TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ

TWIERDZENIE ROLLE'A

Jeżeli funkcja
jest ciągła na przedział domknięty
oraz istnieje skończona pochodna
w każdym punkcie przedziału otwartego
, a ponadto wartości na końcach są równe
to istnieje takie
, że

Dowód: Jeżeli funkcja
jest stała na
to
dla każdego

W dalszym ciągu zakładamy, że
osiąga w
swoje kresy: wartość największa i najmniejszą. Ponieważ
więc istnieje taki punkt
, że jest w nim osiągnięta np. wartość największą.

Zatem dla każdego

. Ponieważ :

dla
,
oraz

dla
,

więc
oraz

ze względu na to, że istnieje pochodna
otrzymujemy
czyli
.

TWIERDZENIE LAGRANGE'A

Jeżeli funkcja
jest ciągła na przedział domknięty
oraz istnieje skończona pochodna
w każdym punkcie przedziału otwartego
to

gdzie
,

TWIERDZENIE CAUCHY'EGO

Jeżeli funkcje
,
są ciągłe na przedział domknięty
oraz istnieją skończone pochodne
,
w każdym punkcie przedziału otwartego
przy czym
dla
to
gdzie

Dowód: Zauważmy, że
gdyż gdyby
to na mocy Tw. Rolla istniałby punkt
taki, że
co jest sprzeczne z założeniem.

Rozważmy funkcje pomocniczą

Funkcja
spełnia założenia Twierdzenia Roll'a gdyż:

1. 
   jest ciągła na
   

2. Istnieje
   

3. 
   ,
   

Zatem istnieje takie
, że
stąd wynika teza.

Uwaga: Twierdzenie Lagrange'a otrzymujemy jako wniosek z twierdzenia Cauchy'ego przyjmując, że
dla

WNIOSKI WYNIKAJĄCE Z TWIERDZEŃ O WARTOŚCI ŚREDNIEJ

1. Jeżeli funkcja
   jest ciągła na przedział domknięty
   oraz pochodna
   zeruje się na przedziale
   to funkcja
   jest stała.

Dowód: Oznaczmy przez
,
dowolny punkt
, na mocy twierdzenia Lagrange'a mamy,
,

Stąd
. Czyli funkcja
jest stała na
.

2. Jeżeli funkcja
   jest ciągła na przedział domknięty
   oraz istnieje skończona pochodna
   wszędzie w
   dodatnie (ujemne) to funkcja
   jest rosnąca (malejąca) w przedziale
   .

Dowód: Jeżeli
,
,
są dowolnymi punktami przedziału
to z twierdzenia Lagrange'a wynika, że

gdy
jest dodatnie na
.

Czyli
funkcja
jest rosnąca na
.

1