08.12.2009
Twierdzenie 1
Jeżeli funkcja
,
są ciągłe w
, to funkcja
,
są też ciągłe w
.
Jeżeli ponad to
to
jest funkcją ciągłą w
.
Twierdzenie 2 o ciągłości superpozycji funkcji ciągłych
Jeżeli funkcja wewnętrzna
jest ciągła w
, a funkcja
jest ciągła
to funkcja złożona
jest ciągła w
.
Definicja
Niech funkcja
będzie określona dla
,
Mówimy, że funkcja
jest prawostronnie ciągła w
jeżeli
Niech funkcja
będzie określona dla
,
Mówimy, że funkcja
jest lewostronnie ciągła w
jeżeli
Definicja
Mówimy, że funkcja
jest ciągła na przedział domknięty
jeżeli funkcja
jest ciągła w każdym punkcie
oraz prawostronnie ciągła w
i lewostronnie ciągła
Definicja
Mówimy, że funkcja
gdzie
jest przedziałem ograniczonym lub nieograniczonym osi rzeczywistej, jest jednostronnie ciągła na
jeżeli
Każda funkcja jednostronnie ciągła na
jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału
. Istnieją funkcje ciągłe, które nie są jednostajnie ciągłe.
Własności funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.
Zakładamy, że funkcja
jest ciągła na
Funkcja
jest jednostajnie ciągła na
Funkcja
jest ograniczona na
, tzn.
Funkcja
osiąga swoje kresy, tzn. istnieją takie Punty
, że:
Jeżeli
to istnieje taki punkt
, że
Twierdzenie o własnościach Darbouxl
Jeżeli funkcja
jest ciągła na przedziale
(niekoniecznie domkniętym) oraz przyjmuje w punktach
dwie różne wartości
to funkcja
w przedziale
przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między
,
tj.
Wniosek
Wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym
wypełnia przedział domknięty
Jeżeli funkcja
jest funkcją różnowartościową, ciągłą na przedziale domkniętym
to funkcja odwrotna
jest ciągła na przedział
Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.
Pochodna funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej:
Niech będzie dana funkcja
dla
przyrostem zmiennej niezależnej
w
nazywamy różnice
a przyrostem zmiennej zależnej w
nazywamy różnicę
przy czym
Iloraz
to tzw. iloraz różnicowy.
Jeżeli przy
istnieje granica właściwa lub niewłaściwa ilorazu różnicowego
funkcji
w
to punktowi
można przyporządkować wyrażenie
Zmieniając
uzyskujemy funkcję
która przyporządkowuje zmienne
wyrażenie
Definicja
Funkcję
gdzie
nazywamy pochodną funkcji
.
We wzorze
można rozważać granice jednostronne.
Definicja
Pochodną lewostronną funkcji
w
nazywamy wyrażenie
Definicja
Pochodną prawostronną funkcji
w
nazywamy wyrażenie
Jeżeli
istnieje i jest skończona, to funkcję
nazywamy różniczkowalną w
.
Twierdzenie 1
Jeżeli funkcja
określona na przedziale
posiada skończoną pochodną
to funkcja
jest ciągła w
.
Dowód
Ponieważ istnieje skończona granica
więc
Czyli
otrzymaliśmy, że
jest ciągła w
.
Twierdzenie 2
Jeżeli funkcja
,
posiada skończoną pochodną w
, to:
Funkcja
gdzie
to funkcja posiada skończoną pochodną w
oraz
Iloczyn
posiada skończoną pochodną w
Przy dodatkowym założeniu
istnieje pochodna ilorazu
1