POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
Niech funkcja
posiada skończoną pochodną
na przedziale
.
POCHODNĄ II RZĘDU lub drugą pochodną funkcji
nazywamy pochodną funkcji
przy założeniu, że pochodna ta istnieje. Oznaczamy ją symbolem
.
Ogólnie, pochodna n-tego rzędu lub n-tą pochodną, gdzie
funkcji
nazywamy pochodną skończonej
pochodnej funkcji
. Przy założeniu że ta pochodna istnieje.
Kolejne pochodne funkcji
oznaczamy
,
,
,
…
,
WZÓR LEIBNIZA Jeżeli funkcja
,
posiadają skończoną pochodną do rzędu
włącznie w otoczeniu
to
gdzie
,
dla
z otoczenia
.
TWIERDZENIE WZÓR TAYLORA
Jeżeli funkcja
o wartościach rzeczywistych jest określona w otoczeniu
oraz posiada w
skończona pochodna n-tego rzędu to dla dostatecznie małych
zachodzi wzór.
WZÓR TAYLORA Z RESZTĄ W POSTACI PEANA
gdzie
przy
Reszta w postaci Peana
EKSTREMUM LOKALNE FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJ ZMIENNEJ
Dana jest funkcja
niech
Mówimy, że funkcja
posiada w
MAKSIMUM LOKALNE (MINIMUM LOKALNE) jeżeli istnieje takie otoczenie
Wspólna nazwa dla maksimum i minimum lokalnego to ekstrema lokalne.
WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIE EKSTREMUM
Jeżeli funkcja
określona na przedziale
, posiada w punkcie
skończoną pochodną
oraz posiada w
ekstremum lokalne to
Dowód : Niech np. w
funkcja
ma maksimum lokalne.
Ponieważ istnieje skończona pochodna
więc istnieje pochodna jednostronna
, dla dostatecznie małych
mamy
czyli
, dla dostatecznie małych co do wielkości bezwzględnych
mamy
czyli
zatem
.
Punkt
, w którym zeruje się pochodna
nazywamy punktem stacjonarnym funkcji
.
Jeżeli
to
nie zawsze istnieje ekstremum.
WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO
Jeżeli funkcja
posiada w otoczeniu
skończoną pochodna
przy czym
, oraz istnieje pochodna
to:
w
funkcja
osiąga maksimum właściwe gdy
w
funkcja
osiąga minimum właściwe gdy
Dowód: Piszemy wzór Taylora z resztą w postaci Peana dla n=2
dla dostatecznie małych
gdzie
przy
ponieważ
więc
znak prawej strony powyższej równości jest przy małym
jest taki sam jak znak pochodnej
zatem, jeżeli
, to
czyli w
istnieje minimum właściwe. Analogicznie jeżeli
to w
istnieje maksimum właściwe.
WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM LOKALNEGO
Jeżeli funkcja
posiada w otoczeniu
skończoną pochodną do
rzędu włącznie, przy czym
oraz istnieje skończona pochodna
to
nie występuje ekstremum lokalne funkcji
, gdy
jest liczbą nieparzystą
występuje maksimum lokalne właściwe, gdy
jest liczba parzystą, oraz gdy
występuje minimum lokalne właściwe, gdy
jest liczbą parzystą
oraz gdy
3