08 II. Parametryczne lesiv istotności
. m2 są (akie same, i zależy nam oczywiście na odrzuceniu tej ostatnią hipotezy statystycznej. Formalnie rzecz biorąc, stawiamy hipotezę H0 : mi$ = m2, wobec hipotezy alternatywnej //, : ml <m,. 1
Obliczamy teraz wartość u z wyników obu prób losowych 1
2180-2280
6400 10000
do "'" 'so
- 100 7 i 89
-7,27.
Z tablicy rozkładu N{0, 1) należy odczytać, ze względu na lewostronny obszar krytyczny, w taki sposób krytyczną wartość ua. by — 0,01. Jest to wartość //„=.....2,33. Ponieważ z. po.ównania u i ua wynikac
ie u= — 7,27< — 2,33 —ua, znaleźliśmy się w obszarze krytycznym, zatem hipotezę H0 o równości średnich odrzucamy na korzyść alternatywy Ht.
Zauważmy przy tym, że nawet dla. bardzo małego poziomu istotności; a = 0,001 też należałoby ją zdecydowanie odrzucić. Często mówi się wtedy, że otrzymana różnica średnich (100 zf) jest statystycznie bardzo istotna.'
(’ Otrzymany wynik oznacza, że rzeczywiście w lym przemyśle kobiety zarabiają przeciętnie mniej niż gięże/.yźni zatrudnieni na tych samych stanowiskach.
Przykład 2. Wysunięto hipotezę, że czas potrzebny na obróbkę pewne-' go metalowego detalu można zmniejszyć przez, zastosowanie innego niż, dotychczas typu obrabiarki. Przy niezmienionych innych warunkach, zmie-2 rzono dla losowo wybranych sztuk czasy wykonywania tego detalu naH dwóch typach obrabiarek i otrzymano dla obrabiarki II (nowej) następ pujące wyniki (w minutach): 151 12. 10, 18. 14, 15. 13, a dla obrabiarki |.f (starej): 17, II, 22, 18, 10, 13, J4, 16. /weryfikować wysuniętą hipotezę na poziomie istotności a = 0,05. ę
Rozwiązanic. Z treści zadania wynika, że ze względu na małe próby (n, = 8 oraz n2 = 7) i przy przyjęciu dopuszczalnego tu założenia, że roz--; kłady czasu toczenia na tych obrabiarkach są normalne, mamy do czy-nicnia z. modelem U. Formalnie rzecz biorąc, stawiamy hipotezę H0 : mL = j: = m2 wobec hipotezy alternatywnej //, : m,> rn7, gdzie tnl oznacza średni! czas toczenia przy użyciu obrabiarki starej, a m2 oznacza średni czas to-! czenia przy użyciu nowo proponowanej obrabiarki. Test istotności dla pcw wyższej hipotezy należy zastosować na poziomic istotności a=0,05, przy czym należy przyjąć prawostronny obszar krytyczny.
Z tablicy rozkładu t Studenta należy więc dla a = 0,05 Ora2 dla n, + +n2~2=13 stopni swobody odczytać taką wartość krytyczną /«, by spełniona była równość P{r> rj=0,05; wartością tą jest ta= 1,771. Następnie należy według wzoru (2.5) obliczyć wartość statystyki t. Zauważmy jednak, żc
Z (.x«-.t1)2 oraz ii2sl= Z (*a-x2)2,
wystarczy zatem obliczyć średnje i k2 orąz.surr.y kwadratów odchyleń od nich. Mamy .
I obrabiarka (stara) |
11 obrabiarka (nowa) | ||
•tu |
<X,,~ATi)ł |
X,2 |
(x,2-x2)1 |
17 |
1 |
15 |
1 |
11 |
25 |
12 |
4 |
22 |
36 |
10 |
16 |
18 |
4 |
18 |
16 |
19 |
9 |
14 |
0 |
13 |
9 |
15 |
1 |
. 14 |
4 |
13 |
1 |
16 |
0 |
- |
- |
131 |
88 |
97 |
39 |
Stąd .v,5; 16 min, x2v 14 min, ttis\ = 88, n2sl = 39. Otrzymujemy więc wartość statystyki
/"8H + JV ,1.1. / I 2 7 • 15 /->£->
VTrrr(«+7) yj-rr^r V2’62
:=1,23.
Porównując obliczoną wartość i z krytyczną wartością r„ widzimy, że t- 1,23 < 1,771 = {,, czyli że nie znaleźliśmy się w obszarze krytycznym określonym w tym przypadku*nierównością />r„. Nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy H0 o równości średnich czasów toczenia obu metodami. Oznacza to, że różnica średnich, wynosząca ‘2 minuty na korzyść nowej obrabiarki, nie jest statystycznie istotna i da się usprawiedliwić przypadkiem. Nic została zatem udowodniona na podstawie wyników tej próby przewaga nowej Grabiarki, co nie znaczy', że większa ilość danych nie udowodni być może tej spodziewanej przewagi.