wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka


08.12.2009

Twierdzenie 1

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
,0x01 graphic
są ciągłe w 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
,0x01 graphic
są też ciągłe w 0x01 graphic
.

Jeżeli ponad to 0x01 graphic
to 0x01 graphic
jest funkcją ciągłą w 0x01 graphic
.

Twierdzenie 2 o ciągłości superpozycji funkcji ciągłych

Jeżeli funkcja wewnętrzna 0x01 graphic
jest ciągła w 0x01 graphic
, a funkcja 0x01 graphic
jest ciągła 0x01 graphic
to funkcja złożona 0x01 graphic
jest ciągła w 0x01 graphic
.

Definicja

Niech funkcja 0x01 graphic
będzie określona dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
jest prawostronnie ciągła w 0x01 graphic
jeżeli

0x01 graphic

Niech funkcja 0x01 graphic
będzie określona dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
jest lewostronnie ciągła w 0x01 graphic
jeżeli

0x01 graphic

Definicja

Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
jest ciągła na przedział domknięty 0x01 graphic
jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest ciągła w każdym punkcie 0x01 graphic
oraz prawostronnie ciągła w 0x01 graphic

i lewostronnie ciągła 0x01 graphic

Definicja

Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest przedziałem ograniczonym lub nieograniczonym osi rzeczywistej, jest jednostronnie ciągła na 0x01 graphic
jeżeli

0x01 graphic

Każda funkcja jednostronnie ciągła na 0x01 graphic
jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału 0x01 graphic
. Istnieją funkcje ciągłe, które nie są jednostajnie ciągłe.

Własności funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.

Zakładamy, że funkcja 0x01 graphic
jest ciągła na 0x01 graphic

  1. Funkcja 0x01 graphic
    jest jednostajnie ciągła na 0x01 graphic

  1. Funkcja 0x01 graphic
    jest ograniczona na 0x01 graphic
    , tzn.

0x01 graphic
0x01 graphic

  1. Funkcja 0x01 graphic
    osiąga swoje kresy, tzn. istnieją takie Punty 0x01 graphic
    , że:

0x01 graphic
0x01 graphic

  1. Jeżeli 0x01 graphic
    to istnieje taki punkt 0x01 graphic
    , że 0x01 graphic

  1. Twierdzenie o własnościach Darbouxl

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest ciągła na przedziale 0x01 graphic
(niekoniecznie domkniętym) oraz przyjmuje w punktach 0x01 graphic
0x01 graphic
dwie różne wartości 0x01 graphic
0x01 graphic
to funkcja 0x01 graphic

w przedziale 0x01 graphic
przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między 0x01 graphic
, 0x01 graphic
tj.

0x01 graphic

Wniosek

Wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym 0x01 graphic
wypełnia przedział domknięty

0x01 graphic

  1. Jeżeli funkcja 0x01 graphic
    jest funkcją różnowartościową, ciągłą na przedziale domkniętym 0x01 graphic
    to funkcja odwrotna 0x01 graphic
    jest ciągła na przedział 0x01 graphic

Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.

Pochodna funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej:

Niech będzie dana funkcja 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
przyrostem zmiennej niezależnej

w 0x01 graphic
nazywamy różnice 0x01 graphic
a przyrostem zmiennej zależnej w 0x01 graphic
nazywamy różnicę 0x01 graphic
przy czym 0x01 graphic

Iloraz 0x01 graphic
to tzw. iloraz różnicowy.

Jeżeli przy 0x01 graphic
istnieje granica właściwa lub niewłaściwa ilorazu różnicowego 0x01 graphic
funkcji 0x01 graphic
w 0x01 graphic
to punktowi 0x01 graphic
można przyporządkować wyrażenie

0x01 graphic

Zmieniając 0x01 graphic
uzyskujemy funkcję 0x01 graphic
która przyporządkowuje zmienne 0x01 graphic
wyrażenie 0x01 graphic

Definicja

Funkcję 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
nazywamy pochodną funkcji 0x01 graphic
.

We wzorze 0x01 graphic
można rozważać granice jednostronne.

Definicja

Pochodną lewostronną funkcji 0x01 graphic
w 0x01 graphic
nazywamy wyrażenie 0x01 graphic

Definicja

Pochodną prawostronną funkcji 0x01 graphic
w 0x01 graphic
nazywamy wyrażenie 0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
istnieje i jest skończona, to funkcję 0x01 graphic
nazywamy różniczkowalną w 0x01 graphic
.

Twierdzenie 1

Jeżeli funkcja0x01 graphic
określona na przedziale 0x01 graphic
posiada skończoną pochodną 0x01 graphic
0x01 graphic
to funkcja0x01 graphic
jest ciągła w 0x01 graphic
.

Dowód

Ponieważ istnieje skończona granica 0x01 graphic
więc

0x01 graphic

Czyli 0x01 graphic
otrzymaliśmy, że 0x01 graphic
jest ciągła w 0x01 graphic
.

Twierdzenie 2

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
, 0x01 graphic
posiada skończoną pochodną w 0x01 graphic
, to:

  1. Funkcja 0x01 graphic
    gdzie 0x01 graphic
    to funkcja posiada skończoną pochodną w 0x01 graphic
    oraz 0x01 graphic

  1. Iloczyn 0x01 graphic
    posiada skończoną pochodną w 0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Przy dodatkowym założeniu 0x01 graphic
    istnieje pochodna ilorazu

0x01 graphic

1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka

więcej podobnych podstron