skanuj0003

54 II. Parametryczne testy istotności

Przyjęcie i odrzucenie hipotezy w teście statystycznym nie jest rć znaczne z logicznym udowodnieniem jej prawdziwości lub falszyyj Należy bowiem pamiętać, że odrzucając np. w teście statystycznym s| dzaną hipotezę kierujemy się jedynie tym, że dane liczbowe wynika z badania rzeczywistości dają nam małą szansę prawdziwości tej hipot nie zgadzają się z nią. Możiiwe jednak,-że jest na odwrót, tzn. hipot jest prawdziwa, a tylko nasze dane liczbowe z próby są złe lub po prę mało prawdopodobne przy tej hipotezie. Wprawdzie w ogólnej te<j weryfikacji hipotez statystycznych rozpatruje się różne rodzaje testów;'! testy najmocniejsze, nieobciążone itd., ale w praktycznych zastosowania statystyki matematycznej do różnych dziedzin, z których pochodzą sf mułowane hipotezy statystyczne, decydujące znaczenie ma jeden typ test<l zwanych testami istotności. Testy istotności to taki rodzaj testów, w który na podstawie wyników próby losowej podejmuje się jedynie decyzję rzucenia hipotezy sprawdzanej lub stwierdza się, że brak jest podsta| do jej odrzucenia. Nie podejmuje się natomiast w teście istotności decy o przyjęciu sprawdzanej hipotezy, gdyż bierze się w nim pod uwagę jedynj błąd pierwszego rodzaju (którego prawdopodobieństwo nosi nazwę pozioti istotności), a nie uwzględnia się konsekwencji popełnienia błędu drugieg^ rodzaju.

Testy istotności, pozwalające jedynie odrzucać sprawdzaną hipotez^ zerową (z określonym, małym ryzykiem popełnienia błędu pierwszego rodzaju) są w ogromnej większości przypadków zupełnie wystarczające dla potrzeb praktyki. Jest tak dlatego, że najczęściej hipotezę badawczą,| którą praktyk-eksperymentator pragnie sprawdzić, da się zamienić na od-^ powiednią, jak gdyby ,,odwrotną” hipotezę statystyczną, której odrzuce-i nia pragnie ten praktyk, a na przyjęciu której wcale mu nie zależy. Można'^ to zilustrować następującym, typowym przykładem. Przypuśćmy, że vvy-| naleziono nową technologię produkcji stali o podobno wyższej wytrzymałości niż otrzymywano starą technologią. Przeprowadzono eksperyment próbnej produkcji nową i starą technologią, by na podstawie wyników liczbowych tego eksperymentu wykazać przeciętnie wyższą wytrzymałość nowej metody. Do udowodnienia tej hipotezy badawczej wystarczy za- J stosować test istotności dla hipotezy statystycznej sformułowanej następu- | jąco: rozkłady wytrzymałości stali uzyskiwanej starą i nową metodą mają jednakowe średnie. Formalnie zapisujemy to w formie hipotezy zerowej )3

• m_t =w₂, wobec hipotezy alternatywnej H_x: m₁>m₂, gdzie m_t oznacza _nją wartość wytrzymałości stali uzyskiwanej nową metodą, a m₂ jest samą średnią dla starej metody. Jeżeli zastosowany test istotności hipotezy //₀ doprowadzi do jej odrzucenia, to wyższość nowej metody tafa udowodniona (z odpowiednio małym ryzykiem błędu, mierzonym -ziomem istotności użytym w’tym teście). Jeżeli natomiast zastosowany iest istotności da odpowiedź, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy jj_0t to oznacza to, że cały nagromadzony nieraz wielkim wysiłkiem zbiór danych liczbowych mający świadczyć o wyższqści nowej metody, jest za dabym argumentem i nie może tej wyższości udowodnić. Odpowiedź taka przysparza praktykowi, twórcy nowej metody i tak dość zmartwień, natomiast nie zależy mu zupełnie na przyjęciu hipotezy H₀, bo to oznaczałoby, it marnował czas nad wynalezieniem metody identycznej pod względem przeciętnego poziomu wytrzymałości ze starą. .

Powyższy przykład ilustruje fakt wystarczalności dla praktyki testów istotności, pozwalających jedynie na odrzucenie sprawdzanej hipotezy statystycznej.

Ogólnie rzecz biorąc, statystyczne testy istotności powstają w taki sposób, że w zależności od postaci hipotezy zerowej buduje się pewną staty-stykę Z z wyników n-elementowej próby i wyznacza się rozkład tei sta-tystyki przy założeniu prawdziwości hipotezy //₀. W rozkładzie tym wybiera się taki obszar O wartości statystyki Z, by spełniona była równość

(2.1.)    /»{/' Q) z,

gdzie a jest ustalonym z góry, dowolnie małym prawdopodobieństwem. Obszar Q nazywa się obszarem krytycznym testu, gdyż ilekroć wartość statystyki Z z próby znajdzie się w nim, to podejmuje się decyzję odrzucenia hipotezy II_Q na korzyść jej alternatywy H_x. Natomiast, gdy otrzymana z konkretnej próby wartość statystyki Z nie należy do obszaru krytycznego Q, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀. Należy wyraźnie podkreślić, że nie jest to równoważne z jej przyjęciem.

Uzasadnienie powyższych decyzji jest następujące.

Obszar krytyczny Q został tak wyznaczony, że przy założeniu prawdziwości hipotezy l/₀ prawdopodobieństwo otrzymania z próby n-elemen-towej wartości statystyki Z należącej do tego obszaru jest znane i jest bardzo małą liczbą. Takie zdarzenie losowe nie powinno się więc zrealizo-