CCF20090513012

l. Indukcja i wyjaśnianie

ciągu prawdopodobieństw tego zdania w językach L_Nk, przy rosnącym A/³¹.

Okazuje się, że przy takiej definicji prawdopodobieństwo a priori hipotez ściśle uniwersalnych (to jest nieredukujących się do skończonej koniunkcji zdań szczegółowych) jest równe zero. Wynika stąd, że prawdopodobieństwo warunkowe dowolnej hipotezy ściśle uniwersalnej ze względu na dowolne świadectwo empiryczne (które wyraża się zawsze za pomocą zdania szczegółowego) jest również równe zero. Wniosek to dość osobliwy, mówi on bowiem ni mniej, ni więcej jak to, że potwierdzenie dowolnej hipotezy uniwersalnej przez dowolne skończone świadectwo empiryczne (a każde świadectwo empiryczne jest skończone) jest zerowe. W wypadku hipotez uniwersalnych załamuje się również projektowane uogólnienie logiki dedukcyjnej, o którym była mowa w poprzednim rozdziale. Mianowicie: gdy G -> H, to powinna zachodzić równość P(H | G) = 1. Tymczasem jeżeli G i H są zdaniami uniwersalnymi, to P(H\G) jest nieokreślone. Można więc powiedzieć, że zdania uniwersalne wymykają się spod ogólnych założeń programu logiki indukcji. Dalsze komentarze na temat tej nieco zagadkowej cechy programu Carnapa odłożymy na później.

Przyjrzyjmy się teraz jednej z najbardziej interesujących własności³² funkcji potwierdzenia dla zdań szczegółowych. Niech M będzie predykatem o szerokości w., to znaczy M_j jest alternatywą vr G-predykatów. Symbolicznie: M_t(t) <-> 0, Ot) v...v Q. Ot). Następnie niech E będzie zdaniem tej treści, że spośród n zaobserwowanych przedmiotów, a_v .... a_n, n. ma własność M.. Wówczas:

c*(M, («„.,)!©=

gdzie Af(«_{i +},) jest zdaniem, które mówi, że niezaobserwowany dotąd przedmiot a_n + , ma własność M_r Zilustrujmy treść tego wzoru na prostym przykładzie. Rozważmy hipotezę, że po ośmiokrotnym wyrzuceniu orła monetą w serii dziesięciu rzutów za jedenastym razem również wyrzucimy orla. W tym celu wystarczy skonstruować

²¹ Zakłada się, że słowniki tych języków różnią się jedynie zasobem nazw indywi-duowych, i to w taki sposób, że dla każdego N i M, N> M słownik języka L_sl zawiera wszystkie nazwy indywiduowe ze słownika języka L_ltt.

²² Dowód pomijamy.

). Nauka jako wiedza prawdopodobna

prosty język L_N ,, N > 11, z co najmniej jedenastoma nazwami indy-widuowymi (kolejnych r/.utów monetą) i jednym predykatem elementarnym P = „wypadł orzeł". W tym języku są dwa O-predykaty: 0, = P, 0, = ->P. Podstawiając do wzoru n. — 8, vv = 1, n = 10, k = 2, otrzymujemy stopień potwierdzenia (prawdopodobieństwo warunkowe ze względu na świadectwo) naszej hipotezy = = 7 .

Kłopoty z założeniem o zależności statystycznej między wynikami kolejnych obserwacji

Dwie sprawy są tu godne uwagi. Po pierwsze, prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w jedenastym rzucie okazało się różne od prawdopodobieństwa a priori (= y). Zatem zastosowanie logiki indukcji do omawianego zagadnienia polega na przyjęciu śmiałego założenia, że między wynikami kolejnych rzutów monetą zachodzi dodatnia zależność statystyczna. Po drugie, prawdopodobieństwo, o którym mowa, aczkolwiek zależne od wyników poprzednich dziesięciu rzutów, okazało się niższe od ilorazu liczby orłów w dotychczasowych rzutach (= 775 = y). Co znaczy, że wnioski indukcyjne nie są aż tak śmiałe jak prostolinijna ekstrapolacja doświadczenia.

Zachodzi pytanie, czym takie wnioski mogą być uzasadnione. W wypadku gier w rodzaju rzutów monetą najczęściej przyjmujemy, że wyniki kolejnych rzutów są od siebie statystycznie niezależne i prawdopodobieństwo wyrzucenia orła za każdym razem wynosi To znaczy lak przyjmujemy, gdy zakładamy, że gra jest uczciwa: moneta jest prawidłowa, a gracz nie przeprowadza żadnych manipulacji. Takie podejście do zagadnienia naśladuje sądową zasadę domniemania niewinności: trzeba mieć jakieś specjalne powody, by podejrzewać, że moneta jest nieprawidłowa lub mają miejsce jakieś tajemne manipulacje. Natomiast stosując logikę indukcji, dajemy wyraz przekonaniu, że samo odchylenie liczby orłów od przeciętnej skłania do podejrzeń, w stopniu zależnym, aczkolwiek nic wprost, od wielkości tego odchylenia. Na tej samej zasadzie można byłoby posądzać o nieuczciwość każdego gracza, który dostał lepszą kartę niż przeciwnik.

Jednak nie jest wykluczone, że nasza moneta jest nieprawidłowa. Może więc z braku innych świadectw znaczne odchylenie liczby orłów od przeciętnej należy uznać za wskazówkę, by taką możliwość poważnie wziąć pod uwagę? Powstaje jednak pytanie: jak poważnie? Dlaczego nie poważniej albo nie mniej poważnie niż wynika z rachunku? Kolejny problem: dokładnie taki sam rachunek należałoby przeprowadzić w wypadku rzutów różnymi monetami, być może o różnych nominałach, a nawet różnych walut. Wówczas