Rodzaje Współrzędnych

1. Kartezjańskie

1. na płaszczyźnie

2. w przestrzeni

2. Biegunowe

Obieramy na płaszczyźnie dowolny punkt O zwany biegunem i kreślimy półprostą Ox- oś biegunową.

Aby wyznaczyć położenie punktu P tej płaszczyzny we współrzędnych biegunowych podajemy długość r odcinka OP oraz kąt φ=(Ox,OP)

Związek współrzędnych prostokątnych oraz biegunowych jest następujący.

P=P(x₀,y₀)=P(r,φ)

x= r cosφ

y= r sinφ

3. Sferyczne-kuliste

Dany jest układ prostokątny 0xyz w przestrzeni. Każdy punkt przestrzeni jest jednoznacznie wyznaczony przez podanie uporządkowanej trójki liczb rzeczywistych P=P(x₀,y₀,z₀)

Punkt R jest rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę 0xy.

r=|0P| - odległość punktu P od początku układu współrzędnych 0xyz

Φ= miara kąta skierowanego dodatnio między półosią 0x oraz wektorem 0R

Θ= miara kąta skierowanego dodatnio w półprzestrzeni 0xyz, z ≥0, a ujemnie w półprzestrzeni 0xyz ,z≤0 między wektorem 0R oraz wektorem 0P

Współrzędnymi sferycznymi lub kulistymi punktu P nazywamy uporządkowaną trójkę (r,Φ,θ)

Pomiędzy współrzędnymi prostokątnymi x_0,y₀,z₀ oraz współrzędnymi sferycznymi punktu P zachodzą związki

x₀= r cosΦcosθ

y₀= r sinΦcosθ

z₀= r sinθ

4. Cylindryczne -walcowe

Dany jest układ prostokątny 0xyz w przestrzeni . Współrzędne prostokątne punktu P wynoszą x₀,y₀,z₀

Punkt Q jest rzutem prostopadłym punktu P na 0xy

ρ= |0Q| odległość punktu Q od początku układu współrzędnych

Φ miara kąta skierowanego dodatnio między 0x i wektorem 0Q

h=|QP| odległość P od płaszczyzny 0xy liczone dodatnio dla punktów leżących nad 0xy czyli dla z≥0, a ujemnie dla punktów leżących pod 0xy czyli dla z≤0

Współrzędnymi cylindrycznymi punktu P nazywamy uporządkowaną trójkę : ρ,Φ,h

Związek między x₀, y₀, z₀ oraz ρ,Φ,h jest następujący

x₀= ρ cosΦ

y₀= ρ sinΦ

z₀= h

PRZESTRZENIE METRYCZNE

Mówimy, że zbiór X≠
jest przestrzenią metryczną jeżeli został określony funkcjonał tzn. funkcja o wartościach liczbowych: rzeczywistych lub zespolonych zwany metryką.

d:XˣX→

takich, że dla dowolnych x,y,z
X zachodzą aksjomaty

1. d(x,y)=0↔x=y

2. d(x,y)=d(y,z)

3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)

Przestrzenią metryczną oznaczamy symbolem <X,d>. Liczbę d(x,y) nazywamy odległością x od y.

KULĄ OTWARTĄ (domkniętą) o środku p_0­
<X,d> i promieniu r>0 nazywamy zbiór

K(p₀,r)={q
X:d(q,p₀)<r}, K(p₀,r)={q
X:d(q,p₀)≤r}

Sąsiedztwem punktu p₀
<X,d> nazywamy zbiór S(p₀,r)=K(p­₀,r)\{p₀}

Kulę otwartą K(p₀,r) nazywamy również otoczenie punktu p₀ o promieniu r.

Punkt p
<X,d> nazywamy punktem skupienia zbioru E
X jeżeli każde otoczenie K(p,r) zawiera punkt q≠p takie, że q
E.

Dopełnieniem zbioru E
X nazywamy zbiór E^'=X\E

Niech E będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej <X,d>

1. punkt p
   E nazywamy punktem wewnętrznym zbioru E jeżeli istnieje otoczenie K(p,r)
   E

2. zbiór E nazywamy zbiorem otwartym w <X,d> jeżeli każdy punkt zbioru E jest jego punktem wewnętrznym

3. zbiór E nazywamy zbiorem domkniętym w <X,d> jeżeli X\E jest zbiorem otwartym.

Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z góry (ograniczony z dołu) jeżeli:

Jeżeli zbiór E jest ograniczony z góry oraz z dołu to mówimy, że E jest ograniczony.

Niech zbiór E będzie ograniczony z góry. Mówimy, że liczba M

jest kresem górnym lub SUPREMUM zbioru E jeżeli:

1. M jest ograniczeniem górnym zbioru E

2. jeżeli x<M, to x nie jest ograniczeniem górnym zbioru E; piszemy M=supE

Niech zbiór E będzie ograniczony z dołu. Mówimy, że liczba m

jest kresem dolnym lub INFINIUM zbioru E jeżeli:

1. m jest ograniczeniem dolnym zbioru E

2. jeżeli x<m, to x nie jest ograniczeniem dolnym zbioru E; piszemy M=infE

TWIERDZENIE 1

Każdy nie pusty zbiór A

ograniczony z góry, posiada kres górny supA

Każdy nie pusty zbiór A

ograniczony z dołu, posiada kres dolny infA

PRZESTRZEŃ LICZB ZESPOLONYCH

LICZBĄ ZESPOLONĄ nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych: a,b.

Oznaczamy je symbolem z=(a,b)

W zbiorze liczb zespolonych ₡ w następujący sposób definiujemy dodawanie i mnożenie.

