Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności żyroskopu
Grupa L02

Teoria:

Moment bezwładności, moment siły i moment pędu – definicje i relacja między tymi wielkościami.

Moment pędu (L) to podstawowa i ważna wielkość fizyczna, związana z ruchem obrotowym ciał wokół osi. Ma ona charakter takiego wektora, który jest wynikiem iloczynu wektorowego wektora odległości ciała od osi (r) i jego wektora pędu (p).

L = r x p

Jako, że iloczyn wektorowy to dosyć skomplikowana operacja, postaramy się teraz rozpisać jak oblicza się składowe wektora, będącego wynikiem iloczynu wektorowego, mając dane składowe wektorów mnożonych: r = (x, y, z), p = (p_x, p_y, p_z):

L _x= yp_z - zp_y
L_y = zp_x - xp_z
L_z = xp_y - yp_x

Jeżeli wektory r i p leżą np. w płaszczyźnie XY, to mają jedynie składowe x i y.
Z powyższych trzech wzorów łatwo obliczyć, że jedyną niezerową składową momentu pędu będzie wtedy składowa L_z, czyli ta prostopadła do płaszczyzny XY i mająca kierunek osi obrotu.
Jest to ogólna cecha każdego wektora, będącego wynikiem iloczynu wektorowego. Jest on zawsze prostopadły do płaszczyzny, w której znajdują się wektory składowe iloczynu. Wielkość xF_y - yF_x to składowa zet tzw. momentu siły (τ). A więc ogólnie możemy napisać:

dL/dt = τ = r x F

Ostatni wzór oznacza, że wypadkowy moment siły działający na ciało równy jest szybkości zmian momentu pędu ciała. Jest to odpowiednik znanego w fizyce wzoru:

dp/dt = F

Jeśli wypadkowy moment siły równy jest zero, to moment pędu ciała nie zmienia się. Jest to tzw. zasada zachowania momentu pędu. Potocznie można tę zasadę ująć tak: "jeśli nic ciała nie rozkręca, to będzie się ono zawsze kręcić tak samo szybko (pomijając tarcie)".
Istnieje jeszcze w matematyce i fizyce wzór, który pozwala obliczyć wartość całego wektora powstałego z iloczynu wektorowego.

Ma on postać (na przykładzie momentu siły):

τ = rF sinα

gdzie: τ - wartość wektora momentu siły, r - odległość ciała od osi, F - wartość siły działającej na ciało, α - kąt pomiędzy wektorami odległości i siły.

Widzimy, że wartość momentu siły rośnie, gdy rośnie odległość ciała od osi i wartość działającej siły. Jeśli chodzi o kąt α, to daje on największe τ, gdy wynosi 90^o (bo wtedy sinα = 1) oraz wartość minimalną: zero dla 0^o i 180^o (bo wtedy sinα = 0).
I to dlatego moment pędu Ziemi względem osi przechodzącej przez Słońce jest niezmienny. Po prostu, wektor odległości Ziemi od Słońca i wektor siły grawitacyjnej tworzą ze sobą kąt 180^o (siła działa wzdłuż linii łączącej Ziemię i Słońce), czyli moment siły grawitacyjnej = 0.

Gdy ciało obraca się po torze kolistym, wektory odległości wszystkich jego punktów materialnych od osi i ich odpowiednie wektory pędu, tworzą ze sobą kąt 90^o.
Zatem moment pędu całego ciała to:

L = ∑ r_ip_i sin 90^o = ∑ r_ip_i = ∑ m_iv_ir_i

Każdy z punktów materialnych takiego ciała zakreśla w czasie dt taki sam kąt, więc każdy ma tę samą prędkość kątową ω = v_i/r_i. Możemy zatem zapisać:

L = ω ∑ m_ir_i²

Wielkość ∑ m_ir_i² to tzw. moment bezwładności ciała. Jest on tym większy im masa tego ciała bardziej oddalona jest od osi obrotu. Oznaczamy go symbolem I.

L = Iω

Wzór powyższy jest odpowiednikiem znanego wzoru na pęd: p = mv. Wynika z niego, że jeżeli moment pędu ciała jest stały, a jego moment bezwładności maleje, to jego prędkość kątowa (obrotu) rośnie (i odwrotnie). Zależność tą można łatwo dostrzec obserwując łyżwiarkę, która kręci się na lodzie wokół własnej osi i nagle przyciąga ręce do siebie. Wtedy jej prędkość obrotów wyraźnie wzrasta.

