CCF20090513014

l. Indukcja i wyjaśnianie

2.3. Bayesianizm i problem istotności świadectwa empirycznego

Bayesianizm opiera się na subiektywnej koncepcji prawdopodobieństwa, to jest prawdopodobieństwa niejako miary stopnia obiektywnego potwierdzenia hipotezy', lecz jako miary stopnia subiektywnego przekonania uczonego o prawdziwości hipotezy. Obiektywność metodzie opartej na tej koncepcji zapewnia mechanizm modyfikowania prawdopodobieństw pod wpływem świadectwa empirycznego. Polega on na systematycznym stosowaniu twierdzenia Bayesa^{1 2}:

P(H\E) =

P(E\H) P(H) P(E)

P(E\H) P(H)

P(E|H) ■ P(H) + P(E\^H) • PhH) '

To znaczy: stosujący metodę określa wyjściowy rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze zdań danego języka w sposób zupełnie dowolny, byle zgodny z aksjomatami rachunku prawdopodobieństwa. Następnie, po uzyskaniu świadectwa empirycznego E, określa rozkład prawdopodobieństwa na nowo, przypisując każdej hipotezie prawdopodobieństwo równe jej prawdopodobieństwu warunkowemu ze względu na£, obliczone według wzoru Bayesa. W następnej rundzie, po uzyskaniu kolejnego świadectwa E', twierdzenie Bayesa stosuje się już do rozkładu prawdopodobieństwa otrzymanego w wyniku poprzedniego zastosowania tego twierdzenia. I tak dalej. Regułę postępowania, wedle której racjonalny badacz powinien po otrzymaniu świadectwa empirycznego każdorazowo modyfikować swój rozkład prawdopodobieństwa zgodnie z twierdzeniem Bayesa, nazywa się regułą warunkowania {conditionalization rule)^2b. Jej działanie zilustrujmy następującym przykładem:

Przychodzę pierwszy raz do klubu szachowego, w którym nikogo nic znam, ale wiem, że wśród jego członków są mistrzowie i gracze mniej więcej na moim poziomie. Siadam do gry z nieznajomym prze-). Nauka jako wiedza prawdopodobna

ciwnikiem i chcę empirycznie ustalić, do której kategorii graczy on należy. Zakładam, że w wypadku przeciwnika równorzędnego mam 25% szans na zwycięstwo i 50% szans na remis, grając zaś z mistrzem, mam tylko 15% szans na zwycięstwo i 30% szans na remis³. Nie wiem, ilu mistrzów jest wśród obecnych w klubie, ale zakładam na początek, zupełnie na pif-paf, że prawdopodobieństwo hipotezy, iż moim przygodnym przeciwnikiem jest mistrz, wynosi 20%. Pierwszą partię przegrałem. Prawdopodobieństwo porażki przy założeniu, że grałem z mistrzem, wynosi 65%. Do licznika wzoru Bayesa wstawiam więc 65% • 20% = 13%. Prawdopodobieństwo porażki przy założeniu, że grałem z graczem równorzędnym, wynosi 25%. W mianowniku wstawiam więc 65% • 20% + 25% • 80% = 33%. Po wykonaniu dzielenia otrzymuję nowe prawdopodobieństwo hipotezy, że grałem z mistrzem. Wynosi ono teraz niecałe 40%. Drugą partię udaje mi się zremisować. Wykonując analogiczne rachunki (30% • 40% podzielone przez 30% • 40% + 50% • 60%, zaokrąglając P(H) do 40%), otrzymuję kolejne prawdopodobieństwo mojej hipotezy, równe teraz około 28,6%. Natomiast gdybym drugą partię przegi ął, prawdopodobieństwo mojej hipotezy wzrosłoby do niecałych 64%⁴.

Rozwiązanie

problemu

prawdo-

podobieństwa

wyjściowego

Mechanizm modyfikowania prawdopodobieństw wedle reguły warunkowania jest jasny i jednoznaczny. Wątpliwości natomiast może budzić to, że wyniki stosowania tej reguł)' przez różnych badaczy mogą być różne, ponieważ określenie wyjściowego rozkładu prawdopodobieństwa jest całkowicie dowolne. W omawianym przykładzie mogłem na przykład przyjąć na początku, że prawdopodobieństwo, iż potykam się z mistrzem, wynosi 40%. Wówczas już po pierwszej porażce rośnie ono do około 64%, a po drugiej aż do około 82%. Jest jednak faktem matematycznym, że różnice w ocenie prawdopodobieństwa po wielokrotnym zastosowaniu twierdzenia Bayesa do różnych wyjściowych rozkładów prawdopodobieństwa maleją do zera, gdy liczba zastosowań tego twierdzenia rośnie do nieskończoności. Można zatem powiedzieć,

Thomas Bayes (1702-1761), matematyk angielski. Twierdzenie Bayesa zostało po raz. pierwszy opublikowane po jego śmierci w 1764 roku.

Tadeusz Baszniak w przekładzie Przewodnika po teorii poznania Adama Mor-tona użył niczym nieuzasadnionego zapożyczenia „reguła kondycjonalizacji”. Być może uznał za uwłaczające godności uczonych skojarzenie modyfikowania ich nastawień do hipotez z wytwarzaniem się odruchu ślinienia na dźwięk dzwonka u psa Pawłowa. Tymczasem termin „conditionalization rule" został ukuty właśnie dla podkreślenia analogii wzorów wnioskowania indukcyjnego i wzorów uczenia się do wzorów powstawania odruchów warunkowych.

Te założenia nie są zupełnie dowolne, lecz oparte na zasadach wyliczania ocen rankingowych szachistów. Przyjmuję jedynie dla uproszczenia, że wchodzą w rachubę szachiści tylko dwóch kategorii, i pomijam zróżnicowanie siły gry w obrębie każdej kategorii (w szczególności nieco optymistycznie oceniam własną silę gry').

2* 0.6S • 0,40 0.26 „ .

---a 0.63 .

0.65 • 0.40 + 0.25 <>.60 0.41