CCF20090513009

Ib

I. Indukcja i wyjaśnianie

Z powyższych rozważań wynika, że wyjściowy układ stopni przekonania powinien spełniać aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa, a następnie być modyfikowany pod wpływem świadectwa, również zgodnie z aksjomatami rachunku prawdopodobieństwa. Ten drugi warunek jest spełniony, jeżeli stopień przekonania o prawdziwości hipotezy ze względu na dane świadectwo ujmuje się jako prawdopodobieństwo warunkowe.

Kłopot polega na tym, że samo pojęcie prawdopodobieństwa nie jest całkiem jasne. Z czysto matematycznego punktu widzenia prawdopodobieństwo jest unormowaną miarą addytywną określoną na pewnym zbiorze, to jest spełniającą pewne dodatkowe warunki funkcją o wartościach z przedziału [0, 1], określoną na spełniającym pewne warunki podzbiorze zbioru podzbiorów pewnego zbioru. Krótko mówiąc, prawdopodobieństwo jako pojęcie matematyczne nie kryje w sobie żadnej tajemnicy, przynajmniej dla wtajemniczonych. Natomiast z filozoficznego punktu widzenia potrzebna jest jakaś interpretacja umożliwiająca wyjaśnienie, dlaczego to matematyczne pojęcie ma zastosowanie do rozwiązywania określonego typu problemów. W wypadku zastosowania do problemu indukcji rozpatrywano trzy interpretacje: częstościową, logiczną i subiektywną.

Interpretacja częstościową nawiązuje do tak zwanej klasycznej definicji prawdopodobieństwa¹, wyrażającej prostą intuicję, wedle której prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia jest miarą jego średniej częstości w nieograniczenie długiej serii zdarzeń określonego typu. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki, przy założeniu, że moneta jest prawidłowa, powinno wynosić 7, ponieważ w nieograniczenie długiej serii rzutów monetą orły i reszki powinny występować jednakowo często. Nieco zagadkowe pojęcie częstości, nie dość, że średniej, to jeszcze w nieograniczenie długiej serii zdarzeń, ma całkiem ścisłą, matematyczną definicję. Mianowicie: nieograniczenie długą serię zdarzeń można przedstawić w formie nieskończonego ciągu skończonych ciągów n początkowych zdarzeń tej serii. W każdej takiej skończonej podscrii częstość - nazwijmy ją względną - interesującego nas zdarzenia można określić po prostu jako stosunek liczby wystąpień

) Nauka jako wiedza prawdopodobna

37

lego zdarzenia w danej podserii do długości tej podserii, na przykład stosunek liczby reszek do n - liczby rzutów w podserii n początkowych rzutów nieograniczenie długiej serii rzutów monetą. W szczęśliwym wypadku, w którym ciąg częstości względnych jest zbieżny, jego granicę można nazwać średnią częstością interesującego nas zdarzenia. W pozostałych wypadkach średnia częstość nie jest określona.

Trudności

interpretacji

częstościowej

Interpretację częstościową prawdopodobieństwa próbował zastosować do budowy logiki indukcji Hans Reichenbach². Ten pomysł ma jednak wiele wad. Po pierwsze, wymaga traktowania hipotez jako zdań eliptycznych o prawdopodobieństwie. Znaczy to, że hipotezę postaci (Va)[W(a) -»Z(x)] należy rozumieć nie dosłownie (każdy przedmiot, któiy znajdzie się w warunkach W, zachowa się w sposób Z), lecz przenośnie: przedmiot, który znajdzie się w warunkach W, prawdopodobnie zachowa się w sposób Z. Po drugie, na co wskazywał von Mises³, wartości prawdopodobieństwa w interpretacji częstoś-ciowej można szacować jedynie na podstawie doświadczenia. Same szacunki zatem mają charakter hipotez indukcyjnych. Wobec tego stosowanie pojęcia prawdopodobieństwa w interpretacji częstościowej do uzasadnienia procedur indukcyjnych zakrawa na błędne koło. Po trzecie, z czysto matematycznego punktu widzenia średnia częstość zależy od kolejności wyrazów ciągu względnych częstości. To znaczy, że przygodna zmiana kolejności rejestrowania świadectw, bez zmiany samych świadectw, może mieć istotny wpływ na ocenę prawdopodobieństwa hipotezy. Toteż częstościową interpretacja prawdopodobieństwa nie rokuje nadziei na zbudowanie na niej logiki indukcji.

Pozostają dwie interpretacje: logiczna i subiektywna, które omówię kolejno.

2.2. Program Carnapa i jego główne trudności

Prawdo

podobieństwo

logiczne

Na idei prawdopodobieństwa logicznego opiera się sformułowany przez Carnapa program logiki indukcji. Prawdopodobieństwo warunkowe zdania H ze względu na zdanie E jest w tym

1

Jest to dokładnie ta definicja, którą poznają uczniowie szkoły średniej: prawdopodobieństwo danego zdarzenia jest równe stosunkowi liczby elementarnych zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.

2

   Zob. H. Reichenbach, The Theory of Prohahility, tłum. (na język angielski) E.H. Hullon, M. Reichenbach, Berkeley-Los Angeles 1949. Poszerzone wydanie wcześniejszego Wahrscheinlichkeitslehre, Leiden 1935.

3

   Zob. R. von Mises, Prohability, Statistics, and Trulh, Dover-New York 1957.