Zasada zachowania momentu pędu.

Całkowity moment pędu (kręt) układu izolowanego jest wielkością stałą. Układem izolowanym jest tutaj układ, na który nie działają zewnętrzne momenty sił:

Kręt jest stały co do wartości i kierunku. Dobrą ilustracją z.z.m.p. są ewolucje wykonywane przez gimnastyków, ewolucje przy skokach do wody oraz piruety wykonywane przez tancerzy i łyżwiarzy. Wartość krętu jest iloczynem momentu bezwładności i prędkości kątowej. Zmieniając moment bezwładności (np. przez przyciągnięcie rąk do tułowia) można zmienić prędkość kątową wirowania. Zjawisko to ilustruje zależność:

Zasada zachowania krętu jest również wykorzystywana przez kota spadającego na cztery łapy. Z.z.m.p. zmusza konstruktora śmigłowca do umieszczenia w tylnej części maszyny śmigła lub innego urządzenia wytwarzającego zewnętrzny moment siły i zapobiegającego obrotowi kadłuba w kierunku przeciwnym do kierunku obrotów wirnika nośnego. Można również zastosować dwa wirniki nośne obracające się w przeciwnych kierunkach. Konsekwencją z.z.m.p. jest utrzymywanie stałego kierunku w przestrzeni, osi obrotu wirującej bryły (wirujący dysk, pocisk wystrzelony z gwintowanej lufy, giroskop w zawieszeniu Kardana).

Budowa żyroskopu i efekt żyroskopowy.

Budowa żyroskopu:

A - mocowanie zewnętrznego pierścienia,

B - zewnętrzny pierścień,

C - wewnętrzny pierścień,

D - koło zamachowe,

E - ośka,

F - mocowanie,

G – łożysko

Żyroskop jest to urządzenie wynalezione przez francuskiego fizyka Jeana Foucaulta w 1852 roku

i służy do pomiaru, a także utrzymywania położenia kątowego. Działa ono w oparciu

o zasadę zachowania momentu pędu.

W centralnym miejscu znajduje się krążek, który jest zawieszony w podwójnej ramce. Krążek raz wprawiony w szybki ruch obrotowy zachowuje swoje początkowe położenie osi obrotu, z małymi ruchami precesyjnymi które nie są zależne od położenia ramki. Drobne ruchy precesyjne są uwzględniane podczas obliczania kierunku ruchu lub są eliminowane przez tłumienie. Krążek w ramce musi mieć dużą prędkość obrotową, a także być dobrze łożyskowany. W tym celu można użyć łożysk olejowych lub użyć sprężonego powietrza. Można także użyć pola magnetycznego w próżni. Tak skonstruowany żyroskop po nadaniu ruchu krążkowi np.: 24 tysięcy obrotów na minutę wskazuje stały kierunek w przestrzeni z błędem nie większym niż 1° na 14 miesięcy działania w naszym przypadku.

Efekt żyroskopowy polega na tym, że ciało wirujące "stara się" zachować parametry swojego wirowania, w szczególności względne położenie swojej osi obrotu względem inercyjnego układu odniesienia, czyli takiego, w którym spełnia się pierwsza zasada dynamiki Newtona. Próby wymuszenia zmiany położenia swojej osi wywołują zmianę w kierunku osi obrotu obracającego się ciała tzw. precesję. Precesję można zauważyć w przypadku dziecinnej zabawki typu „bączek”. Sam efekt żyroskopowy wynika bezpośrednio z zasady zachowania momentu pędu.

Obliczenia:

W celu precyzyjniejszych obliczeń zmieniłam jednostki z cm na m.

