CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJZMIENNEJ
Funkcję
będzie określona w pewnym otoczeniu punktu
tzn. dla
takich, że
nazywamy ciągłą w
gdy funkcja
posiada w
skończoną granicę oraz
Funkcję
będzie określona i ograniczona w pewnym otoczeniu
punktu
, oraz niech funkcja
będzie nieciągła w
Mówimy, że
ma NIECIĄGŁOŚĆ 1-GO RODZAJU jeżeli istnieje skończona granica jednostronna
,
przy czym, jeżeli
ma granicę
, to nieciągłość funkcji
w
nazywamy USUWALNĄ, a jeżeli nie istnieje granica
to nieciągłość tą nazywamy NIEUSUWALNĄ.
Mówimy, że funkcja
ma w
NIECIĄGŁOŚĆ 2-GO RODZAJU jeżeli nie istnieje choćby jedna z granica jednostronnych.
Twierdzenie 1
Jeżeli funkcja
,
są ciągłe w
, to funkcja
,
są też ciągłe w
.
Jeżeli ponad to
to
jest funkcją ciągłą w
.
TWIERDZENIE O CIĄGŁOŚCI SUPERPOZYCJI FUNKCJI CIĄGŁYCH
Jeżeli funkcja wewnętrzna
jest ciągła w
, a funkcja
jest ciągła
to funkcja złożona
jest ciągła w
.
Niech funkcja
będzie określona dla
,
Mówimy, że funkcja
jest prawostronnie ciągła w
jeżeli
Niech funkcja
będzie określona dla
,
Mówimy, że funkcja
jest lewostronnie ciągła w
jeżeli
Mówimy, że funkcja
jest ciągła na przedział domknięty
jeżeli funkcja
jest ciągła w każdym punkcie
oraz prawostronnie ciągła w
i lewostronnie ciągła
Mówimy, że funkcja
gdzie
jest przedziałem ograniczonym lub nieograniczonym osi rzeczywistej, jest jednostronnie ciągła na
jeżeli
Każda funkcja jednostronnie ciągła na
jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału
. Istnieją funkcje ciągłe, które nie są jednostajnie ciągłe.
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH NA PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM
Zakładamy, że funkcja
jest ciągła na
Funkcja
jest jednostajnie ciągła na
Funkcja
jest ograniczona na
, tzn.
Funkcja
osiąga swoje kresy, tzn. istnieją takie Punty
, że:
Jeżeli
to istnieje taki punkt
, że
Twierdzenie o własnościach Darbouxl
Jeżeli funkcja
jest ciągła na przedziale
(niekoniecznie domkniętym) oraz przyjmuje w punktach
dwie różne wartości
to funkcja
w przedziale
przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między
,
tj.
Wniosek
Wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym
wypełnia przedział domknięty
Jeżeli funkcja
jest funkcją różnowartościową, ciągłą na przedziale domkniętym
to funkcja odwrotna
jest ciągła na przedział
2