Wyznaczanie modułu sztywności metodą statyczną

Data Ćwiczenia:	04.11.2011, Piątek TP
Wykonawcy:	Jarosław Raniszewski Aleksandra Ciołek Małgorzata Szwajkowska
Ocena:

Cel ćwiczenia

1. Wyznaczanie modułu sztywności trzech prętów.

2. Sprawdzenie wzoru na okres drgań podłużnych obciążonej sprężyny oraz wyznaczenie modułu sztywności i modułu Younga sprężyny.

Opis metody pomiarowej

Moduł sztywności G pręta wyznacza się korzystając z prawa Hooke'a. Rozważając cylindryczny wycinek pręta o promieniu wewnętrznym r^′ grubości dr′, długości l oraz powierzchni pierścienia S (rys. 1) naprężenie styczne τ wyraża się wzorem 1

τ = G • γ

gdzie: γ - odkształcenie postaciowe

Rys. 1.  Odkształcenie cylindrycznej warstwy odkształcanego druta

γ

Wykorzystując fakt, że $\gamma = \frac{s}{l}$ oraz $\alpha = \frac{s}{r'}$ otrzymujemy równanie 2

$$\tau = G \bullet \frac{r'}{l} \bullet \alpha$$

Naprężenie styczne τ możemy także zapisać jako stosunek siły stycznej F_s do pola powierzchni pierścienia S:

$$\tau = \frac{F_{s}}{S}$$

Po przekształceniu i podstawieniu τ z równania 2 oraz oznaczeniu siły działającej na pierścień o polu S = 2π • r′•dr′ jako dF_sotrzymuje się

$$dF_{s} = 2\pi \bullet r' \bullet G \bullet \frac{r'}{l} \bullet \alpha \bullet dr'$$

Korzystając z układu pomiarowego przygotowanego do wykonania ćwiczenia łatwo możemy wyznaczyć moment siły działający M na pręt równanie 4 mnożymy razy r′

$$dM = \frac{2\pi \bullet G}{l} \bullet {r'}^{3} \bullet \alpha \bullet dr'$$

Całkując po r′ w granicach od r^′ = 0 do r^′ = r otrzymuje się

$$M = \frac{\pi \bullet G \bullet r^{4} \bullet \alpha}{2l}$$

Wyznaczając moduł sztywności G dla sprężyny wykorzystujemy to, że przy rozciąganiu na drut z którego jest wykonana działa moment skręcający M:

M = r_s • m_g • g

gdzie: r_s- promień sprężyny; m_g- masa obciążająca sprężynę

Porównując ze wzorem 6 otrzymuje się

$$r_{s} \bullet m_{g} \bullet g = \frac{1}{2} \bullet \pi \bullet G \bullet r^{4} \bullet \frac{\alpha}{l}$$

gdzie: r- promień drutu; α-kąt o jaki jeden koniec drutu skręca się względem drugiego;

l- długość drutu sprężyny równa 2 • π • r_s • N (N- liczba zwojów sprężyny)

Przyjmując za $\alpha = \ \frac{h}{r_{s}}$, gdzie h- zmiana długości sprężyny otrzymuje się

$$m_{g} = \frac{r^{4} \bullet G}{4 \bullet r_{s}^{3} \bullet N \bullet g} \bullet h$$

Równanie powyższe jest równaniem prostej m_g(h) o nachyleniu a

$$a = \frac{r^{4} \bullet G}{4 \bullet r_{s}^{3} \bullet N \bullet g}$$

Moduł Younga E wyznaczamy wprowadzając sprężynę w drgania torsyjne o okresie drgań T_t

$$T_{t} = 2 \bullet \pi\sqrt{\frac{Z}{D}}$$

gdzie: Z- moment bezwładności masy zawieszonej na sprężynie; D- moment kierujący

Z definicji momentu siły dla kąta β rysunek 2 otrzymuje się

$$D = \frac{M}{\beta}$$

Rys. 2. Sprężyna pobudzona do drgań torsyjnych

W przypadku rozważanej sprężyny moment kierujący wynosi

$$D = E \bullet \frac{\pi \bullet r^{4}}{4 \bullet l}$$

Podstawiając do wzoru 10 oraz podstawiając długość drutu sprężyny l otrzymuje się

$$T_{t} = 2 \bullet \pi\sqrt{\frac{8 \bullet r_{s} \bullet N \bullet Z}{E \bullet r^{4}}}$$

