ = -3 = 0 więc rzA 2 (skreślamy 3 wiersz i 3 kolumnę)


1 1
stÄ…d rzA = 2
Badamy rzÄ…d:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 1 -2
ïÅ‚ śł
rzAR = rz 1 1 -2 4 ûÅ‚
ðÅ‚
0 1 1 1


4 1 -2


ponieważ 1 -2 4 = -8+4-2-4-16-1 = -27 = 0 więc rzAR = 3 (skreślamy



1 1 1
pierwszÄ… kolumnÄ™)
Odpowiedz
2: Dla p = 2 układ jest sprzeczny
Dla p = -1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
ïÅ‚ śł
rzA = rz 1 1 1 ûÅ‚
ðÅ‚
0 1 1
ponieważ |A| = 0 więc rzA 2


1 1

ponieważ = -3 = 0 więc rzA 2 (skreślamy 1 wiersz i 3 kolumnę)


0 1
stÄ…d rzA = 2
4
Badamy rzÄ…d:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
rzAR = rz 1 1 1 1 = rz 1 1 = 2 (skreślamy kolumny proporcjonalne)
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 1 1 0 1


1 1

ponieważ = -3 = 0 więc rzAR = 2 (skreślamy 1 wiersz)


0 1
Odpowiedz
3: Dla p = -1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
jednego parametru.
5
5. Obliczyć objętość czworościanu ograniczonego płaszczyzną 2x + 3y + 6z - 12 = 0 i
płaszczyznami układu współrzędnych.
RozwiÄ…zanie:
Krawędzie czworościanu wychodzące z wierzchołka w początku układu współrzędnych
1
są do siebie prostopadłe, więc objętość czworościanu będzie równa V = abc iloczynu
6
długości tych krawędzi.
Szukamy punktów przecięcia płaszczyzny z osiami układu współrzędnych:
2x + 3y + 6z - 12 = 0
2x + 3y + 6z = 12
x y z
+ + = 1
6 4 2
stÄ…d: a = 6 , b = 4 , c = 2
Odpowiedz
:
1
V = · 6 · 4 · 2 = 8
6
6
6. Dane sÄ… trzy punkty: A(4, 1, -2) , B(2, 0, 0) , C(-2, 3, 8) . Znalez
ć równanie prostej
przechodzÄ…cej przez punkt B i przecinajÄ…cej prostÄ… AC pod kÄ…tem prostym.
RozwiÄ…zanie:
Sposób 1:
Szukamy rzutu B punktu B na prostÄ… AC . Szukana prosta jest prostÄ… BB .
Sposób 2:
-

Wektor kierunkowy szukanej prostej jest prostopadły do wektora AC = [-6, 2, 10] .
v
Szukana prosta leży na płaszczyz
nie ABC , więc jest prostopadły do wektora
v n
normalnego tej płaszczyzny.
- -

Wektor jest prostopadły do wektorów AB = [-2, -1, 2] i AC.
n
Ponieważ interesują nas tylko kierunki, a długości wektorów i są nieistotne, więc
n v
możemy przyjąć:


i j k

- -


= AB × AC = -2 -1 2 = [-14, 8, -10]
n


-6 2 10


i j k

-


= × AC = -14 8 -10 = [100, 200, 20]
v n


-6 2 10
Zamiast obliczonego wektora bierzemy wektor równoległy do niego:
= [5, 10, 1]
v
Odpowiedz
:
Równanie szukanej prostej: ( punkt B, wektor kierunkowy
v)
x - 2 y z
= =
5 10 1
7