PODEJMOWANIE DECYZJI W OPARCIU O MODELE PROGNOSTYCZNE.

● Zakładamy, że proces, dla którego konstruujemy prognozę jest wymiarowany.

● Zmienną, t będziemy numerować okresy czasu, dla którego było dokonane wymiarowanie procesu.

t=1, 2, 3,…, n oznacza to, że proces był wymiarowany n - razy.

● Prognozę metodą średniej ruchomej konstruujemy na okres n + 1 (tylko jedną prognozę możemy na ten okres skonstruować).

● Niech y_t oznacza wartość procesu w chwili t, ponieważ t=1, 2, 3,…, n to dysponujemy pomiarami y₁, y₂, y₃, … ,y_n. (pomiary procesu)

● Prognoza procesu na okres kolejny, następny po okresie z danymi statystycznymi polega na wyznaczeniu wartości procesu w chwili n + 1.

● Wyznaczamy prognozę oraz błąd tej prognozy.

● Z wielu prognoz ta prognoza jest lepsza, której błąd ma mniejszą wartość.

PROGNOZA METODY ŚREDNIEJ RUCHOMEJ

● Zakładamy, że dane są pomiary procesu, dla którego konstruujemy prognozę w okresach czasu y₁, y₂, y₃, … ,y_n. Obliczamy prognozę
metodą średniej ruchomej.

● Prognozowanie metodą średniej ruchomej polega na wykorzystaniu przy konstruowaniu tej prognozy, pomiarów procesów wcześniej dokonanych.

● Literą p oznaczymy liczbę okresów czasu i ich wartości, które uwzględniamy przy budowie prognozy

(jeżeli np. p=2 to do prognozy wykorzystujemy 2 pomiary).

● Nauka nie podpowiada ile okresów czasu wziąć konstruując prognozę metoda średniej ruchomej. Ta liczba okresów czasu zależy od charakteru procesu dla którego konstruujemy prognozę.

● Jeżeli pomiary procesu wskazują na to że proces ma charakter zrównoważony, wówczas do konstrukcji prognozy bierzemy mniejszą liczbę okresów.

● Jeżeli pomiary okresu wskazywały na to że proces charakteryzuje się dużymi wahaniami, do konstrukcji prognozy wykorzystujemy większą liczbę okresów.

● Im większa liczba okresów wzięta do prognozy, tym wartość prognozy jest bardziej „wygładzona”.

● Prognozę metody średniej ruchomej wyznaczamy ze wzoru:

● Błąd tej prognozy wyznaczamy ze wzoru:

Gdzie:

n - liczba okresów czasu dla których mamy pomiar procesu

p - liczba okresów czasu wziętych do prognozy

y_t - wartość procesu w chwili t

- prognoza wygasła, gdyż jest wyznaczana dla okresów t=1, 2, 3,…, n tzn. prognoza obliczana dla okresów dla których dysponujemy danymi pomiarami.

● Przykład.

Zakładamy, że sprzedaż cukru na obszarze woj. mazowieckiego kształtuje się według danych zamieszczonych w poniższej tabeli:

t	yt (tyś. ton)
1 2 3 4 5 6	5,5 5,8 6,2 6,0 6,5 6,8

Wyznaczyć prognozę sprzedaży dla okresu czasu o nr 7 oraz błąd tej prognozy, przyjmując, że do prognozy wykorzystano dwa pomiary, p=2.

Prognozę wyznaczamy ze wzoru:

Błąd prognozy obliczamy ze wzoru:

t=1:

brak danych

t=2

brak danych

t=3

t=4

t=5

t=6

t	yt (tyś. ton)
1 2 3 4 5 n=6	5,5 y1 5,8 y2 6,2 y3 6,0 y4 6,5 y5 6,8 y6	--------- --------- 5,65 6,0 6,1 6,25	--------- --------- 0,55 0 0,4 0,55	--------- --------- 0,3025 0 0,16 0,3025
τ=7	6,65

Prognoza sprzedaży cukru na okres 7 kształtować się będzie na poziomie 6,65 ± 0,437.

PROGNOZOWANIE Z WYKORZYSTANIEM ŚREDNIEJ RUCHOMEJ WAŻONEJ

● Założenia:

● Zakładamy, że dane są pomiary procesu dla którego konstruujemy prognozę.