Stanowisko pomiarowe

Stanowisko pomiarowe do wyznaczenia modułu sztywności prętów D jest przedstawione na rysunku 3. Składa się ono z tarczy T o promieniu R. Nici N przeprowadzonej przez bloczki B oraz rowek w tarczy. Na nici N podwieszane są odważniki m, których masa za pośrednictwem nici, bloczków i tarczy wywołuje moment skręcający działający na pręt D. Dzięki zastosowaniu tarczy mamy pewność, że moment siły pozostaje stały.

Rys. 3. Schemat stanowiska do badania modułu sztywności metodą statyczną

Moduł sztywności G wyznaczamy po podstawieniu do wzoru 6 moment siły M = R • m • g oraz przekształceniu do postaci

$$G = \frac{2 \bullet l \bullet R \bullet m \bullet g}{\pi \bullet r^{4}} \bullet \alpha$$

Długość l, grubość 2r pręta oraz promień tarczy R mierzymy przy pomocy suwmiarki o dokładności 0,01mm. Kąt α odczytujemy z podziałki umieszczonej na tarczy.

Niepewność pomiaru modułu sztywności G wyznaczamy ze wzoru

$$G = \sqrt{\left( 4 \bullet \frac{r}{r} \right)^{2} + \left( \frac{\alpha}{\alpha} \right)^{2}} \bullet G$$

gdzie: r to odchylenie standardowe r,

W przypadku wyznaczania modułu sztywności G (rys. 4) oraz modułu Younga (rys. 2) przy pomocy suwmiarki mierzymy długość l, grubość drutu r_s oraz liczymy liczbie zwojów N oraz korzystamy z obciążników m o ustalonej masie. Kąt β odczytujemy z podziałki umieszczonej na tarczy.

Rys. 4. Schemat układu pomiarowego do wyznaczania modułu sztywności metodą statyczną dla sprężyny

Moduł sztywności G sprężyny wyznaczamy przy korzystając z wzoru 10 przekształconego do postaci

$$G = \frac{4 \bullet r_{s}^{3} \bullet N \bullet g \bullet a}{r^{4}}$$

Moduł Younga E wyznaczamy po podstawieniu za $Z = \frac{1}{2}m_{w} \bullet r_{w}$ do wzoru 14 oraz wyznaczeniu E

$$E = \frac{16\pi^{2} \bullet r_{s} \bullet N \bullet m_{w} \bullet r_{w}^{2}}{T_{t}^{2} \bullet r^{4}}$$

Niepewność modułu Younga E w danym przypadku można wyznaczyć z równania

$$E = \sqrt{\left( \frac{r_{s}}{r_{s}} \right)^{2} + \left( 2 \bullet \frac{{T}_{t}}{T_{t}} \right)^{2} + \left( 4 \bullet \frac{r}{r} \right)^{2}} \bullet E$$

gdzie: r_s, r, T_t to odchylenia standardowe danych wielkości

Protokół pomiarowy

Tabela. 1. Wyniki pomiaru masy obciążników

	podstawka	odważniki	tarcza
		1	2
m [g]	344,76	213,99	419,43

Tabela. 2. Wyniki pomiaru wymiarów prętów

Pręt miedziany	l	$$\overset{\overline{}}{l}$$	Δl	d	$$\overset{\overline{}}{d}$$	Δd
	cm	cm	cm	mm	mm	mm
	17,50	17,42	0,1	2,93	2,92	0,01
	17,40			2,92
	17,30			2,93
	17,50			2,92
	17,40			2,90
Pręt aluminiowy	17,40	17,38		2,96	2,97
	17,30			2,97
	17,40			2,96
	17,50			2,98
	17,30			2,99
Pręt stalowy	17,60	17,46		2,96	2,93
	17,50			2,95
	17,40			2,94
	17,50			2,91
	17,30			2,89

