27.10.2009

Ciąg liczbowy jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych N. Oznaczamy tę funkcję symbolem (x_n) przy czym x_n
n=1,2…

Jeżeli x>0 oraz
jest liczbą rzeczywistą to

gdzie W_n jest ciągiem liczb wymiernych zbliżonych do
.

Jeżeli

to

6. Funkcje trygonometryczne

Funkcje
,
są określone dla
,

przeciwdziedziną
,
jest Y=<-1,1>

Funkcja
jest określona dla

Funkcja
jest określona dla

Przeciwdziedziną
jest

Odwrotnością funkcji trygonometrycznych sin x, cos x

7. Funkcje cyklometryczne

Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych przy odpowiednim zawężeniu ich dziedziny.

WYKRES

WYKRES

WYKRES

WYKRES

8. Funkcja wykładnicza

Dziedziną f jest

Przeciwdziedziną jest zbiór

Oznaczmy

Jeżeli

to

Logarytmem dodatnim liczby b przy podstawie a , gdzie
jest wykładnik potęgi c do którego należy podnieść a , aby otrzymać b.

Jeżeli

to

Logarytm dziesiętny to logarytm przy podstawie
a=10 :

log b = c 10^c=b

Logarytm naturalny to logarytm przy podstawie równej liczbie e.

przy czym

oznaczamy go symbolem

Prawa działań na logarytmach

1. Logarytm iloczynu

2. Logarytm ilorazu

3. Logarytm potęgi

4. Zamiana podstawy logarytmu

9. Funkcja logarytmiczna

Ponieważ funkcja wykładnicza
jest wzajemnie jednoznaczna dla a>0, a≠1 więc tylko wtedy posiada funkcje odwrotną.

Jest nią funkcja logarytmiczna

10. Funkcje hiperboliczne

gdzie

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Wartością bezwzględną lub modułem liczby rzeczywistej
nazywamy liczbę nieujemną
przy czym

Własności:

1. 
   jest równoważna nierówności podwójnej
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

Funkcja wartości bezwzględnej (moduł)

INDUKCJA ZUPEŁNA

Twierdzenie 1 - Zasada Indukcji Zupełnej

Niech każdej liczbie naturalnej n będzie przyporządkowane zdanie p(n)

Jeżeli :

1. zdanie p(1) jest prawdziwe

2. jeżeli zdanie p(n) jest prawdziwe, to zdanie p(n+1) jest prawdziwe,

to zdanie p(n) jest prawdziwe dla każdego n=1,2,3…

Wniosek:

Jeżeli

1. zdanie p(n) jest prawdziwe dla liczby całkowitej n₀

2. z prawdziwości p(n) dla liczby całkowitej k wynika prawdziwość p(n) dla k+1, gdzie k≥n₀

to zdanie p(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych n≥n₀

Przykład

Wykazać równość

Dowód. Zasada indukcji Zupełnej

1. dla n=1 mamy

p(1)

2. zakładamy, że istnieje
   takie, że p(n₀) jest prawdą tzn.

Wykażemy, że

Kolejno otrzymujemy, wiedząc, że p(n₀) jest prawdą

Na mocy indykcji powyższy wzór jest prawdziwy dla każdego naturalnego n.

36

---