POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Niech funkcja
posiada skończoną pochodną
na przedziale
.

POCHODNĄ II RZĘDU lub drugą pochodną funkcji
nazywamy pochodną funkcji
przy założeniu, że pochodna ta istnieje. Oznaczamy ją symbolem
.

Ogólnie, pochodna n-tego rzędu lub n-tą pochodną, gdzie
funkcji
nazywamy pochodną skończonej
pochodnej funkcji
. Przy założeniu że ta pochodna istnieje.

Kolejne pochodne funkcji
oznaczamy
,
,
,
…
,

WZÓR LEIBNIZA Jeżeli funkcja
,
posiadają skończoną pochodną do rzędu
włącznie w otoczeniu
to
gdzie
,
dla
z otoczenia
.

TWIERDZENIE WZÓR TAYLORA

Jeżeli funkcja
o wartościach rzeczywistych jest określona w otoczeniu
oraz posiada w
skończona pochodna n-tego rzędu to dla dostatecznie małych
zachodzi wzór.

WZÓR TAYLORA Z RESZTĄ W POSTACI PEANA

gdzie
przy

Reszta w postaci Peana

EKSTREMUM LOKALNE FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJ ZMIENNEJ

Dana jest funkcja
niech

Mówimy, że funkcja
posiada w
MAKSIMUM LOKALNE (MINIMUM LOKALNE) jeżeli istnieje takie otoczenie

Wspólna nazwa dla maksimum i minimum lokalnego to ekstrema lokalne.

WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIE EKSTREMUM

Jeżeli funkcja
określona na przedziale
, posiada w punkcie
skończoną pochodną
oraz posiada w
ekstremum lokalne to

Dowód : Niech np. w
funkcja
ma maksimum lokalne.

Ponieważ istnieje skończona pochodna
więc istnieje pochodna jednostronna

, dla dostatecznie małych
mamy
czyli
, dla dostatecznie małych co do wielkości bezwzględnych
mamy
czyli
zatem
.

Punkt
, w którym zeruje się pochodna
nazywamy punktem stacjonarnym funkcji
.

Jeżeli
to
nie zawsze istnieje ekstremum.

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO

Jeżeli funkcja
posiada w otoczeniu
skończoną pochodna
przy czym
, oraz istnieje pochodna
to:

1. w
   funkcja
   osiąga maksimum właściwe gdy
   

2. w
   funkcja
   osiąga minimum właściwe gdy
   

Dowód: Piszemy wzór Taylora z resztą w postaci Peana dla n=2

dla dostatecznie małych
gdzie
przy

ponieważ
więc

znak prawej strony powyższej równości jest przy małym
jest taki sam jak znak pochodnej
zatem, jeżeli
, to
czyli w
istnieje minimum właściwe. Analogicznie jeżeli
to w
istnieje maksimum właściwe.

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO

Jeżeli funkcja
posiada w otoczeniu
skończoną pochodną do
rzędu włącznie, przy czym
oraz istnieje skończona pochodna
to

1. nie występuje ekstremum lokalne funkcji
   , gdy
   jest liczbą nieparzystą

2. występuje maksimum lokalne właściwe, gdy
   jest liczba parzystą, oraz gdy
   

3. występuje minimum lokalne właściwe, gdy
   jest liczbą parzystą

oraz gdy

3