1	-0,09	0,20	10,72	9,71	0,6467	0,614578
			9,40
			9,00
2	-0,08	0,21	10,91	10,73	0,5853	0,60360
			10,90
			10,937
3	-0,07	0,22	13,46	13,13	0,4783	0,64630
			13,53
			12,41
4	-0,06	0,23	16,16	16,22	0,3872	0,68431
			16,53
			15,97
5	-0,05	0,24	20,81	20,62	0,3046	0,72489
			19,75
			21,31
6	0,05	0,34	20,72	20,97	0,2995	0,73724
			21,97
			20,22
7	0,06	0,35	15,00	15,38	0,4083	0,64895
			15,19
			15,94
8	0,07	0,36	12,38	12,62	0,4976	0,62123
			12,69
			12,78
9	0,08	0,37	9,57	9,67	0,6494	0,54402
			9,59
			9,85
10	0,09	0,38	8,50	8,48	0,7406	0,53666
			8,69
			8,25

Dodatkowe dane do zadania:

Obliczam średni czas dla poszczególnych n:

Jednostka:

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

[s]

Obliczam średnią prędkość kątową dla poszczególnych n z wykorzystaniem wyżej obliczonych poszczególnych czasów dla n:

Korzystam ze wzoru:

Jednostka:

Obliczam moją średnią prędkość kątową:

Korzystam ze wzoru:

Jednostka:

Obliczam prędkość kątową dla stałej f=2970 obr/min

Jednostka:

Korzystam ze wzoru::

Obliczam momenty bezwładności dla poszczególnych n:

Jednostka:

korzystam ze wzoru:

przy czym: g=9,81 m/s oraz m= 1,4kg

Obliczam średnią wartość momentu bezwładności żyroskopu:

korzystam ze wzoru:

0,00614578 + 0,00603598 + 0,00646300 + 0,00684309 + 0,00724897 + 0,00737242 + 0,00648959 + 0,00621233 + 0,00544019 + 0,00536655 = 0,00636179

Obliczam moment bezwładności żyroskopu na podstawie znajomości jego masy i wymiarów geometrycznych:

jednostka:

korzystając ze wzoru:

Aby oszacować masę żyroskopu, wykorzystujemy warunek równoważenia się momentów sił, gdy układ znajduje się w stanie równowagi:

Korzystam z zależności:

czyli:

Mogę teraz obliczyć moment bezwładności żyroskopu:

WNIOSKI:

Podczas pomiarów stwierdziłam, że prędkość obrotowa ruchu precesyjnego zależała od przesunięcia ciężarka na ramieniu żyroskopu.

Jeżeli ciężarek przesuwaliśmy do środka osi obrotu żyroskopu (osi ruchu precesyjnego) żyroskop obracał się w lewą stronę. Jeśli przesuwaliśmy ciężarek od osi żyroskopu to ten obracał się w prawo. Wynikało to, ze zmiany momentu obrotowego przyłożonego do ramienia żyroskopu i działającego do dołu. W tym wypadku słuszny jest wzór:

M= I ωp x ω

gdzie: M-wektor momentu siły, I-moment obrotowy żyroskopu,

ωp- prędkość obrotowa ruchu precesyjnego, ω-prędkość wirowa żyroskopu

Ze wzoru tego wynika, ze przy M=0, a więc w położeniu równowagi ciężarka precesja nie występuje nie zależenie od prędkości wirowej żyroskopu i jego momentu bezwładności.

Mogę też dodać, że wartość wyznaczonego przeze mnie momentu bezwładności żyroskopu nie jest zbyt dokładna, ponieważ na wyniki pomiarów wpływ ma wiele czynników:

• brak uwzględnienia momentu bezwładności osi ruchu precesyjnego (modelującej u nas punkt materialny), a także oporu powietrza,

• błąd pomiaru stopera,

• niedokładność czynnika ludzkiego.

Przeprowadzając pomiar, zauważyłam też, że urządzenie wykazuje drgania i myślę, że są to drgania tłumione. Jest to spowodowane różnymi oporami tarcia, z tego też powodu ich amplituda maleje z czasem do zera. Jednak okres tych drgań, jako że jest niezależny od amplitudy, nie ulega zmianie.

Moim zdaniem wartość uzyskana z Rachunku na podstawie masy i wymiarów geometrycznych jest o wiele wiarygodniejsza, niż ta otrzymana z wzoru doświadczalnego, ponieważ nie było koniecznością uśrednianie jakichkolwiek wartości, wszystkie te które potrzebowaliśmy do wyznaczenia momentu bezwładności były nam podane.