Niech y₁ oznacza wartość procesu w chwili 1

Niech y₂ oznacza wartość procesu w chwili 1

.

.

.

.

Niech y_n oznacza wartość procesu w chwili n

● Prognozę konstruujemy dla chwili n + 1

Niech y₁ będzie zmierzoną wartością procesu w chwili t, gdzie t=1, 2, 3,…, n

Niech p będzie liczbą okresów pomiarów wziętych do prognozy.

• jeśli p=2 to do prognozy bierzemy y₁, y₂

• jeśli p=3 to do prognozy bierzemy y₁, y₂, y₃

● Prognozę wyznaczamy na podstawie wzoru:

Przez τ oznaczyliśmy n + 1

● Waga ω to liczba z przedziału [0,1]

● Im ω jest bliższe jedności, tym pomiar wzięty do prognozy jest ważniejszy (odgrywa większą rolę w prognozie).

● Niech p=2, wówczas np. ω₁=0,1; ω₂=0,9, tak że

● Prognoza obarczona jest błędem, który wyznaczamy ze wzoru:

● Prognoza wygasła obliczona jest dla okresu od t=1 do t=n według wzoru:

● Prognoza
jest tym lepsza im błąd tej prognozy jest mniejszy.

● Przykład

Wielkość nakładów inwestycyjnych polskich firm w mld. zł w latach 1990÷1999 kształtuje się według danych przedstawionych w tabeli:

Lp.	Lata	Nakłady (w mld zł) yt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999	37,56 36,02 36,16 36,99 39,99 46,83 55,82 68,22 78,58 83,80

p=2, ω₁=0,1; ω₂=0,9

Prognoza wygasła

t=1

brak danych

t=2

brak danych

t=3

t=4

t=5

t=6

t=7

t=8

t=9

t=10

Błąd prognozy wynosi:

Lp.	Lata	Nakłady (w mld zł) yt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999	37,56 36,02 36,16 36,99 39,99 46,83 55,82 68,22 78,58 83,80	-------- -------- 36,174 36,146 36,907 36,690 46,146 54,921 66,980 77,544	-------- -------- -0,014 0,844 3,083 7,140 9,674 13,299 11,6 6,256	-------- -------- 0,001 0,712 9,505 50,980 93,586 176,863 134,560 39,138

PROGNOZOWANIE METODĄ TRENDU

● Zakładamy, że proces dla którego konstruujemy prognozę był mierzony, wymiarowany oznaczymy przez y_t - wartość procesu w chwili o nr t.

● Dla określoności przyjmujemy, że t=1, 2, 3,…, n, oznacza to, że proces był wymiarowany n-razy.

● Prognozę opracowujemy na okresy τ > n, z powyższego wynika, że możemy prognozować metodą trendu na kilka okresów leżących poniżej okresów z danymi pomiarami.

● Prognozować będziemy wykorzystując do tego celu prostą postaci

● Aby móc prognozować wykorzystując linię trendu należy na podstawie danych statystycznych wyznaczyć wartość liczbową β a następnie wartość liczbową α.

● Współczynnik β wyznaczamy na podstawie wzoru:

gdzie:

n - liczba pomiarów procesu

t - bieżąca numeracja okresów czasu w których dokonywany był pomiar procesu

- średnia arytmetyczna okresów czasu:

y_t - wartość procesu w chwili t

- średnia arytmetyczna wartości procesu:

● Współczynnik α wyznaczamy ze wzoru:

● Wyznaczamy prognozę:

● Każda prognoza obarczona jest błędem. Błąd prognozy wyznaczamy na okres τ obliczany ze wzoru:

gdzie:

s² - błąd liczony dla prognoz wygasłych i wyznaczany ze wzoru:

gdzie:

- prognoza wygasła obliczana ze wzoru

dla t=1, 2, 3,…, n

● Przykład

Skup mleka w woj. Mazowieckim kształtował się w ostatnich 10 okresach wg danych zamieszczonych w tabeli. Wyznacz prognozę skupu mleka dla okresu 11, 12, 13, dla każdego z tych okresów wyznacz błąd prognozy.

t	yt (mln l)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3,8 4,2 3,7 5,1 5,2 5,3 5,3 5,5 6,0 6,5

Prognozę wyznaczamy ze wzoru:

τ=11, 12, 13

Współczynnik β wyznaczamy ze wzoru:

