Cialkoskrypt8

254 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

raźna granica pomiędzy warstwą przyścienną i przepływem głównym. Do analizy warstwy przyściennej służy ten sam układ równań zachowania masy, pędu, energii, co w przypadku przepływu głównego, a wyodrębnianie warstwy przyściennej jest między innymi związane z koniecznością zagęszczania siatki obliczeniowej przy stosowaniu metod numerycznych rozwiązywania równań przepływu.

Do analizy warstwy przyściennej w cieczy można wykorzystać równania Prandtla w układzie (x, y) w postaci:

1) kierunek osi x

dv    9v

-L -j. _v -Ł

dx ^y dy

1

P

9p a²v

■~ +V—-dx dx

2) kierunek osi y

0 = -

1 3p

P 3y’

3) równanie ciągłości przepływu

dv_x dv ~~~ + —-dx dy

= 0.

Aby wyznaczyć siłę oddziaływania strugi z obszaru warstwy przyściennej na powierzchnię, sumujemy siły działające na element warstwy. W ogólnym wypadku działająca w układzie siła związana z przepływającą masą może być określona na podstawie pola prędkości i po zsumowaniu elementarnych pędów ma postać:

8    5

F= J*P ’ v _n -dA-v_n = Jpbv²dy, v_n =v_n(x,y), o    o

gdzie 8 jest grubością warstwy przyściennej, p - gęstością płynu, b - szerokością warstwy przyściennej, a v_n - funkcją opisującą zmianę prędkości w kierunku normalnym do powierzchni. Reakcję płyty na działanie strumienia można przedstawić również jako funkcję naprężeń newtonowskich na ściance, określonych wzorem:

x

W

gdzie v jest lepkością kinematyczną płynu. Z równowagi obu sił otrzymamy związek wiążący naprężenia na ścianie z polem prędkości i grubością warstwy przyściennej w postaci:

jx_w(x)bdx= Jpbv²dy, o    o

gdzie x jest długością wzdłuż płyty.

4.13. Przykłady obliczeniowe ZADANIE 4.13.1

Wygiętym przewodem wypływa woda o gęstości p = 1000 kg/m³ z prędkością v₂ = 20 m/s przez dyszę o średnicy d = 20 mm. Wyznaczyć reakcje ściany rurociągu o średnicy D = 50 mm, jeżeli ciśnienie w otoczeniu rury wynosi p₀.

Rozwiązanie

Równanie opisujące bilans sil działających w kanale ma postać:

-R₀= J[(pv₂dA₂)v₂+(p₂-p₀)dA₂/₂]- J[(pv₁dA,)v₁+(p,-_Po)dA,/~]-G.

^a2 ^A1

Można je uprościć zgodnie z danymi z zadania:

1)    F = 0, co oznacza, że na płyn nie działa siła masowa,

2)    powierzchnie przekroju wlotowego i wylotowego wynoszą:

A,=

A, =

nD² Tt-0,05²

4

TT -0,02²

= 1,963-10^-3 m²

4

7td²

= 0,3142 -10”*³ m

Rys. 4.17

Bilans sił można przedstawić w postaci

-R₀ = F₂ ~F,,

gdzie siły wynikające ze zmiany pędu strumienia oraz pochodzące od ciśnienia (sił parcia) mają postać: