CCF20090513010

38

I. Indukcja i wyjaśnianie

sensie prawdopodobieństwem logicznym, że zależy od lak zwanego prawdopodobieństwa a priori zdań H i E oraz czysto logicznego związku między nimi, związku będącego uogólnieniem klasycznej implikacji, w sensie wspomnianym w rozdziale I, p. 2.1. Własności tego związku można zatem opisać za pomocą odpowiedniego rachunku logicznego. Konstrukcja takiego rachunku, sformułowana w Logical Eonnclations of Probabiłity'*, przebiega następująco. Punktem wyjścia jest monadyczny język rachunku predykatów pierwszego rzędu, to jest język, którego alfabet obejmuje:

zmienne i stałe indywiduowe: x, y, z, ..., a_v ... a_N, predykaty jednoargumentowe: P,, ..., P_r, spójniki logiczne: v, a, <-► kwantyfikatory: 3, V.

Dodatkowo zakłada się, że w języku występują nazwy własne wszystkich elementów jego uniwersum i każdy element uniwersum ma tylko jedną nazwę. Innymi słowy, skoro w języku znajduje się N stałych indywiduowych, uniwersum języka składa się z M indywiduów. Ponadto o predykatach P,,..., P zakłada się, że są proste, to znaczy żaden z nich nie daje się zdefiniować za pomocą innych predykatów. Natomiast za pomocą predykatów prostych można zdefiniować szczególną klasę predykatów, tak zwanych Q-predykatów:

Q,M «-* ± p,(*) A ± P,(x) A ... A ± P_r(x), i = 1, ..., k, k = 2^r,

gdzie symbol ± P.(x) oznacza bądź P(a), bądź ->P(x), j = 1, ..., r. Szczególna rola (2-predykatów polega na tym, że gdy w miejsce zmiennej x podstawić nazwę określonego indywiduum, powiedzmy: a, O-prcdykat orzeka o nim, które z własności oznaczonych za pomocą predykatów elementarnych mu przysługują, a które nie. Innymi słowy, podaje jego wyczerpujący opis - wyczerpujący ze względu na siłę wyrazu rozpatrywanego języka. Naturalnie, każdy O-predykat podaje inny opis a, a więc tylko jeden z nich może być prawdziwy. W ten sposób O-predykaty wyznaczają wyczerpujący i rozłączny podział uniwersum języka na Q-zbiory: zbiory' „jednakowych” indy-

18

R. Carnap, Logical Foimdations ofProbability, Chicago 1950.

) Nauka jako wiedza prawdopodobna

39

widuów, to jest indywiduów spełniających ten sam O-predykat. Każdemu możliwemu podziałowi uniwersum na Q-zbiory można przypisać ciąg Q-liczb, N_v .... N_k, (N, + ... + N_k = N), określających liczebność poszczególnych Q-zbiorów, czyli, innymi słowy, rozkład statystyczny indywiduów na poszczególne Q-zbiory.

Za pomocą O-predykatów można zbudować szczególnego rodzaju zdania, zwane opisami indywiduowymi. Mają one postać następującą:

Opisy

indywiduowe

S, ♦-» 0, («,) a ... aQ_t (a_N), i = 1, .... k\ i = 1, ..., k.

Zdanie tego typu jest wyczerpującym opisem uniwersum, ponieważ jest koniunkcją wyczerpujących opisów wszystkich indywiduów. Każdy opis indywiduowy definiuje pewien „możliwy świat”, to jest świat, o którym len opis jest prawdziwy. W szczególności każdemu opisowi indywiduowemu jednoznacznie odpowiada pewien ciąg (ż-liczb (ale nie na odwrót: różnym opisom indywiduowym może odpowiadać ten sam ciąg Q-liczb). Każde inne zdanie rozpatrywanego języka daje się przedstawić w postaci alternatywy opisów in-dywiduowych. Każde dwa opisy indywiduowe wykluczają się wzajemnie, co ma doniosłe znaczenie dla dalszej konstrukcji rachunku. Wystarczy mianowicie określić prawdopodobieństwo a priori dla wszystkich opisów indywiduowych, aby uzyskać - na mocy aksjomatu P(AvB) = P{A) + P(B), gdy A i B się wykluczają - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze wszystkich zdań rozpatrywanego

Jok określić prawdopodobieństwo opisu

indywiduowego

Jak jednak to prawdopodobieństwo określić? Z aksjomatów' rachunku pr awdopodobieństwa wynika, że musi być spełniony warunek: P(S_t) + ... + P{S _v) = 1. Idąc po linii najmniejszego oporu, można by przyjąć, zgodnie z tak zwaną zasadą racji niedostatecznej, że wszystkie opisy indywiduowe są równoprawdopodobne, czyli że P(S_{) = jf- dla każdego i. Byłoby to jednak równoznaczne - ponieważ opisy indywiduowe są symetryczne ze względu na wszystkie Q-predy-katy i nazwy wszystkich indywiduów' - z założeniem, że każdy rozkład własności na poszczególne indywidua jest jednakowa prawdopodobny. Wówczas każde dwa zdania logicznie niezależne byłyby zarazem probabilistycznie niezależne, czyli prawdopodobieństwo warunkowa dowolnego zdania ze względu na jakiekolwiek świadectwo empi-