165(1)

2)    obszarem eliptycznym 4x¹-j-y¹ < 4,

3)    obszarem ograniczonym prostą y — x—4 i parabolą y¹ — 2x. Rozwiązanie: 1) Proste te ograniczają prostokąt O ABC (rys. 155)

o bokach równoległych do osi układu. Przy takim najprostszym obszarze

		YĄ
		YĄ
		YĄ~		n
_		YĄ		□
				□
WM			W/M
		//
	_
H	□

a A x Rys. 155

całkowania jest obojętne, wg którego ze wzorów (1) lub (2) będziemy obliczali całkę. Całkując najpierw względem y, a potem względem x (wg wzoru (1)), otrzymamy

//    ^xyixdy -f^xdx.f = f    ⁼

0    0    o *“

b¹ r    b¹ f x¹ l^a a¹b

Całkując w odwrotnej kolejności —najpierw względem .v, a potem względem y (wg wzoru (2)) — otrzymamy ten sam wynik

ba    b

\V tym celu rozwiązujemy względem x równanie brzegu obszaru D, czyli równanie elipsy, i znajdujemy zmienne granice całki wew nętrznej (o zmiennej całkowania .v)

*1 = - y ) ⁴~)’² i *2 = y I 4—y-

Granice całki zewnętrznej (o zmiennej całkowania y) znajdujemy jako odcięte najniższego i najwyższego punktu obszaru D (lub jako najmniejszą j największą wartość y w całym obszarze D). Mamy y\ — —2 i y₂ = 2.

Podstawiając znalezione granice i całkując, otrzymujemy

-1 l—y²

-fv⁴-'²

I ^ xydxdy = j ydy | xdx = f ydy ■ 0 = 0 V    -2    i',.—-    -2

gdyż granice całki wewnętrznej różnią się tylko znakiem, a funkcja podcałkowa jest nieparzysta (por. zad. 599, rozdz. V).

Ten sam wynik uzyskamy całkując w odwrotnym porządku, najpierw w zględem y, a potem względem x

1    2 v'l -X¹

I I xydxdy — I xdx I ydy = 0

4.v²i_y²^4    —1    „2l 1—

Tutaj zakres zmienności y (granice całki wew nętrznej) został wyznaczony z równania elipsy, przez rozwiązanie tego równania względem y. Granie

333

1

Przedstawiamy obszar D (rys. 156). Będziemy całkować wg wzoru (2), to jest najpierw względem x, a potem względem y.