RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJ ZMIENNEJ

POCHODNA FUNKCJI RZECZYWISTEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ:

Niech będzie dana funkcja
dla
przyrostem zmiennej niezależnej

w
nazywamy różnice
a przyrostem zmiennej zależnej w
nazywamy różnicę
przy czym

Iloraz
to tzw. ILORAZ RÓŻNICOWY.

Jeżeli przy
istnieje granica właściwa lub niewłaściwa ilorazu różnicowego
funkcji
w
to punktowi
można przyporządkować wyrażenie

Zmieniając
uzyskujemy funkcję
która przyporządkowuje zmienne
wyrażenie

Funkcję
gdzie
nazywamy POCHODNĄ FUNKCJI
.

We wzorze
można rozważać granice jednostronne.

POCHODNĄ LEWOSTRONNĄ funkcji
w
nazywamy wyrażenie

POCHODNĄ PRAWOSTRONNĄ FUNKCJI
w
nazywamy wyrażenie

Jeżeli
istnieje i jest skończona, to funkcję nazywamy RÓŻNICZKOWALNĄ W
.

Twierdzenie 1

Jeżeli funkcja
określona na przedziale
posiada skończoną pochodną

to funkcja
jest ciągła w
.

Dowód: Ponieważ istnieje skończona granica
więc
Czyli
otrzymaliśmy, że
jest ciągła w
.

Twierdzenie 2

Jeżeli funkcja
,
posiada skończoną pochodną w
, to:

1. Funkcja
   gdzie
   to funkcja posiada skończoną pochodną w
   oraz
   

2. Iloczyn
   posiada skończoną pochodną w
   

3. Przy dodatkowym założeniu
   istnieje pochodna ilorazu

TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI ZŁOŻONEJ

Niech funkcja
będzie różniczkowalna w
oraz niech funkcja
będzie różniczkowalna w
wtedy funkcja złożona
jest różniczkowalna w
oraz

Twierdzenie 4

Jeżeli funkcja
jest ciągła i ściśle monotoniczna (tzn. rosnąca lub malejąca) w pewnym otoczeniu
, oraz istnieje skończona pochodna
to funkcja odwrotna do
posiada pochodną w punkcie
przy czym

1