Cialkoskrypt6

290 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

ZADANIE 4.13.21

Wózek napełniony jest wodą znajdującą się pod ciśnieniem zapewniającym wypływ cieczy ze stałą prędkością w (rys. 4.38). Masa wody w chwili początkowej jest równa m₀. Pomijając opór opływu wózka oraz opór toczenia, wyznaczyć prędkość ruchu wózka v(t), którego masa wynosi m_w.

Rozwiązanie

Na mocy II zasady dynamiki Newtona związek pomiędzy prędkością wózka v(t) a siłą nań działającą możemy wyrazić wzorem:

dv    dv -

^mw ~T ^{= F}v    ^{lub m}w    — ^{= F}v>^vs=iv-    (a)

dt    dt

gdzie F_v jest siłą działającą na wózek w kierunku jego ruchu.

Wyznaczmy siłę działającą na wózek na podstawie poniższego wzoru (rys. 4.39; z pominięcia naprężeń stycznych wynika równość x_n = -p • ń):

pIa„^=Po-

Ponieważ

więc

A

/*■	• dA =-	Jp • n • dA = -	JP'	nzdA- Jp-nwdA =
	, Azt	iw	A	Aw„
-	| P-S,	•dA+ J p• nz	•dA	- Jp-nw-dA.
Azew	uAwy!	^ wyt		A ™ wew

(b)

-dA=0,

wy|

gdyż całka względem powierzchni zamkniętej

Jn • dA = 0.

^ zew ^ ^ wyt

W związku z tym

=" Jpo *n_z -dA- |p• n_w • dA = p₀ • n_z • A_wy! - Jp-n,

• dA

(c)

Druga całka w powyższym wzorze oznacza siłę działania płynu na wózek. Całkę tę wyznaczymy, jeśli określimy wartość impulsu (pędu) wywołanego wypływem cieczy z prędkością w. Wyznaczmy zatem zmianę pędu strumienia cieczy ograniczonego powierzchnią A_w u A_wyi otaczającą objętość Q (rys. 4.40).

/