wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka


POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Niech funkcja 0x01 graphic
posiada skończoną pochodną 0x01 graphic
na przedziale 0x01 graphic
.

POCHODNĄ II RZĘDU lub drugą pochodną funkcji 0x01 graphic
nazywamy pochodną funkcji 0x01 graphic
przy założeniu, że pochodna ta istnieje. Oznaczamy ją symbolem 0x01 graphic
.

Ogólnie, pochodna n-tego rzędu lub n-tą pochodną, gdzie 0x01 graphic
funkcji 0x01 graphic
nazywamy pochodną skończonej 0x01 graphic
pochodnej funkcji 0x01 graphic
. Przy założeniu że ta pochodna istnieje.

Kolejne pochodne funkcji 0x01 graphic
oznaczamy0x01 graphic
,0x01 graphic
,0x01 graphic
,0x01 graphic
0x01 graphic
,0x01 graphic

WZÓR LEIBNIZA Jeżeli funkcja 0x01 graphic
, 0x01 graphic
posiadają skończoną pochodną do rzędu 0x01 graphic
włącznie w otoczeniu 0x01 graphic
to 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
z otoczenia 0x01 graphic
.

TWIERDZENIE WZÓR TAYLORA

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
o wartościach rzeczywistych jest określona w otoczeniu 0x01 graphic
oraz posiada w 0x01 graphic
skończona pochodna n-tego rzędu to dla dostatecznie małych 0x01 graphic
zachodzi wzór.

WZÓR TAYLORA Z RESZTĄ W POSTACI PEANA

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
przy 0x01 graphic

0x01 graphic
Reszta w postaci Peana

EKSTREMUM LOKALNE FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJ ZMIENNEJ

Dana jest funkcja 0x01 graphic
niech 0x01 graphic

Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
posiada w 0x01 graphic
MAKSIMUM LOKALNE (MINIMUM LOKALNE) jeżeli istnieje takie otoczenie 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Wspólna nazwa dla maksimum i minimum lokalnego to ekstrema lokalne.

WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIE EKSTREMUM

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
określona na przedziale 0x01 graphic
, posiada w punkcie 0x01 graphic
skończoną pochodną 0x01 graphic
oraz posiada w 0x01 graphic
ekstremum lokalne to 0x01 graphic

Dowód : Niech np. w 0x01 graphic
funkcja 0x01 graphic
ma maksimum lokalne.

Ponieważ istnieje skończona pochodna 0x01 graphic
więc istnieje pochodna jednostronna

0x01 graphic
, dla dostatecznie małych 0x01 graphic
mamy0x01 graphic
czyli 0x01 graphic
, dla dostatecznie małych co do wielkości bezwzględnych 0x01 graphic
mamy0x01 graphic
czyli 0x01 graphic
zatem 0x01 graphic
.

Punkt 0x01 graphic
, w którym zeruje się pochodna 0x01 graphic
nazywamy punktem stacjonarnym funkcji 0x01 graphic
.

Jeżeli 0x01 graphic
to 0x01 graphic
nie zawsze istnieje ekstremum.

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
posiada w otoczeniu 0x01 graphic
skończoną pochodna 0x01 graphic
przy czym 0x01 graphic
, oraz istnieje pochodna 0x01 graphic
to:

  1. w 0x01 graphic
    funkcja 0x01 graphic
    osiąga maksimum właściwe gdy 0x01 graphic

  2. w 0x01 graphic
    funkcja 0x01 graphic
    osiąga minimum właściwe gdy 0x01 graphic

Dowód: Piszemy wzór Taylora z resztą w postaci Peana dla n=2

0x01 graphic

dla dostatecznie małych 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
przy 0x01 graphic

ponieważ 0x01 graphic
więc 0x01 graphic

znak prawej strony powyższej równości jest przy małym 0x01 graphic
jest taki sam jak znak pochodnej 0x01 graphic
zatem, jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
czyli w 0x01 graphic
istnieje minimum właściwe. Analogicznie jeżeli 0x01 graphic
to w 0x01 graphic
istnieje maksimum właściwe.

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
posiada w otoczeniu 0x01 graphic
skończoną pochodną do 0x01 graphic
rzędu włącznie, przy czym 0x01 graphic
oraz istnieje skończona pochodna 0x01 graphic
to

  1. nie występuje ekstremum lokalne funkcji 0x01 graphic
    , gdy 0x01 graphic
    jest liczbą nieparzystą

  2. występuje maksimum lokalne właściwe, gdy 0x01 graphic
    jest liczba parzystą, oraz gdy 0x01 graphic

  3. występuje minimum lokalne właściwe, gdy 0x01 graphic
    jest liczbą parzystą

oraz gdy 0x01 graphic

3



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka
wszystkie wykłady z matmy stoiński - wersja na telefon, MATMA, matematyka

więcej podobnych podstron