Współczynnik α wyznaczamy ze wzoru:

τ=11

τ=12

τ=13

t	yt (mln l)	t-5,5	(t-5,5)^2	yt-5,06	(t-5,5)·(yt-5,06)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3,8 4,2 3,7 5,1 5,2 5,3 5,3 5,5 6,0 6,5	-4,5 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5	20,25 12,25 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25 20,25	-1,26 -0,86 -1,36 0,04 0,14 0,24 0,24 0,44 0,94 1,44	5,67 3,01 3,4 -0,06 -0,07 0,12 0,36 1,1 3,29 6,48	0,009 0,127 -0,655 0,463 0,281 0,099 -0,183 -0,265 -0,047 0,171	0,000081 0,016129 0,429025 0,214369 0,078961 0,009801 0,033489 0,070225 0,002209 0,029200
			82,5		23,3		0,883489
11 12 13

METODA WYZNACZANIA PROGNOZY PRZEDZIAŁOWEJ METODĄ TRENDU.

● Przyjmujemy, że proces dla którego konstruujemy prognozę był mierzony, dla jednoznaczności przyjmujemy, że liczba pomiarów procesu jest równa n.

● Oznaczmy przez y_t wartość procesu w chwili t

● Prognozę przedziałową obliczamy w dwóch etapach

Etap I

● Dla zadanych y_t wyznaczamy współczynniki równania trendu β i α z wykorzystaniem których konstruować będziemy prognozę na okresy o numerach τ

● Współczynnik β wyznaczamy na podstawie wzoru:

gdzie:

n - liczba pomiarów procesu

t - bieżąca numeracja okresów czasu w których dokonywany był pomiar procesu

- średnia arytmetyczna okresów czasu:

● Współczynnik α wyznaczamy ze wzoru:

● Po wyznaczeniu prognoz
na okresy τ, τ=n+1, n+2, n+3… obliczamy błąd prognozy:

gdzie:

s² - błąd liczony dla prognoz wygasłych i wyznaczany ze wzoru:

gdzie:

- prognoza wygasła obliczana ze wzoru

dla t=1, 2, 3,…, n

● Mając wyznaczone wielkości w etapie I przystępujemy do etapu II - wyznaczania prognozy przedziałowej.

Etap II

● Prognoza przedziałowa składa się z lewego i prawego odcinka tej prognozy, a więc aby znać prognozę przedziałową należy dla każdego τ obliczyć A_τ i B_τ.

● A_τ wyznaczamy ze wzoru:

● B_τ wyznaczamy ze wzoru:

gdzie:

- wyznaczana prognoza na okres o numerach τ

- błąd prognozy

γ - poziom ufności z którym wyznacza się dany przedział. Jeśli np. γ=0,7 oznacza to, że 7 razy na 10 przypadków wyznaczania prognozy, prognoza ta będzie należeć do przedziału; analogiczna interpretacja dla każdego γ.

t_{1- γ, n-2} - wielkość wyznaczana z tablic rozkłady t-Studenta dla: n-2 numer wiersza tablicy rozkładu t-Studenta; 1- γ numer kolumny tablicy rozkłady t-Studenta.

● UWAGA ●●●●●

Obliczenia związane z wyznaczeniem prognozy przedziałowej przeprowadzamy w analogicznych tablicach jak przy wyznaczaniu prognozy punktowej. Liczba kolumn tej tablicy wynika z rozpisanych wzorów związanych z wyznaczaniem prognozy przedziałowej.

METODA BROWNA PROGNOZOWANIA NA JEDEN OKRES

● Przyjmujemy, że proces dla którego prognozowany jest przebieg podlega wymiarowaniu, przez y_t oznaczymy wartość procesu w chwili t.

Dla jednoznaczności przyjmujemy t=1, 2, 3,…, n

● Przez
oznaczymy prognozowaną wartość procesu dla okresu o nr τ.

τ=n+1

● Prognozowanie przeprowadzać będziemy z uwzględnieniem następującego wzoru:

gdzie:

α - jest liczbą z przedziału <0, 1> i α dobierane jest w zależności od prognozowanego procesu.

q_t - wyznaczamy ze wzoru:

● Jeśli indeks t jest równe τ wówczas otrzymujemy prognozę oznaczoną symbolem

● Aby można było skorzystać z powyżej przytoczonych wzorów rekurencyjnych należy dla

t=1 przyjąć: q₁=0 i

● Prognoza obarczona jest błędem. Błąd prognozy wyznaczamy na podstawie następującego

wzoru:

● Ponieważ prognoza
zależy od przyjętego α to i wielkość błędu jest funkcją α.

