ALGEBRA ZBIORÓW
Jako pojęcia pierwotne, tzn. takie, które nie definiujemy przyjmujemy:
zbiór ,element zbioru, przynależność elementu do zbioru.
Zdanie: x należy do zbioru A oznaczamy symbolem x
A
(x
A) (x
A)'
Jeżeli A
B, to A jest podzbiorem B
Zbiory identyczne A,B
(A=B)[(A
B)
(B
A)]
(A
B)[(A
B)
(A
B)]
Zbiorem pustym
nazywamy zbiór nie zawierający żadnego elementu.
Ponieważ x
=> x
A A-dowolny zbiór
więc zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Zbiór
oraz A to tzw. podzbiory niewłaściwe zbioru A.
Oznaczamy przez W(x) własność elementu x
X
Zbiór elementów posiadających własność W(x) oznaczamy następująco
{x
X:W(x)}
DZIAŁANIA NA ZBIORACH
♦ SUMA ZBIORÓW A,B
A
B={x: ( x
A)
( x
B)}
♦ ILOCZYN ZBIORÓW A,B
A
B={x: ( x
A)
( x
B)}
Jeżeli A
B =
to mówimy, że zbiory A,B są rozłączne
♦ RÓŻNICA ZBIORÓW A,B
A\B={x: ( x
A)
( x
B)}
♦ RÓŻNICE SYMETRYCZNE ZBIORÓW A,B
A
B={x:[( x
A)
( x
B)]
[( x
B)
( x
A)] }
PRAWA ALGEBRY ZBIORÓW
Prawo de Morgana
Prawo przemienności
Prawo łączności
Prawo rozdzielności
Dla liczb rzeczywistych a,b,c mamy a(b+c)=ab+ac a+(b*c)≠(a+)(a+c)
Jeżeli ograniczymy się do rozpatrywania podzbiorów danego zbioru X≠
to przy A
X piszemy
A'=X\A, A'- dopełnienie zbioru A
ILOCZYN KARTEZJAŃSKI
Iloczynem kartezjańskim - produktem kartezjańskim zbiorów niepustych A,B nazywamy zbiór par uporządkowanych (a,b) takich, że a
A, b
B oznaczamy ten zbiór symbolem
A
B={(a,b) : a
A, b
B}
RELACJE I FUNKCJE
Relacją między elementami zbiorów A,B nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego A
B.
Mówimy, że x
A oraz y
B pozostaje względem siebie w relacji R, co zapisujemy
xRy
jeżeli (x,y) należą do tego samego podzbioru, stąd
R={(x,y)
A
B : xRy}
Relacja f między elementami zbioru X oraz Y nazywa się funkcją, określoną na X o wartościach z Y.
Funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiorze Y co zapisujemy
f: X
Y lub y=f(x) dla x
X
wtedy X nazywamy dziedziną funkcji f,
a zbiór
Y0= { y
Y : y=f(x) } dla x
X
nazywamy przeciw dziedziną funkcji f.
Jeżeli Y0=Y to mówimy, że f jest suriekcją X na Y.
Relację f nazywamy funkcją odwzorowującą X w Y wzajemnie jednoznacznie lub funkcją wzajemnie jednoznaczną lub iniekcją, jeżeli
8