Tabela. 3. Wychylenie kątowe tarczy(β) pod zmieniającym się obciążeniem

Układ złożony z :	m g	Pręt miedziany ⁰	Pręt aluminiowy ⁰	Pręt metalowy ⁰	Δφ ⁰
Podstawka	344,76	12	18	5	1
Podstawka+ odważnik nr 5	763,18	29	29	10
Podstawka+ odważnik nr 5 i 1	977,17	34	Zbyt długi układ	17

Tabela. 4. Wyniki pomiaru wymiarów sprężyn

Lp.	Liczba zwojów n	Średnica sprężyny	Grubość drutu d	$$\overset{\overline{}}{d}$$	Δd	Długość drutu l	$$\overset{\overline{}}{l}$$	Δl
		mm	mm	mm	mm	mm	mm	mm
Sprężyna 1	32	11,86	1,11	1,17	0,01	40,23	40,45	0,01
			1,28			40,57
			1,13			40,44
			1,15			40,45
			1,17			40,54
Sprężyna 2	23	14,98	1,30	1,25	0,01	36,53	37,50	0,01
			1,18			37,08
			1,24			38,03
			1,30			37,98
			1,25			37,89

Tabela. 5. Wydłużenie sprężyny pod wpływem obciążników

Obciążenia	sprężyna 1	Δh	sprężyna 2	Δh
	mm	mm	mm	mm
Szalka + obciążnik nr 1	43,35	2,90	39,68	2,18
	42,53	2,08	40,86	3,36
	42,83	2,38	40,95	3,45
	42,98	2,53	40,99	3,49
	43,00	2,55	39,85	2,35
Szalka + obciążnik nr 1 i 2	53,68	13,23	44,57	7,07
	54,68	14,23	44,69	7,19
	53,67	13,22	44,71	7,21
	54,01	13,56	44,72	7,22
	52,94	12,49	44,75	7,25
Szalka + obciążnik nr 1, 2 i 3	64,26	23,81	50,14	12,64
	63,33	22,88	50,13	12,63
	64,37	23,92	50,28	12,78
	64,09	23,64	50,35	12,85
	64,62	24,17	50,30	12,80
Szalka + obciążnik nr 1, 2, 3 i 4	75,58	35,13	57,05	19,55
	75,18	34,73	57,47	19,97
	74,34	33,89	57,62	20,12
	74,40	33,95	57,65	20,15
	74,05	33,60	57,31	19,81
Szalka + obciążnik nr 5	48,33	7,88	42,74	5,24
	48,14	7,69	42,70	5,20
	47,88	7,43	42,71	5,21
	47,95	7,50	42,71	5,21
	48,08	7,63	42,25	4,75

Wyniki obliczeń

a.) Moduł sztywności trzech drutów

Tabela. 6. Moduł sztywności dla prętów

Pręt miedziany	Pręt aluminiowy	Pręt stalowy
GPa	GPa	GPa
39,4 ± 1,7	24,4 ± 1,1	93,6 ± 4
36,1 ± 1,6	33,6 ± 1,5	104 ± 4,5
39,4 ± 1,7	-	78,8 ± 3,4
Średnia: 37,5 ± 1,7	29 ± 1,3	92,1 ± 4

Przykładowe obliczenia

Wartości średnie długości oraz średnicę drutów obliczam w ten sam sposób, za pomocą średniej arytmetycznej.

$$\overset{\overline{}}{l} = \frac{17,5 + 17,4 + 17,3 + 17,5 + 17,4}{5} = 17,4\ cm = 0,174\ m$$

Obliczam moduł sztywności :

$$G = \frac{2 \bullet l \bullet R \bullet m \bullet g}{\pi \bullet r^{4} \bullet \alpha} = \frac{32 \bullet l \bullet R \bullet m \bullet g}{\pi \bullet d^{4} \bullet \alpha}$$

α - kąt w radianach

$$\alpha = \frac{12}{360} \bullet \pi = 0,1\ rad$$

$$G = \frac{23 \bullet 0,174 \bullet 0,1 \bullet 0,34476 \bullet 9,81}{3,14 \bullet \left( 2,92 \bullet 10^{- 3} \right)^{4} \bullet 0,2} = 39,4\ GPa$$

