Koniunkcja p i q
Oznaczenie: p ∧ q
Przykład: Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, jeśli obaj są lekarzami. Fałsz, gdy choć jeden z nich nie jest lekarzem.
Koniunkcja jest więc prawdziwa tylko wtedy, gdy oba jej człony są (jednocześnie) prawdziwe. Na określenie koniunkcji używa się także terminów współprawdziwość lub iloczyn logiczny. W języku naturalnym oprócz spójnika i często koniunkcję wyrażają także a, oraz, lecz, ale, chociaż, mimo że, zaś. Spójniki te nie są w pełni zamienne, gdyż język naturalny wyraża nie tylko związki prawdziwościowe, ale i treściowe (które logika nie interesują). W informatyce i elektronice koniunkcję wyraża spójnik And. Niekiedy koniunkcję oznacza się p · q.
Binegacja ani p, ani q
Oznaczenie: p ↓ q
Przykład: Ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, jeśli żaden z nich nie jest lekarzem. Fałsz, gdy choć jeden z nich jest lekarzem.
Binegacja jest koniunkcją negacji. Współczesny język polski wymaga tu zmiany formy czasownika na przeczącą, wyrażenia z formą twierdzącą czasownika są dziś wyraźnie przestarzałe (jak cytowane w WSPP zdanie ani chcę, ani umiem odejść od ciebie). W analizie logicznej nie wolno zapominać, że partykuła nie nie jest częścią zdania składowego. Jeśli więc p = Kowalski jest lekarzem, a q = Malinowski jest lekarzem, wówczas p ↓ q = ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem. Czasami występują inne konstrukcje, jak nie… ani…, np. nie umiał śpiewać ani tańczyć (błędne byłoby nie… i…, np. ! nie umiał śpiewać i tańczyć), albo nie… ale też nie…, np. nie był dziś zbyt wesoły, ale też się nie smucił. Na określenie binegacji używa się także terminów współfałszywość lub negacja łączna. W informatyce i elektronice binegację wyraża spójnik Nor.
Alternatywa p lub q
Oznaczenie: p ∨ q
Przykład: Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, jeśli jeden z nich jest lekarzem lub obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.
W języku naturalnym spójnik lub nie zawsze oznacza rzeczywiście alternatywę. Mówiący czasem chcą tylko zwrócić uwagę, że prawdziwe może być albo zdanie p, albo zdanie q, i nie chcą lub nie mogą wykluczyć prawdziwości obu tych zdań jednocześnie. Dla uniknięcia niejednoznaczności należałoby więc powiedzieć na przykład lekarzem jest Kowalski, Malinowski lub obaj. Zwyczaj pisania lub/i, jak np. lekarzem jest Malinowski lub/i Kowalski nie jest natomiast godny polecenia: po pierwsze jest to wyraz niewolniczego naśladowania tradycji obcej (angielskiej), po drugie zdania takiego nie da się przecież przeczytać. Dla odróżnienia od następnych związków logicznych alternatywę nazywa się także alternatywą zwykłą, niewyłączającą, niewykluczającą lub nierozłączną. Używa się także terminów niewspółfałszywość, podprzeciwieństwo logiczne lub suma logiczna. W informatyce i elektronice alternatywę wyraża spójnik Or. Niekiedy alternatywę oznacza się p + q.
Dysjunkcja p bądź q
Oznaczenie: p | q
Przykład: Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, gdy najwyżej jeden z nich jest lekarzem, to znaczy albo Kowalski, albo Malinowski, albo żaden z nich. Fałsz, gdy obaj są lekarzami
Odróżnienie dysjunkcji (zwanej też czasem dysjunkcją Scheffera) od alternatywy rozłącznej sprawia trudności autorom chyba wszystkich polskich słowników i encyklopedii. Autorzy ci niesłusznie utożsamiają oba pojęcia. Co gorsza, w źródłach anglojęzycznych (i niekompetentnie tłumaczonych z angielskiego) termin „dysjunkcja” odnosi się nawet do alternatywy zwykłej. Kłopoty leksykografów z dysjunkcją biorą się być może stąd, że trudno ją oddać w języku naturalnym. Niektórzy logicy (jak Z. Kraszewski) proponują tu pojedynczy spójnik albo, inni proponują spójnik złożony co najwyżej… albo…, który jest bardziej wyrazisty i łatwiej zrozumiały. W języku prawniczym dysjunkcję wyraża spójnik bądź… bądź… (także pojedyncze bądź), zrozumiały byłby też spójnik złożony co najwyżej… bądź…. Istnieje także możliwość, aby dysjunkcję wyrazić spójnikiem może… (a) może…, np. może Kowalski jest lekarzem, a może Malinowski jest lekarzem; dla jasności odbioru znaczenia dysjunktywnego można dodać a może żaden z nich.
Na określenie dysjunkcji używa się również określeń niewspółprawdziwość lub przeciwieństwo logiczne. W informatyce i elektronice dysjunkcję wyraża spójnik Nand. Symbolem tego związku zamiast kreski prostej bywa także ukośnik: p / q.
Uwaga: w wielu systemach logicznych nie rozpatruje się dysjunkcji jako odrębnej relacji i zastępuje negacją koniunkcji.
Alternatywa rozłączna p albo q
Oznaczenie: p ⊻ q
Przykład: Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, gdy dokładnie jeden z nich jest lekarzem. Fałsz, gdy obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.
W logice należy dokładnie rozróżniać spójnik lub od spójnika albo i od spójnika bądź. Każdy z nich ma inne znaczenie, a co gorsza, różni logicy proponują różne konwencje. U Ziembińskiego alternatywę rozłączną może wyrazić pojedyncze albo, za to u Kraszewskiego wymagany jest spójnik podwójny albo… albo…, podczas gdy pojedyncze albo wyraża dysjunkcję. Odróżnianie znaczenia spójnika pojedynczego od podwójnego jest jednak zdecydowanie złym pomysłem: najlepiej byłoby przyjąć, że pojedynczy i podwójny spójnik logiczny wyraża tę samą relację. Najsłuszniej zatem przyjąć, że i alternatywę rozłączną może wyrazić pojedynczy spójnik albo lub złożony albo… albo…, i taką wersję tu przyjmujemy.
Na określenie alternatywy rozłącznej używa się także terminów alternatywa wykluczająca, niezgodność logiczna, sprzeczność logiczna, kontrawalencja, różnica symetryczna lub ekskluzja. W informatyce i elektronice alternatywę rozłączną wyraża spójnik Xor, rzadziej Eor, czasem także ExOr. Ponieważ alternatywa rozłączna oznacza różną wartość logiczną zdań składowych, zapisuje się ją też czasem p ≠ q lub p ⊥ q.
A oto na czym w istocie polega różnica między alternatywą rozłączną a dysjunkcją. Alternatywa rozłączna Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem jest fałszywa, jeżeli żaden z wymienionych panów nie jest lekarzem. Natomiast dysjunkcja Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem pozostaje wówczas prawdziwa.
Choć podręczniki logiki z niejasnych powodów milczą na ten temat, alternatywa rozłączna może być nie tylko związkiem prawdziwościowym - zdarzenie opisane w jednym ze zdań składowych może bowiem być warunkiem (koniecznym i wystarczającym) niezajścia zdarzenia wyrażanego w drugim zdaniu. Wówczas zamiast spójnika albo stosuje się chyba że, np. pójdę na spacer, chyba że się rozpada. Sens takiej wypowiedzi jest następujący: albo deszcz spadnie i wówczas nieprawdą jest, że pójdę na spacer, albo też deszcz nie spadnie, ale wówczas na pewno pójdę pospacerować. Mamy tu więc rzeczywiście do czynienia z ekskluzją. Kolejności zdań nie można zmienić (bo choć logicznie oba są równoważne, to jednak nie są równoważne treściowo). Spójnik chyba że może zostać zastąpiony przez o ile nie (choć słownikarze nie słyszeli o takim użyciu tego spójnika) i taka operacja umożliwia przesunięcie zdania warunkowego (wraz ze spójnikiem) na pierwsze miejsce, choć wówczas sens przestaje być już tak przejrzysty, np. o ile się nie rozpada, pójdę na spacer. W angielskim stosuje się w tym znaczeniu spójnik unless, uważany za synonim if not. Polskie jeżeli nie powinno jednak wyrażać nieco inną relację niż o ile nie - implikację z zaprzeczonym poprzednikiem, równoważną alternatywie zwykłej, a nie rozłącznej.
Uwaga: w pewnych systemach logicznych zamiast alternatywy rozłącznej rozpatruje się negację równoważności. Dlatego właśnie używa się zapisu p ⇎ q lub p ≢ q.
Równoważność p wtedy i tylko wtedy, gdy q
Oznaczenie: p ⇔ q
Przykład: Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda. gdy obaj są lekarzami lub gdy żaden nie jest lekarzem. Fałsz, gdy lekarzem jest tylko jeden z nich.
Równoważność dwóch zdań oznacza, że mają one tę samą wartość logiczną: albo oba są prawdziwe, albo oba są fałszywe. W języku naturalnym dla wyrażenia równoważności używa się form krótszych, np. p [wtedy], gdy q, a także gdy p, [wtedy] q. W logice takich skróceń unika się z uwagi na możliwość pomieszania równoważności z implikacją (można jednak powiedzieć wtedy i tylko, gdy lub zawsze i tylko, gdy).
Gdy jedno ze zdań pozostających w relacji równoważności wyraża warunek (konieczny i wystarczający) zajścia zdarzenia podanego w drugim zdaniu, wówczas używa się spójnika o ile. Mimo że takie jego użycie jest powszechne we współczesnym języku polskim, nie słyszeli o nim słownikarze. Na przykład zdanie pomogę, o ile będzie to możliwe wyraża równoważność: jeśli będzie to możliwe, to na pewno pomogę, ale jeśli nie będzie to możliwe, to na pewno nie pomogę. Kolejność zdań można zmienić (wraz ze spójnikiem), ale wówczas sens staje się mniej przejrzysty: o ile będzie to możliwe, pomogę.
Na określenie równoważności używa się także terminów ekwiwalencja, zamienność lub zgodność logiczna. Równoważność wyraża spójnik Iff, w elektronice używa się także ExNor. W źródłach polskojęzycznych używa się czasem form skróconych wtw (= wtedy i tylko wtedy) lub gddy (utworzone od gdy, analogiczne do ang. iff = if and only if). Czasem zapisuje się ją zwykłym znakiem równości p = q lub symbolem równości tożsamościowej p ≡ q.
Znak ≡ na tej witrynie oznacza identyczność logiczną czyli odpowiedniość logiczną, to jest taką samą wartość logiczną po obu stronach dla każdej możliwej wartości zmiennych. Choć identyczność często (nie zawsze) jest praktycznie równoznaczna z równoważnością logiczną, nie jest jednak właściwą relacją logiczną, gdyż nie analizujemy wszystkich jej możliwych wartości w zależności od argumentów. Różnice między tymi pojęciami okażą się w dalszej części artykułu.
Implikacja jeżeli p, to q
Oznaczenie: p ⇒ q
Przykład: Jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, gdy obaj są lekarzami. Prawda, gdy Kowalski nie jest lekarzem, bez względu na to, czy wówczas Malinowski jest lekarzem, czy nie. Fałsz tylko wtedy, gdy Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nim nie jest.
Implikacja (inaczej wynikanie lub podporządkowanie logiczne) jest jedynym związkiem logicznym (występującym w różnych odmianach), w którym istotna jest kolejność zdań. Implikacja jest więc relacją nieprzemienną, podczas gdy pozostałe relacje są przemienne. W języku potocznym często nie uświadamiamy sobie tej własności implikacji, a słowo jeżeli często jest używane w zupełnie innym znaczeniu.