● Należy, więc rozwiązać następujące zadanie optymalizacyjne: wyznaczyć takie
dla którego
osiągać będzie wartość minimalną, tj.

● Przykład

Sprzedaż materiałów napędowych benzyny w woj. Mazowieckim kształtowała się wg danych zamieszczonych w tabeli. Obliczyć prognozę dla τ=8, α przyjmujemy 0,6.

t	yt
1 2 3 4 5 6 7	5,8 4,7 5,2 5,1 6,2 6,4 6,5

Dla t=1 przyjąć: q₁=0 i

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

t=6

t=7

τ=8

Błąd prognozy

t	yt	qt
1 2 3 4 5 6 7	5,8 4,7 5,2 5,1 6,2 6,4 6,5	0 -1,1 0,06 -0,076 1,0696 0,6278 0,3511	5,8 5,8 5,14 5,176 5,1304 5,7722 6,1489	0 1,21 0,0036 0,005776 1,1440 0,3941 0,1233
τ = 8			6,35956	2,8808

Sprzedaż benzyny na okres 8 kształtować się będzie na poziomie 3,35956±0,6415

ZMODYFIKOWANA METODA BROWNA WYZNACZENIA PROGNOZY NA OKRES JEDEN, NASTĘPNY PO OKRESIE Z DANYMI POMIARAMI.

● Prognozowanie metodą zmodyfikowanego Browna wymaga znajomości podstawowego Browna

● y_t - pomiar procesu, dla którego konstruujemy prognozę.

● Dla jednoznaczności przyjmujemy, że t=1,2,3,…,n

● Prognozę opracowujemy na okres τ = n+1

● Oznaczymy przez
prognozę dokonaną metodą Browna (zwykłego) wg następującej zależności:

gdzie:

● Dla skorzystania ze wzorów rekurencyjnych przyjmujemy, że:

● Niech
oznacza prognozę metodą zmodyfikowanego Browna wyznaczaną dla okresu o numerze t. Metodę tę wyznaczamy na podstawie następujących wzorów:

gdzie:

dla t=1 przyjmujemy, że
dla t=1,2,3,…,n, n+1 (= τ)

● Prognoza obarczona jest błędem. Błąd prognozy wyznaczamy ze wzoru:

Nietrudno zauważyć, że prognoza metodą zmodyfikowanego Browna zależy od przyjętego α.

Wśród wielu
należy wybrać takie, α dla którego błąd przyjmuję wartość minimalną.

● Przykład

Dane z zakupu węgla na okres 1-5 miesięcy zamieszczone są w poniższej tabeli. Dla α=0,7 wyznacz prognozę metodą zmodyfikowanego Browna dla okresu 6 i błąd tej prognozy.

t	yt
1 2 3 4 5	2,8 2,7 2,5 3,2 3,4

1 etap - liczymy normalnego Browna

2 etap - liczymy zmodyfikowanego Browna

Etap 1:

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

τ=6

Etap 2:

Błąd prognozy:

t	yt	qt
1 2 3 4 5	2,8 2,7 2,5 3,2 3,4	0 -0,1 -0,23 0,631 0,3893	2,8 2,8 2,73 2,569 3,0107	0 0 -0,07 -0,161 0,4417	0 2,8 2,8 2,66 2,408	2,8 -0,1 -0,3 0,54 0,992	7,84 0,01 0,09 0,2916 0,9841
τ = 6			3,27943		3,4524		9,2157

Prognoza sprzedaży węgla w okresie 6 kształtuje się na poziomie 3,4524±1,3576

16

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ZADANIE:

Oblicz prognozę metodą trendu, mając dane z 12 okresów, prognozę wyznaczyć dla 13 i 14 okresu.

Obliczyć błąd tych prognoz.

ZADANIE

Dla danych zawierających n=12 okresów, wyznaczyć prognozę przedziałową na okresy 13 i 14 przyjmując γ=0,8

ZADANIE

Dla danych zawierających 7 okresów obliczyć prognozę metodą zmodyfikowanego Browna i wyznaczyć błąd prognozy.

---