Niech x=(a,b), y=(c,d)

gdzie a,b,c,d

wtedy:

(*) x=y↔(a=c
b=d)

x+y=(a+c,b+d)

xy=(ac-bd,ad+bc)

TWIERDZENIE 1

Operacja dodawania i mnożenia postaci (*) w zbiorze liczb zespolonych ₡ są przemienne, łączne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla dowolnych liczb zespolonych x,y,z zachodzą równania

x+y=y+x

x+(y+z)=(x+y)+z

xy=yx

x(yz)=(xy)z

x(y+z)=xy+xz

Dla dowolnej liczby zespolonej x mamy

x+(0,0)=x

x(0,0)=(0,0)

x(1,0)=x

TWIERDZENIE 2

Dla dowolnej liczby zespolonej x istnieje dokładnie jedna liczba zespolona y taka, że

x+y=(0,0)

Jeżeli x+y=(0,0) to piszemy y=-x

Dla x=(a,b) mamy y=(-a,-b)

Niech x=(a,b)

WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ LUB MODUŁEM LICZBY ZESPOLONEJ x nazywamy liczbę nieujemną

TWIERDZENIE 3

Niech x,y,z będą liczbami zespolonymi wtedy:

1. jeżeli x≠(0,0) to |x|>0

2. |xy|=|x||y|

3. jeżeli xy=(0,0) to x=(0,0) y=(0,0) lub x=y=(0,0)

4. jeżeli x≠(0,0) oraz xy=xz to y=z

TWIERDZENIE 4

Dla dowolnej liczby zespolonej x≠(0,0) istnieje dokładnie jedna liczba zespolona y, tak, że xy=(0,0) piszemy wtedy

Dowód: Jednoznaczność y wynika z Twierdzenia 3d. Niech x=(a,b) wtedy y określamy następująco

gdyż

TWIERDZENIE 5

Jeżeli x≠(0,0) to dla dowolnej liczby zespolonej y istnieje dokładnie jedna liczba zespolona z taka, że xz=y Oznaczamy ją symbolem

Ponieważ dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b zachodzą równości

jeżeli b≠0

więc liczbę zespoloną postaci (a,0) można utożsamiać z liczbą postaci „a” oraz traktować zbiór liczb rzeczywistych
jako podzbiór liczb zespolonych ₡. Przy czym

₡

JEDNOSTKA UROJONĄ nazywamy liczbę zespoloną

i=(0,1)

zauważamy, że i²=ii=(0,1)(0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0)=-1, czyli i²=-1

TWIERDZENIE 6

Jeżeli a,b

to (a,b)=a+bi

Dowód: a+bi=(a,0)+(b,0)(0,1)=(a,0)+(0-0,b+0)=(a,0)+(0,b)=(a,b)

Jeżeli z=a+bi to

„a” nazywamy częścią rzeczywistą z

„b” nazywamy częścią urojoną z

Piszemy

Rez=a

Imz=b

LICZBĄ SPRZĘŻONĄ z liczbą zespoloną
nazywamy liczbę zespoloną

TWIERDZENIE 7

Jeżeli x,y
₡ ,to

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. jeżeli
   to
   

Liczbie zespolonej z=(a,b)=a+bi odpowiada wzajemnie jednoznacznie na płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnych 0xy punkt (a,b).

Płaszczyznę C, której punktom zostały przyporządkowane liczby zespolone nazywamy płaszczyzną liczbową.

Punktom osi 0x odpowiadają wzajemnie jednoznacznie liczby zespolone (a,0).

Punktom osi 0y odpowiadają wzajemnie jednoznacznie liczby zespolone (b,0)

ARGUMENTEM LICZBY ZESPOLONEJ z=a+bi ≠(0,0) nazywamy liczbę rzeczywistą φ określoną równością

oraz

piszemy φ=arg z

Każda liczba zespolona z≠(0,0) posiada nieskończenie wiele argumentów.

Jeżeli φ jest argumentem z≠(0,0) to każdy inny argument z ma postać φ+2kπ k
Z

Argument liczby zespolonej z≠(0,0), który spełnia warunek -π<arg z<π nazywamy argumentem z i oznaczamy symbolem Arg z

Jeżeli z=a+bi≠(0,0) to ponieważ a=|z|cosφ oraz b=|z|sinφ to możemy napisać

z=|z|cosφ+|z|sinφi=|z|(cosφ+isinφ) postać trygonometryczna liczby z≠(0,0)

jeżeli z=r(cosφ+isinφ) to r=|z| φ=arg z

Jeżeli

z₁=|z₁|(cosφ+isinφ) ≠(0,0)

z₂=|z₂|(cosψ+isinψ) ≠(0,0)

to

arg(z₁z₂)=argz₁+argz₂

arg(z_1/z₂)=argz₁-argz₂

TWIERDZENIE 8

Dla każdej liczby zespolonej z≠(0,0) zachodzi równanie arg(zⁿ)=n argz n=1,2…

oznacza to że dla dowolnego argumentu argz istnieje taki argument arg(zⁿ) , że zachodzi równość arg(zⁿ)=n argz

Wniosek WZÓR DE MOIVRE'A

(cosφ+isinφ)ⁿ=cos(nφ)+isin(nφ) n=1,2….

TWIERDZENIE 9

Jeżeli z=|z|(cosφ+isinφ) ≠(0,0)

to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków W_k ( k=1,2…n-1 ) n-tego stopnia liczby zespolonej przy czym

dla k=0,1,2…n-1, gdzie
oznacza pierwiastek

1

z=(a,b)=a+ib

a

b

Im{z}

Re{z}

φ

---