FIZYKA (W3 prof. Lidia Maksymowicz)
Siły zachowawcze. Energia kinetyczna i potencjalna. Praca.
1.) Praca na drodze cząstki w ruchu.
Różniczkowa praca siły jest zdefiniowana jako praca wykonana przez siłę F na odcinku DE, jeżeli siła działa na odcinku AB :
WAB := ∫(A,B) F ° dr (1)
WAB := ∫(A,B) F cos∠(F, dr) dr (1a)
We wzorze (1) siła F jest wypadkową wszystkich sił działających na daną cząstkę.
WAB = ∫(A,B) m (dV / dt) ° dr (2)
dr = V dt
WAB = m ∫(A,B) (dV / dt) ° V dt (2a)
(dV / dt) ° V = d (V2) / dt = 2 V (dV / dt) ⇒ (dV / dt) ° dV = (1 / 2)(dV2 / dt)
WAB = (1 / 2) m ∫(A,B) (dV2 / dt) dt = (1 / 2) m ∫(A,B) d(V2) = [(1 / 2) m V2] (VA,VB) =
= (1 / 2) m VB2 - (1 / 2) m VA2
WAB = (1 / 2) m (VB2 - VA2)
Jest to różnica energii kinetycznej jaką osiągnie cząstka przemieszczając się od punktu A do B.
Wniosek:
Praca wykonana nad cząstką swobodną (nie posiadającej energii potencjalnej) jest równa zmianie energii kinetycznej tej cząstki.
2.) Siły zachowawcze - energia potencjalna.
Siła działająca na ciało jest wówczas siłą zachowawczą jeżeli praca wykonana przy przesunięciu od punktu A do B po drodze ACB jest równa pracy wykonanej po drodze ADB. (rys 1)
WAB = ∫(ACB) FC ° dr = ∫(ADB) FC ° dr
Czyli praca niezależna jest od toru łączącego punkty A i B :
W = ∫(ADBCA) FC ° dr = 0
W większości przypadków działania sił na masy mamy do czynienia z siłami zachowawczymi.
Np.:
Praca wykonana przez siłę grawitacji. (rys 2)
WAB := ∫(A,B) F ° dr
F(0, mg)
dr(dx, dy)
F = - j m g
dr = i dx + j dy
F dr = - j m g ° (i dx + j dy) = - m g dy
WAB = ∫(A,B) (- m g) dy = [(- m g) y] (h1,h2) = mgΔh ; Δh = h 1 - h 2
Energię potencjalną definiujemy jako pracę wykonaną przez siły zachowawcze (nie zależną od toru) :
! U AB= ∫(A,B) FC ° dr = UB - UA (3)
Skalarna funkcja U(x, y, z) jest to energia potencjalna związana z siłą zachowawczą FC. Wielkości UB i UA są to wartości tej funkcji skalarnej wyznaczone w końcowych punktach toru.
Przyjmuje się, że punkt B jest w nieskończoności i wówczas
UB → 0
U AB= ∫(A,∞) FC ° dr = - ∫(∞,A) FC ° dr = UA (3a)
Praca wykonana nad cząstką od punktu "∞" gdzie siły FC nie działają do wybranego punktu A, w którym siły te działają (obszar działania pól potencjalnych) jest UA (energia potencjalna w punkcie A).
Równanie (3a) prowadzi do związku analogicznego między UA a FC :
d UA / dr = - FC (3b)
lub
FC = - grad U(x, y, z)
lub
FC = - ∇U(x, y, z) -operator Nabla działający na skalarną funkcję U
Operator Nabla jest następująco zdefiniowany w układzie kartezjańskim jako operator wektorowy :
∇ := i (d / dx)+ j (d / dy)+ k (d / dz)
Np.:
U(x, y, z) = x3 + A y +B z2
dU / dx = 3x2, dU / dy = A, dU / dz = 2 B z
∇U = i 3 x2 + j A + k 2 B z
Pole zachowawcze posiada potencjał skalarny.
Gradient (grad) oznacza operator gradientu, który we współrzędnych kartezjańskich jest zdefiniowany przez ∇.
Gradient ze skalara jest wektorem, który ma kierunek najszybszego wzrostu skalara, a jego wartość liczbowa jest równa pochodnej kierunkowej tego skalara.
Definicja stanu równowagi:
F = - grad U (rys 3)
- Δx = dU / dx < 0 ⇒ F > 0
+Δx = dU / dx > 0 ⇒ F < 0
x1 i x2 - nie są stanami równowagi trwałej
x0 - jest stanem równowagi trwałej.