Niepewność modułu sztywności obliczam za pomocą pochodnej logarytmicznej:

$$G = G\left( \frac{m}{m} + \frac{l}{l} + \frac{R}{R} + \frac{4d}{d} + \frac{\alpha}{\alpha} \right) = 39,4 \bullet \left( \frac{{1 \bullet 10}^{- 5}}{0,34476} + \frac{{1 \bullet 10}^{- 2}}{0,1742} + \frac{{1 \bullet 10}^{- 5}}{0,1} + \frac{4{\bullet 10}^{- 5}}{1,46 \bullet 10^{- 3}} + \frac{\pi}{360 \bullet 0,2} \right) = 1,7\ GPa$$

$$\alpha = \frac{\pi}{360}$$

b.) wyznaczenie modułu G sprężyny 1 (tabela nr 1) i dla sprężyny 2 (tabela nr 2).

Tabela

masa	$\overset{\overline{}}{x}$(mm)	G(GPa)	GŚrednie(GPa)
obciążnik nr 1	2,49	192	124
obciążnik nr 1+2	13,35	106
obciążnik nr 1+2+3	23,68	99,6
obciążnik nr 1+2+3+4	34,26	96,7
obciążnik nr 5	7,63	123

Tabela

masa	$\overset{\overline{}}{x}$(mm)	G(GPa)	GŚrednie(GPa)
obciążnik nr 1	2,97	165	183
obciążnik nr 1+2	7,19	202
obciążnik nr 1+2+3	12,74	190
obciążnik nr 1+2+3+4	19,92	170
obciążnik nr 5	5,12	187

Przykładowe obliczenia:

x = h₁-h₀ = 43,35-40,45= 2,9 mm

Wzór na moduł sztywności G

$$r_{s} = \frac{d}{2} = 0,00593\ m$$

c) Moduł Younga

Promień tarczy rw	Masa tarczy mw	Sprężyna (N=32)
m	kg	Ilość obrotów n
0,1	0,52407	5

Promień tarczy rw	Masa tarczy mw	Sprężyna (N=23)
m	kg	Ilość obrotów n
0,1	0,52407	5

$$f = \frac{n}{t} = \frac{5}{10} = 0,5Hz$$

$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,5} = 2\ s$$

$$E = \frac{16\pi^{2} \bullet r_{s} \bullet N \bullet m_{w} \bullet r_{w}^{2}}{T_{t}^{2} \bullet r^{4}} = \frac{16\pi^{2} \bullet 0,00593 \bullet 32 \bullet 0,52407 \bullet {0,1}^{2}}{2^{2} \bullet {0,00059}^{4}} = 335 \bullet 10^{9}\ \frac{N}{m^{2}}$$

$$E = \sqrt{\left( \frac{r_{s}}{r_{s}} \right)^{2} + \left( 2 \bullet \frac{{T}_{t}}{T_{t}} \right)^{2} + \left( 4 \bullet \frac{r}{r} \right)^{2}} \bullet E = \sqrt{\left( \frac{0,01}{5,93} \right)^{2} + \left( 2 \bullet \frac{0,01}{2} \right)^{2} + \left( 4 \bullet \frac{0,01}{0,59} \right)^{2}} \bullet 335\ GPa = 87,8GPa \approx 88GPa$$

Następnie obliczam współczynnik Poissona:

$$\gamma = \frac{E}{2G} - 1 = \frac{335\ GPa}{2 \bullet 120\ GPa} - 1 = 0,4$$

Wnioski

Moduły sztywności wyliczone dla prętów odbiegają w pewnym stopniu od wartości tablicowych np.: aluminium wartość tablicowa 25GPa, wartość obliczona 29± 1,3GPa. Największy wpływ na niepewność pomiarów miał kąt skręcania, ponieważ jego pomiar był bardzo niedokładny w porównaniu z innymi wielkościami mierzonymi suwmiarką elektroniczną.

Przy wyznaczaniu modułu sztywności G dla sprężyny, można zauważyć pewną prawidłowość, im dłuższe wychylenie sprężyny tym bardziej dokładny wynik modułu sztywności można otrzymać. Otrzymana wartość współczynnika Poissona mieści się w granicach od 0,2 do 0,4